新教材高中数学人教A版学案6-2-1向量的加法运算

6.2平面向量的运算6．2.1向量的加法运算[目标]1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；2.理解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算．[重点]向量加法的三角形法则及平行四边形法则．[难点]向量加法的几何意义．要点整合夯基础知识点一向量的加法[填一填]1．定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．2．三角形法则前提：已知非零向量a，b.作法与图示：(1)在平面内任取任意一点A.(2)作eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(BC,\s\up15(→))＝b，再作向量eq\o(AC,\s\up15(→)).(3)则向量eq\o(AC,\s\up15(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→)).这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．3．平行四边形法则前提：已知不共线的向量a，b.作法与图示：(1)在平面内任取一点O.(2)如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB.(3)对角线eq\o(OC,\s\up15(→))就是a与b的和，即a＋b＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→)).这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．[答一答]1．两向量和的三角形法则的实质是什么？能否推广到多个向量和的多边形法则？提示：两向量和的三角形法则的实质是两向量“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即为两向量的和．可以推广到多个向量和的多边形法则，即eq\o(A0A1,\s\up15(→))＋eq\o(A1A2,\s\up15(→))＋eq\o(A2A3,\s\up15(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A0An,\s\up15(→)).2．向量加法的三角形法则和平行四边形法则之间有什么关系？它们各自的适用条件是什么？提示：当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半，从某种意义上讲，三角形法则是平行四边形法则的简化．向量共线时，平行四边形法则不再适用．由于向量共线，因此也不能构成三角形，但由于三角形法则运用时要求“首尾相接”，这一点对共线向量仍然适用．3．a，b处于什么位置时，(1)|a＋b|＝|a|＋|b|；(2)|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．提示：(1)当a，b共线且同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；(2)当a，b共线且反向时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．知识点二向量加法的运算律[填一填]1．交换律：a＋b＝b＋a.2．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．[答一答]4．化简下列各式．(1)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))；(2)eq\o(DB,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝0.解析：(1)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→)).(2)eq\o(DB,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝(eq\o(DB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝0.典例讲练破题型类型一向量的加法法则[例1]四边形ABCD是边长为1的正方形，设eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(BC,\s\up15(→))＝b，eq\o(AC,\s\up15(→))＝c，求作向量a＋b＋c，并求|a＋b＋c|.[分析]利用折线法，平移向量c，使a、b、c首尾相接，即可得和向量．[解]如图，延长AC到E，使AC＝CE，则eq\o(CE,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))，∴a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CE,\s\up15(→))＝eq\o(AE,\s\up15(→)).∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝eq\r(2)，∴|eq\o(AE,\s\up15(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝2eq\r(2).故|a＋b＋c|＝2eq\r(2).求作两个向量的和，一般用三角形法则或平行四边形法则，求作三个或三个以上向量的和，常用“折线法”，即先平移向量，使这些向量首尾相接，再连接第一个向量的起点和最后一个向量的终点，即得其和向量.[变式训练1](1)如图①所示，求作向量和a＋b.(2)如图②所示，求作向量和a＋b＋c.解：(1)首先作向量eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，然后作向量eq\o(AB,\s\up15(→))＝b，则向量eq\o(OB,\s\up15(→))＝a＋b.如图③所示．(2)方法一(三角形法则)：如图④所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，再作向量eq\o(AB,\s\up15(→))＝b，则得向量eq\o(OB,\s\up15(→))＝a＋b，然后作向量eq\o(BC,\s\up15(→))＝c，则向量eq\o(OC,\s\up15(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．方法二(平行四边形法则)：如图⑤所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，eq\o(OC,\s\up15(→))＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＝a＋b，再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则eq\o(OE,\s\up15(→))＝eq\o(OD,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝a＋b＋c即为所求．类型二向量的加法运算[例2](1)化简：①eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))；②eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(FA,\s\up15(→)).(2)如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：①eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OE,\s\up15(→))；②eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))；③eq\o(AE,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→)).[分析]根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量的结合律，调整向量顺序相加．[解](1)①eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))；②eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(FA,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→))＋eq\o(FA,\s\up15(→))＝eq\o(AF,\s\up15(→))＋eq\o(FA,\s\up15(→))＝0.(2)①由题图知，四边形OAFE为平行四边形，∴eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OE,\s\up15(→))＝eq\o(OF,\s\up15(→))；②由题图知，四边形OABC为平行四边形，∴eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))；③由题图知，四边形AEDB为平行四边形，∴eq\o(AE,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→)).在向量的加法运算中，通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过加法的结合律调整向量相加的顺序，可以省去画图步骤，加快解题速度.[变式训练2]如图，设eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(DA,\s\up15(→))＝b，eq\o(BC,\s\up15(→))＝c，则eq\o(DC,\s\up15(→))等于(C)A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c类型三向量加法的应用命题视角1：向量在平面几何中的应用[例3]用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．[分析]首先引入向量，再利用向量的关系进行证明．[证明]如图，根据向量加法的三角形法则有eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\o(DO,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→)).又∵eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))，eq\o(DO,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))，∴eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(DO,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→)).∴eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→)).∴AB∥DC且AB＝DC，即AB与DC平行且相等．∴四边形ABCD是平行四边形．要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等.根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应的向量相等即可.此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语言描述.[变式训练3]如图，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，试用a，b表示eq\o(BC,\s\up15(→))和eq\o(MN,\s\up15(→)).解：连接CN，∵N是AB的中点，AB＝2CD，∴AN綉DC，∴四边形ANCD是平行四边形，eq\o(CN,\s\up15(→))＝－eq\o(AD,\s\up15(→))＝－b.又eq\o(CN,\s\up15(→))＋eq\o(NB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝0，∴eq\o(BC,\s\up15(→))＝－eq\o(NB,\s\up15(→))－eq\o(CN,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)a＋b.eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\o(CN,\s\up15(→))－eq\o(CM,\s\up15(→))＝eq\o(CN,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AN,\s\up15(→))＝eq\f(1,4)a－b.命题视角2：向量加法的实际应用[例4]在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[分析]解答本题首先正确画出方位图，再根据图形借助于向量求解．[解]如图所示，设eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→))分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km.则飞机飞行的路程指的是|eq\o(AB,\s\up15(→))|＋|eq\o(BC,\s\up15(→))|；两次飞行的位移的和指的是eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→)).依题意，有|eq\o(AB,\s\up15(→))|＋|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up15(→))|2＋|\o(BC,\s\up15(→))|2))＝eq\r(8002＋8002)＝800eq\r(2)(km)．从而飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为800eq\向量应用题要首先画出图形.解决的步骤是：1将应用问题中的量抽象成向量；2化归为向量问题，进行向量运算；3将向量问题还原为实际问题.[变式训练4]如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)解：如图所示，设eq\o(CE,\s\up15(→))，eq\o(CF,\s\up15(→))分别表示A，B所受的力，10N的重力用eq\o(CG,\s\up15(→))表示，则eq\o(CE,\s\up15(→))＋eq\o(CF,\s\up15(→))＝eq\o(CG,\s\up15(→)).易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.所以|eq\o(CE,\s\up15(→))|＝|eq\o(CG,\s\up15(→))|·cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)，|eq\o(CF,\s\up15(→))|＝|eq\o(CG,\s\up15(→))|cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5.所以A处所受的力为5eq\r(3)N，B处所受的力为5N.课堂达标练经典1．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(C)A.eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→))B.eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))C.eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))D.eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(CB,\s\up15(→))＝0解析：因为eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DB,\s\up15(→))≠eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))，所以C错误．2．下列等式不成立的是(C)A．0＋a＝aB．a＋b＝b＋aC.eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＝2eq\o(BA,\s\up15(→))D.eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))解析：对于C，∵eq\o(AB,\s\up15(→))与eq\o(BA,\s\up15(→))方向相反，∴eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＝0.3．已知P为△ABC所在平面内一点，当eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＝eq\o(PC,\s\up15(→))成立时，点P位于(D)A．△ABC的AB边上B．△ABC的BC边上C．△ABC的内部D．△ABC的外部解析：如图，eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＝eq\o(PC,\s\up15(→))，则P在△ABC的外部．4.eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(OP,\s\up15(→))＋eq\o(BO,\s\up15(→))＝0.解析：eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(OP,\s\up15(→))＋eq\o(BO,\s\up15(→))＝(eq\o(OP,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→)))＋eq\o(BO,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(BO,\s\up15(→))＝0.5．如图，在△ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列三式：(1)eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CE,\s\up15(→))＋eq\o(EA,\s\up15(→))；(2)eq\o(OE,\s\up15(→))＋eq\o(A