高考二轮数学人教版专题训练14概率随机变量及其分布列

第二部分专题四第1讲(理科)专题训练十四概率、随机变量及其分布列一、选择题1．(2020·沧州七校联考)某道路的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某车在这条路上行驶时三处都不停车的概率是(A)A．eq\f(35,192) B．eq\f(25,192)C．eq\f(55,192) D．eq\f(65,192)【解析】由P(ABC)＝eq\f(25,60)×eq\f(35,60)×eq\f(45,60)＝eq\f(35,192)，故选A．2．(2020·益阳模拟)轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱，已知某等边圆柱O′O中，以底面圆O为底面圆，OO′的中点O″为顶点作圆锥O″O，现在等边圆柱O′O中随机取一点，则该点取自圆锥O″O内的概率是(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,12)【解析】设等边圆柱O′O的高为h，由几何概型的概率计算公式知，该点取自圆锥O″O内的概率是P＝eq\f(V圆锥O″O,V等边圆柱O′O)＝eq\f(\f(1,3)S圆O·\f(1,2)h,S圆O·h)＝eq\f(1,6)，故选C．3．(2020·福建模拟)已知随机变量X∽N(2,1)，其正态分布密度曲线如图所示．若在边长为1的正方形OABC内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为(D)附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.9544．A．0.1359 B．0.6587C．0.7282 D．0.8641【解析】由题意P(0＜X≤1)＝eq\f(1,2)×(0.9544－0.6826)＝0.1359．在正方形OABC内随机取一点，则该点恰好落在阴影部分的概率为P＝eq\f(1×1－0.1359,1×1)＝0.8641．故选D．4．(2020·梅州一模)抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是(D)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,32) D．eq\f(3,16)【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，即正面向上的概率为eq\f(1,2)，∵连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率P＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5＝eq\f(3,16).故选D．5．(2020·四川省成都市期末)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则关于x，y方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋by－8＝0,x2＋y2－4＝0))，有实数解的概率为(B)A．eq\f(2,9) B．eq\f(7,9)C．eq\f(7,36) D．eq\f(9,36)【解析】因为方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋by－8＝0,x2＋y2－4＝0))有解，故直线ax＋by－8＝0与圆x2＋y2＝4有公共点，所以eq\f(|8|,\r(a2＋b2))≤2即a2＋b2≥16，当a＝1时，b＝4,5,6，有3种情形；当a＝2时，b＝4,5,6，有3种情形；当a＝3时，b＝3,4,5,6，有4种情形；当a＝4,5,6时，b＝1,2,3,4,5,6，有18种情形；故方程有解有28种情形，而(a，b)共有36种不同的情形，故所求的概率为eq\f(28,36)＝eq\f(7,9).故选B．6．(2020·诸暨市模拟)随机变量ξ的分布列如表，若E(ξ)＝0，则D(ξ)＝(A)ξ－303Peq\f(1,3)abA．6 B．2C．0 D．eq\r(6)【解析】由题可知，a＋b＋eq\f(1,3)＝1，∴a＋b＝eq\f(2,3)，E(ξ)＝－3×eq\f(1,3)＋0×a＋3b＝0，解得b＝eq\f(1,3)，∴a＝eq\f(1,3)，∴D(ξ)＝(－3－0)2×eq\f(1,3)＋(0－0)2×eq\f(1,3)＋(3－0)2×eq\f(1,3)＝6．故选A．7．(2020·四川模拟)以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF(阴影部分)，若在△ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为(C)A．eq\f(π－\r(3),2) B．eq\f(2\r(3)π－3,9)C．eq\f(\r(3)π－3,6) D．eq\f(\r(3)π－2,6)【解析】设三角形ABC边长为2，则正三角形DEF边长为1，以D为圆心的扇形面积是eq\f(π×12,6)＝eq\f(π,6)△DEF的面积是eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中勒洛三角形面积为3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(\r(3),4)))＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(π－\r(3),2)，△ABC面积为eq\r(3)，所求概率P＝eq\f(π－\r(3),2\r(3))＝eq\f(\r(3)π－3,6).故选C．8．(2020·嵊州市二模)设0＜p＜eq\f(1,2)，随机变量X的分布列是X－101Pp(1－p)1－2pp(1＋p)则当p在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内增大时(A)A．E(X)增大，D(X)增大 B．E(X)减小，D(X)增大C．E(X)增大，D(X)减小 D．E(X)减小，D(X)减小【解析】令p＝eq\f(1,4)，则E(X)＝－1×eq\f(3,16)＋0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(5,16)＝eq\f(1,8)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,8)))2×eq\f(3,16)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,8)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8)))2×eq\f(5,16)＝eq\f(31,64).令p＝eq\f(1,3)，则E(X)＝－1×eq\f(2,9)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(4,9)＝eq\f(2,9)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(2,9)))2×eq\f(2,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,9)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,9)))2×eq\f(4,9)＝eq\f(50,81).∵eq\f(1,8)<eq\f(2,9)，eq\f(31,64)＜eq\f(50,81).∴当p在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内增大时，E(X)增大，D(X)增大．故选A．二、填空题9．(2020·全国三模)随着国内疫情形势好转，暂停的中国正在重启，为了尽快提升经济、吸引顾客，哈西某商场举办购物抽奖活动，凡当日购物满1000元的顾客，可参加抽奖，规则如下：盒中有大小质地均相同5个球，其中2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，若在第一次和第二次均摸到红球则获得特等奖，否则获得纪念奖，则顾客获得特等奖的概率是__eq\f(1,10)__.【解析】设2个红球分别为A，B,3个白球分别为a，b，c，不放回地依次摸出2个球，基本事件总数有10个，分别为：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，第一次和第二次均摸到红球包含的基本事件只有(A，B)，则顾客获得特等奖的概率是P＝eq\f(1,10).10．(2020·新疆二模)点P是△ABC内部任意一点，则△PAB的面积小于△ABC面积一半的概率为__eq\f(3,4)__.【解析】设D，E分别为CB，AC的中点，由题意可知，△PAB的面积小于△ABC面积一半P，∴P到BA的距离小于C到BA的距离的一半，P所在的区域为如图DE下方所示的阴影部分，∵S△CDE＝eq\f(1,4)S△ABC，则所求概率为eq\f(3,4)11．(2020·焦作四模)某一批花生种子的发芽率为p，设播下10粒这样的种子，发芽的种子数量为随机变量X.若D(X)＝eq\f(12,5)，则p＝__eq\f(2,5)或eq\f(3,5)__.【解析】X服从二项分布，即X～B(10，p)．因为D(X)＝eq\f(12,5)，所以10×p×(1－p)＝eq\f(12,5)，解得p＝eq\f(2,5)或p＝eq\f(3,5).12．(2020·浙江模拟)两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(1,2)，两个零件是否加工为一等品相互独立，设两人加工的零件中为一等品的个数为ξ，则E(ξ)＝__eq\f(7,6)__；若η＝3ξ－1，则D(η)＝__eq\f(17,4)__.【解析】两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(1,2)，两个零件是否加工为一等品相互独立，设两人加工的零件中为一等品的个数为ξ，则ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，∴Eξ＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,3)＝eq\f(7,6)，Dξ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(7,6)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,6)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(7,6)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(17,36)，∵η＝3ξ－1，∴Dη＝9Dξ＝9×eq\f(17,36)＝eq\f(17,4).三、解答题13．(2020·陕西省汉中市质检)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和数学期望．【解析】(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝eq\f(A\o\al(1,2)A\o\al(1,3),A\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).(2)X的可能取值为200,300,400，P(X＝200)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝300)＝eq\f(A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝400)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,2)A\o\al(3,3)×2,A\o\al(4,5))＝eq\f(3,5)，(或P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝eq\f(3,5))，故X的分布列为X200300400Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(6,10)E(X)＝200×eq\f(1,10)＋300×eq\f(3,10)＋400×eq\f(3,5)＝350(元)．14．(2020·镇江三模)随机将2n(n∈N*，n≥2)个连续正整数1,2,3，……，2n分成A，B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2，记ξ＝a2－a1，η＝b2－b1，设D表示“ξ与η的取值恰好相等”的事件，P(D)表示事件D发生的概率．(1)当n＝3时，求ξ的分布列和数学期望；(2)当n＝3时，求P(D)；(3)请判断P(D)与eq\f(1,2)的大小(只判断不证明)．【解析】(1)当n＝3时，ξ的取值可能为2,3,4,5其中P(ξ＝2)＝eq\f(4,C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(6,C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝4)＝eq\f(6,C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝5)＝eq\f(4,C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，故随机变量ξ的分布列为：ξ2345Peq\f(1,5)eq\f(3,10)eq\f(3,10)eq\f(1,5)ξ的数学期望E(ξ)＝2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(3,10)＋4×eq\f(3,10)＋5×eq\f(1,5)＝eq\f(7,2).(2)∵D表示“ξ与η的取值恰好相等”的事件，∴P(D)＝2×eq\f(1＋1＋C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,4)＋C\o\al(3,6)＋…＋C\o\al(n－2,2n－2),C\o\al(n,2n))，当n＝3时，P(D)＝2×eq\f(1＋1＋C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(2,5).(3)P(D)＝2×eq\f(1＋1＋C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,4)＋C\o\al(3,6)＋…＋C\o\al(n－2,2n－2),C\o\al(n,2n))，n＝1时，P(D)＝2×eq\f(1,C\o\al(1,2))＝1＞eq\f(1,2)，n＝2时，P(D)＝2×eq\f(1＋1,C\o\al(2,4))＝eq\f(2,3)>eq\f(1,2)，n＝3时，P(D)＝2×eq\f(1＋1＋C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(2,5)＜eq\f(1,2).综上，n＝1或n＝2时，P(D)＞eq\f(1,2)，n≥3时，P(D)＜eq\f(1,2).15．(2020·中卫三模)2020新型冠状病毒感染的肺炎的传播有飞沫、气溶胶、接触等途径，为了有效抗击疫情，隔离性防护是一项具体有效措施．某市为有效防护疫情，宣传居民尽可能不外出，鼓励居民的生活必需品可在网上下单，商品由快递业务公司统一配送(配送费由政府补贴)．快递业务主要由甲公司与乙公司两家快递公司承接：“快递员”的工资是“底薪＋送件提成”．这两家公司