2023-2024学年湖北省襄阳市高二年级下册开学考试数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年湖北省襄阳市高二下册开学考试数学

模拟试题

一、单选题

1.已知双曲线的渐近线方程为y=±2χ,则双曲线的离心率为()

A.BB.√5C.—D.B或垂)

252

【正确答案】D

【分析】分别讨论双曲线焦点在X轴和轴的情况，由e=可求得结果.

【详解】当双曲线方程为「■-y=l(a>0S>0)时，1=2,则离心率e=m=逐;

当双曲线方程为，一。l(α>0∕>0)时，£=2,则离心率e="M=当；

综上所述：双曲线的离心率为直或右.

2

故选：D.

2.等比数列｛4｝的前"项和为S,,,S2=I,S6=91,则S4为()

A.28B.32C.21D.28或21

【正确答案】A

［分析］根据等比数列片段和性质可构造方程求得邑，再由邑=邑(1+d)>0可得最终结果.

【详解】由题意知：邑，S4-S2,56-S4成等比数歹(］,

2

Λ(S4-7)=7(91-54),解得：邑=28或邑=-21；

S*="∣+氏+%+%=S?+α∣q~+=S,(l+q^^)=7(l+g~)>0,S4=28.

故选：A.

3.方程/Sina+y2cosα=l［θ<α<］］表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是()

ʌ-l°,4jB∙(0，dU旬D∙［彳句

【正确答案】C

I1TT

【分析】先根据椭圆焦点在)'轴上得出一!一<」一，然后使CoSa=Sin(g-α),进而根据正

sinacosa2

弦函数的单调性求出α的取值范围.

【详解】焦点在y轴上，

...--1-<---1-

SinaCOSa

.∙.sina>cosa,即sina>Sin(Q-a)

71

Q0<α<,

汗tt∏式冗

:.a>-----ct,RIJ—>α>一

224

故选：C.

4.过点A(I,T),β(-l,l),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是()

A.(x-l)2+(y-l)2=4B.(x+3)2+(y-l)2=4

C.(x-3)2+(y+l)2=4D.(x+l)2+(y÷l)2=4

【正确答案】A

【分析】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线x+y-2=0上求得圆心，圆

心到点4的距离为半径，可得圆的方程.

【详解】因为过点A(L-I)与3(-1,1),

所以线段AB的中点坐标为(0,0),L=匕㈢=T，

-1-1

所以线段AB的中垂线的斜率为A=I,

所以线段AB的中垂线的方程为y=χ,

又因为圆心在直线x+y—2=0上，

22

所以圆心为(U),r=5∕(l-l)+(l+l)=2

所以圆的方程为(x-iy+(y-l)2=4.

故选：A

5.设不同直线4：2x-my-↑=0,∕2：(m-l)x-y+l=0,则“租=2”是““4”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

【详解】当〃=?2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立.当//〃/2时,

2

显然"用0,从而有一=机一1,解得机=2或/M=-1,但当机=—1时，两直线重合，不合

m

要求，故必要性成立，故选C.

点睛：充分、必要条件的三种判断方法.

ɪ.定义法：直接判断“若P则。、“若q则。''的真假.并注意和图示相结合，例如

为真，则。是<?的充分条件.

2.等价法：利用p=q与非q=>非P,qnP与非P=非q,PQq与非q0非P的等价关系，

对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.

3.集合法：若AUB,则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B,则A是B的充

要条件.

6.在等差数列｛4｝中，其前〃项和为S,，若4>0,5=^。，则S,中最大的是()

A.S1B.S8C.5,D.Stu

【正确答案】C

【分析】先求得数列｛4｝的首项和公差的关系式，然后结合二次函数的性质求得正确答案.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,

由Sg=Slo得8q+28d=10<2l+45d,

17

所以4=一三"，由q>0,得到d<0.

所以S“=叫+——</=—(«2-18n),y<0,

222

从而当〃=9时S”有最大值.

故选：C

7.已知直三棱柱ABC-ABlG中，ZAfiC=120,AB=2,BC=CCl=1,则异面直线ABl与

8G所成角的余弦值为

ʌ√iθr√iθ「屈n√15

5555

【正确答案】B

如图所示，设M，N,P分别为A8,B耳和BC的中点

则Aq,BG夹角为MN和Np夹角或其补角

因异面直线所成角的范围为10，方

可知，MN=-AB.=—

212

NP=-BC=-

212

作BC中点Q,则MQM为直角三角形

PQ=∖,QM=^AC

ΔA3C中，由余弦定理得:

AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cosZABC=4+∖-2×2×∖×1

/7

AC=币,MQ=q

22

在AMQP中，MP=y∣MQ+PQ=ɪ

在APMN中，由余弦定理得

MN、NP!-PM?

CoSNMNP=

2×MN×NP2x石x&

22

又异面直线所成角的范围为（0，5

异面直线ABt与BC1所成角的余弦值为半

故选B

8.法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔・蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几

何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中.过椭圆

22

C:*+亲∙=ι(">o>o)外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹

是以椭圆的中心为圆心、以必方为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆.若椭圆

22

C:5+\=l(O<m<4)的蒙日圆为Ed+〉?=7,过圆E上的动点M作椭圆C的两条切

线，分别与圆E交于P,Q两点，直线PQ与椭圆C交于A,B两点，则下列结论不生颈的

是()

A.椭圆C的离心率为g

B.M到C的右焦点的距离的最大值为々+I

3

C.若动点N在C上，记直线AMBN的斜率分别为勺，则尢网=-1

D.JWPQ面积的最大值为]

【正确答案】D

【分析】A.根据蒙日圆的定义，可求椭圆方程，即可判断；

B.根据椭圆方程和圆的方程，结合几何意义，即可判断；

C.根据PQ为圆的直径，则点AB关于原点对称，利用点在椭圆上，证明“上=-；；

D.利用圆的几何性质，确定∙MPQ面积的最大值.

【详解】A.因为椭圆C:]+/=l(0<,”4)的蒙日圆为b∕+y2=7,根据蒙日圆的定义,

2

4+；M=7,得加=3,所以椭圆C:二+£=1,/=4,⅛=3,则¢2=1,所以椭圆的离心率

43

c1

<?=-=-,故A正确；

a2

B.点M是圆E:V+y2=7上的动点，椭圆的右焦点F(l,0),则IMFl的最大值是√7+ι,故B

正确；

C.根据蒙日圆的定义可知MPJ∙MQ,则PQ为圆E的直径,PQ与椭圆交于两点AB,点AB

关于原点对称，设A(Λ1,y∣),δ(-Λ⅛,-yl),N(Λ0,%),

k_--X%+%_)'；一犬一一Z(0一二L3,故C正确:

KAN.KBN——一~T~25~~T

D.因为PQ为圆的直径，∣P0∣=2√7,当点M到直线PQ的距离为r=√7时，PQW的面积

最大，此时最大值是!x2√7x√7=7,故D错误.

2

故选：D

二、多选题

9.已知等差数列｛4｝为递减数列，且“3=1，α2¾=^＞则下列结论中正确的有()

A.数列｛4,,｝的公差为B.a,,=-g"+∙∣

C.数列｛〃£,｝是公差为T的等差数列D.α,a7+¾=-l

【正确答案】ABC

【分析】A选项，根据等差数列的性质得到生+4=2%=2,从而求出％=3，¾=∣,得

到公差，A正确；

利用等差数列求通项公式求出B正确；

由a。=2/,得到当〃≥2时，2¾-2¾-,=-l,结合a：="从而得到C正确；

在C选项的基础上，求出q%=5-7=-2,结合包=∣-2=g,求出答案.

3

【详解】由题意知，〃2+%=2%=2.又生

3

故4，%可看出方程d-2x+τ=0的两根，

4

Y数列｛%｝为递减数列，

13

'"F4=]∙

...公差[="4=—！，故A正确；

22

又4=cι2~d=2,

.*.a=2÷(∕?-1)×(—)=—n-∖—,故B正确；

222

由上可知4%=2%,则当〃≥2时，2atl-2¾-1=2(¾-an_x)=2×f-∣j=-l,

当〃=1时，αj=4,

•••数列｛q%｝是首项为4,公差为T的等差数列，故C正确;

由C选项知：aiall=5-n,⅛⅛α1α7=5-7=-2,

13

.∖ata-r+a4=5—1+—=故D错误.

故选：ABC

10.已知圆C:(x-iy+(y-2)2=25,直线h(2m+l)x+(利+l)y-7m-4=0,则下列命题中

正确的有()

A.直线/恒过定点(3,1)

B.圆C被y轴截得的弦长为4

C.直线/与圆C恒相离

D.直线/被圆C截得最短弦长时，直线/的方程为2x-y-5=0

【正确答案】AD

【分析】求出直线所过的定点即可判断选项A；求出圆与y轴的交点坐标，进而求出弦长可

判断选项B；根据直线过的定点在圆内可判断选项C；当直线截得的弦长最短时，UCD,

⅛cd=-∣,即可求出直线方程，进而判断选项D.

【详解】将直线/的方程整理为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0,

fx+v-4=0fx=3t

由。^r八，解得：一则无论M为何值，直线/过都定点。(3,1),故选项A正确；

[2x+y-7=0[y=l

令R=O,则(y-2)2=24,解得y=2±2^,故圆C被>轴截得的弦长为4指，故B不正确;

因为(3-1)2+(1-2)2=5<25,所以点。在圆C的内部，直线/与圆C相交，故C不正确；

圆心C(l,2),半径为5,ICq=石，当截得的弦长最短时，IlCD,kco=~,

则直线/的斜率为2,此时直线/的方程为V-I=2(x-3),即2x-y-5=0,故D正确.

故选.AD

11.抛物线C：V=4x的焦点为尸，直线/过点F,斜率为鼠k>0),且交抛物线C于A、B

两点(点A在X轴的下方)，抛物线的准线为机，AAl!•，〃交，〃于A，BBlLm交〃，于耳,

点E(l,3),P为抛物线C上任一点，则下列结论中正确的有()

A.若8F=3FA,则Z=KB.IPEHPEl的最小值为-2

C.若Z=I,则MBl=I2D.ZAlFBt=90°

【正确答案】ABD

【分析】根据焦半径结合图形关系即可判断A,根据三点共线即可判断B,根据焦点弦即可

求解C,联立方程根据向量垂直即可求解.

【详解】对于A;设忸耳=3∣E4∣=3f,过A做AMJL网于点M,^∖BM∖=2t,∖AB∖=4t,易

得NAaW=60,从而A正确；

对于8:过户、E分别作W壬"、EElIfn于点R、Ei,则IpElTP尸|=|尸同TMl,当PU

三点共线时，此时最小值为一|%|=-2,从而8正确；

对于C:由二：：_八得y—I=。,"+%=。，IABl=XA+/+2=今+春+4,当

y/V[ʌɪIKKKK

Z=I时，IAM=*+*+4=4+4=8,C错误；

KK

y2=4xj

,/,ʌ得)广-■-y-4-0,-'-yyB=~^<F∖■FB=4+yy=0,从而

1j=Λ(x-l)kAiAB

ZAFB1=90°,故D正确，

故选：ABD

12.如图，在正方体ABCo-AACA中，点P在线段BG上运动，有下列判断，其中正确

的是（）

A.平面P8Q_L平面ACA

B.AP//平面4C。

c.异面直线AP与4A所成角的取值范围是(Ow

D.三棱锥A-APC的体积不变

【正确答案】ABD

【分析】对于A,利用线面垂直的判定定理证得。耳，平面ACR,从而利用面面垂直的判

定定理即可判断；

对于利用线面平行与面面平行的判定定理证得平面比/平面从而得以判断;

B,IICJACR,

对于C,利用线线平行将异面直线AP与Aq所成角转化为AP与BG所成的角，从而在等

边△网G中即可求得该角的范围，由此判断即可；

对于D,先利用线线平行得到点P到面平面4。C的距离不变，再利用等体积法即可判断.

【详解】对于A,连接08,如图，

因为在正方体ASCO-AAG。中，88∣J.平面ABC。，

又ACU平面ABC。，所以B8∣,AC,

因为在正方形ABCo中OB_LAC,又Z)B与BBl为平面£>5耳。内的两条相交直线，所以

ACL平面。88Q,

因为。线U平面BQI,所以。用_LAC,同理可得。4IAR,

因为AR与AC为平面ACR内两条相交直线，可得。旦，平面ACA,

又。用U平面尸BQ,从而平面P8Q_L平面ACR,故A正确;

对于B,连接AB,AC1,如图，

因为A4√∕CG,AA1=CC,,所以四边形MCC是平行四边形，

所以AcJ/AC,又ACa平面ACR,ACu平面ACA,

所以AC//平面ACA,同理BG〃平面AC。，

又AG、BG为平面BAG内两条相交直线，所以平面AAIG//平面ACQ一

因为APU平面BAG，所以AP//平面AC。，故B正确；

对于C,因为AR"BC,,所以A尸与AR所成角即为AP与BG所成的角，

因为AB=BG=AG，所以aBAG为等边三角形，

当尸与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取得最小值3；

当尸与线段BG的中点重合时，AP与AR所成角取得最大值：：

ππ

所以AP与4。所成角的范围是y,-,故C错误；

对于D,由选项B得BCJ/平面AAC,故BG上任意一点到平面AAC的距离均相等，

即点尸到面平面4。。的距离不变，不妨设为〃，则/.”c=%-A9c=；Sgc/，

所以三棱锥R-APC的体积不变，故D正确.

故选：ABD.

关键点睛：解答本题关键在于熟练掌握线面垂直与面面垂直的判定定理、线面平行与面面平

行的判定定理，能够利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化严密推理.

三、填空题

13.圆χ2-4x+V=0与圆d+y2+4χ+3=0的公切线共有条•

【正确答案】4

【分析】由两圆的位置关系，判断两圆的公切线.

【详解】由x2-4x+V=o=(χ-2)2+y2=4,

所以该圆的圆心坐标为(2,0),半径为2,

X2+y2+4x+3=0=>(x+2)2+y2=1,

所以该圆的圆心坐标为(-2,0),半径为1,

所以该两圆圆心距为4,两圆半径和为3,

因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，

故两圆的公切线共有4条.

故4.

14.设数列｛%｝的前"项和为臬，点(",，｝〃62.)均在函数了=3》-2的图象上，则数列

｛4｝的通项公式4=.

【正确答案】q,=6〃-5(〃eN")

【分析】代入法求得S,,,由S“表达式数列｛%｝为等差数列，求得首项和公差后可得通项公

式.

【详解】依题意得3=3〃-2,即S.=3∕-2*所以数列｛4｝为等差数列，且q=E=l,

n

¾=S2-S1=7,设其公差为"，则4=6,所以为=6"-5(〃eN").

故答案为=6"-5("eN")

15.已知椭圆和双曲线有共同的焦点K、F,M是它们的一个交点，且CoSN,记

24

椭圆和双曲线的离心率分别为%则一L的最大值为.

eIe2

【正确答案】生叵##2至

1515

【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到最→∕=8,再用基本

不等式求解.

【详解】不妨设M为第一象限的点，Fl为左焦点，

设椭圆的长半轴长为4,双曲线的实半轴长为的,

则根据椭圆及双曲线的定义可得Igl+∣Mg∣=2q,

∖MF]-∖MF2∖=2a2,所以IMI=q+4,∣M段=4-4,

∣∕∖∕ζ∣=2c,在AMEK中，CoSN耳M5=：,

由余弦定理得4。2=(勾+。2)2+(4-g)2-2(4+生)(4-42)cosN耳Mg,

35

化简得财+5*=8落BP-+—=8.

eIe2

rcrι3ɪ5Γ^~IlH∣/屈

所以f+f=8≥2J=~5，从而---≤，

eeee

ele2∖∣21215

当且仅当N=N且2+3=8,即q=3,e,=正时等号成立.

e∣C?e∣e2'222

故岖

15

16.过双曲线5-∕=lS>α>0)的左焦点尸(一Gθ)(c>θ)作圆/+V=/的切线，切点为

E,延长FE交抛物线V=4cχ于点P,O为坐标原点，若OE=g(OF+OP),则双曲线的离

心率为.

【正确答案】匕正

2

【详解】试题分析：因为IOFl=G|O©=a,OE_LEF,所以但F∣=6,因为OE=；(OF+0尸)，

所以E为PF的中点，∣PF∣=2"又因为。为FF的中点，所以PF”EO,所以IPFl=2α,

因为抛物线的方程为V=4cx,所以抛物线的焦点坐标为(c,0),即抛物线和双曲线的右焦

点相同，过尸点作X的垂线/,过P点作POL/,则/为抛物线的准线，所以PO=PF'=24,

所以点P的横坐标为2«-c∙,设P(X,y),在∕⅛Δ∕>Z>中，Pb1+DF2=PF1»即

4a2+y2=4b2,4a2+4c(2a-c)=4(c2-b2),解得e=

2

双曲线的简单的几何性质.

【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程、以及谁去下的简单的几何性质的应用，同

时考查了双曲线的定义及性质，着重考查了学生推理与运算能力、数形结合思想、转化与化

归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据题意得到抛物线和双曲线的右焦点相同，

得出点P的横坐标为2«-c,再根据在RfΔPE>F中，得出4/+4以2。-°)=4(°2-〃)是解答

的关键.

四、解答题

17.在"WC中，已知点A(8,4),β(4-l),C(-6,3).

(1)求BC边上中线的方程.

(2)若某一直线过B点，且X轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程.

【正确答案】(l)x—3y+4=0；

⑵x+4y=0或x+2y-2=0

【分析】(1)求出BC中点坐标，即可直接写出方程：

(2)若直线过原点，直接写出方程；若直线不过原点，设y轴上截距为处写出截距式，

代入B点即可解得参数.

【详解】(I)BC中点9=口］,即(―1,1),故BC边上中线的方程为y-l=M(x+l),

即x-3>,÷4=0;

(2)直线过8点且X轴上截距是)，轴上截距的2倍，

i.若直线过原点，则直线方程为y=-gx,即x+4y=0；

H.若直线不过原点，设y轴上截距为加，则直线方程为生+上=1,代入8点解得相=1,

2min

Y

故直线方程为］+y=l,即x+2y-2=0；

故该直线的一般式方程为x+4y=0或x+2y-2=0.

18.已知圆C的方程为N?+/=1.

⑴求过点P(l,2)且与圆C相切的直线/的方程；

(2)直线/过点尸(1,2),且与圆C交于AB两点，当AOB是等腰直角三角形时，求直线用的

方程.

【正确答案】(I)X=I或3x-4y+5=0

⑵x-y+l=O或7x-y-5=O

【分析】(1)斜率不存在时显然相切，斜率存在时，设出直线的点斜式方程，由圆心到直线

距离等于半径求出3进而得解；

(2)设出直线的点斜式方程，由几何关系得圆心到直线距离为立「，进而得解.

2

【详解】(1)当直线斜率不存在时，χ=l显然与-+V=1相切；

当直线斜率存在时，可设hy=Mχ-l)+2,由几何关系可得d=%4=r=l,解得％=故

√l+⅛24

l-.y=^x-l)+2,即3x-4y+5=0,故过点P(l,2)且与圆C相切的直线/的方程为X=I或

3x-4y÷5=0；

(2)设机:y=勺(X-I)+2,可设A8中点为£>,因为AOB是等腰直角三角形，所以

Oo=也r,即圆心到直线距离d=把==解得K=I或7,故直线m>=(x-l)+2

或y=7(x-l)+2,即x-y+l=O或7x-y-5=0.

19.数列{∕}(n∈N*)的前”项和S“满足S“=〃2+2〃+1.

⑴求见;

(2)设仇=α,,∙2"("wN*)的前"项和为善,求却

4(n=1)

【正确答案】⑴

⑵7>(2--l)∙2"M+4("eN")

【分析】(1)根据当〃=1时％=£,"≥2时α,=S,,-S,τ,代入S,,="2+2”+1化简求出勺；

(2)由(1)和条件求出打，对”进行分类讨论后，利用错位相减法求出前〃项和为Z,.

【详解】(1)①当〃=1时，％=Sl=I+2+1=4；

22

②当"wN*且"≥2时，απ≈ξ,-5,,-1=(n+2n+l)-^(n-l)+2(n-l)+lj=2n+l.

当n=l,2χl+l=3H4,故首项不符合以上公式.

4,/?=1

2n+l,n≥2

=1

(2)由(1)得，b=a∙T

nn+l)∙2,,,n≥2,

①当〃=1时，4=8；当〃=2时，(=28；

②当"∈N*且"≥3时，

T11=q∙2∣+ɑ,∙2~+%,2，+…+a,1,2"'+cιn,2"

234,,n+l

27；,=tzl∙2+Λ,-2+a3∙2∙2+⅛∙2

用下式减上式得：

l234,,+l

-7],=a∣∙2+(a2-tιl)∙2+(¾-02)∙2+(a4-«3)-2+∙∙∙+(a,,-an,t)-2"-an-2

BP-7；,=8+22+2∙23+2∙24+∙∙∙+2∙2,,-(2Π+I)∙2,,+,=8+22+2-(23+24+•••+2")-(2π+1)∙2,,tl

23(l-2n^2)

=12+2--(2rt+l)-2n+'=12+2-2M+'-24-(2M+1)∙2"+I=-4-(2n-l)∙2,,+,

1-2

得1,=(2"-l)∙2""+4.

U+

综上所述，^=(2∕7-1)∙2'+4(Λ∈N∙)

20.已知动圆过定点4(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为&

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)己知点B(—1,0),设不垂直于X轴的直线/与轨迹。交于不同的两点P,X轴是NpBQ

的角平分线，BNLPQ,N为垂足,是否存在定点R,使得INRl为定值，说明理由.

【正确答案】(l)y2=8x

(2)存在，理由见解析

【分析】(1)设动圆圆心为点P(x,y),由勾股定理表示弦长可得轨迹方程；

(2)设直线/的方程为y=fcc+b(原0),代入(1)中轨迹方程，由判别式得妨＜2,设点

P(xι,y∕),0(X2,”)，由韦达定理得士+%工/2，由X轴是NP8。的角平分线，得kPB

+ZQB=O,代入玉+&，%*2化简可得。=一左，从而可得直线所过定点£＞，BO为定线段，由

直角三角形性质得定点R.

【详解】(1)设动圆圆心为点P(x,y),则由勾股定理得/+42=(χ-4)2+√,化简即

得圆心的轨迹C的方程为y2=8χ.

(2)证明：由题意可设直线/的方程为y=fcc+匕(⅛≠0).

[y=kx+b,

联立，C得心2+2(kb—4)x+∕=O.

I>=8x,

由/=4(kb-4)2-4⅛⅛2>0,得kb<2.

、人占0,、c(X∣,∣,2(他-4)b2

设点P(x∣,yι),Q(X2.")，则πx∕+x2=------M—,x∣x2--^.

因为X轴是NP8。的角平分线，所以&PB+AQB=。，

VV,

即kPB+kQB=-ɪj1-+—γ

X1I1.ɪɔIɪ

2AX1X2+(⅛+⅛)(x1+x2)+2⅛8(⅛+⅛)

2

(xl+l)(x2+l)=(Λ,+1)(X2+1U=3

所以女+/?=0,即b=-2,所以/的方程为y=&(X—1).

故直线/恒过定点。(1,0).

于是忸4为定值且BND为直角三角形且忸。为斜边

所以8。中点R满足WRl为定值INRI=∣∣BD∣=1此时点R的坐标为(0,0).

21.如图①，已知矩形ABC。的长为4,宽为6，点M是边AB上的点，且34M=MB.如

图②，将SAMf)沿MO折起到aA'MO的位置，使得平面AMZU平面BMDC,平面AMBC

平面MCD=I.

图①图②

(1)求证：/平面BWDC；

(2)在线段DC(不包含端点)上是否存在一点尸，使得平面AMP与平面AVC的夹角的余

弦值为半？若存在，确定点尸的位置；若不存在，请说明理由.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)存在，点尸为线段OC的中点

【分析】（1）由8M〃CD可得8M〃平面AC。，根据线面平行的性质定理得〃/EW,再由线

面平行判定定理可证明结论.

（2）先假设存在，建立空间直角坐标系，设CP=ZIC。，利用平面A'MP与平面AMC的夹角

的余弦值为半，建立4的等式关系，求得九

【详解】（1）BMHCD,又8M0平面48,8匚平面4幻2，刚/〃平面40

又BMU平面A'MB,平面AMBC平面A1CD=1,:.1//BM,

/（Z平面BMDC,BMU平面BMDC,:.1//平面BMDC.

（2）假设存在点R

由题意知340=MB,AB=4,;.AM=1,=3,

又BC=AO=石由勾股定理可得CM=26,MO=2,

.∙.CM2+MD2=CD2,:.CMVMD.

又平面AMD_L平面BMDC,平面AMD`平面BMDC=MD,CMU平面BMDC.

.•.CM，平面AM£）,

过点M作垂直于平面BWDC的直线ΛW,以M点为原点，分别以MC,M，所在直线为

X轴、y轴、Z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则M(O,0,0),C(260,0),£>(0,2,0),A[0,；，5J，则

MA'=θ,ɪ,ɪ,MC=(2√3,O,θ),CD=(-2√3,2,θ),

设〃=(x∣,χ,z∣)为平面AMC的法向量，.∙.MCn=O,MA/n=O,

2扃=0

1ʌ/ɜ，则Xl=0，令％=6，则4=T,

-y4-----z∣=0

2*2,

.∙.”=(0,6,-1)为平面AMC的一个法向量.

设CP=2CD,由题意，知，G(0,1),

则MP=MC+CP=MC+ΛCD=(2√3-2√32,2λ,θ),

设m=(X2,丫2,Z?)为平面AM尸的法向量，，MP-m=0,MA'm=0,

(2√3-2√3Λ)x2+2Λy2=0

令%二百，则工2==7/2=-1，

ɪ√3C

—ʃɔ+——z=0

222.2

为平面AA沪的一个法向量,

由kOS(利力=2^得^―)+4=逐，

解得2=g∈(0,l).

•••在线段Z)C(不包含端点)上存在一点P,使得平面A加2与平面AM