数列放缩四大题型汇总（原卷版）-2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题29数列放缩四大题型汇总

01

题型1先求和后放缩.................................................................1

题型2先放缩后裂项.................................................................2

题型3放缩成等比型.................................................................5

题型4放缩成错位相减型.............................................................7

题型1先求和后放缩

【例题IX2023秋•广西•高三统考阶段练习）已知数列｛即｝的前几项和为%"n+1=Sn+1,

数列｛Sn｝的前71项和为7n，且Ti=1.

Q）求｛an｝的通项公式与7；；

⑵设数列团的前n项和为R”,证明：Rn>4n-8.

【变式1-1]1.（2023•浙江・模拟预测）已知数列5｝满足a?=2a-+上+•••+

a2a3

---=---6N

anan+iaian+i

⑴若%=1,求数列｛斯｝的通项an；

⑵记外为数列｛斯｝的前71项之和，若三+=+…+三<2,求四的取值范围.

【变式1-1]2.（2023秋•河北•高三统考阶段练习）已知数列｛%｝是等差数列，的=1,公

差为d（d*0）,其前“项和为S”，且。2，。5，的4成等比数列.数列｛九｝的解几项和为几，且3%=

dTn+3.

Q）求数列｛%｝,｛%｝的通项公式；

（2）设4=詈，证明：&+4+4+—卜4V1.

n°nn

【变式1-1]3.（2023秋•甘肃白银•高三校考阶段练习）已知数列&｝,｛%｝满足的=瓦=

1,b+1=#匕•记”为｛匕｝的前n项和•

⑴若｛%J为等比数列，其公比q=2,求Tn;

（2）｛册｝为等差数列，其公差d=1,证明：7n<2

【变式1-114.（2023•河南•校联考模拟预测）已知等差数列｛an｝的前n项和为£,的=1,

且a2,a5,%4成等比数列.

Q）求数列｛册｝的通项公式；

（2）当数列｛即｝的公差不为0时，记数列「\|的前n项和为7n,求证：7；<

【变式1-1]5.（2023秋•四川绵阳•高三绵阳中学校考阶段练习）已知等差数列｛〃｝的前几项

和为%,且S4=4s2,a3n=3an+2（>eN）

（1）求｛an｝的通项公式,

⑵设勾=-^―,且也｝的前n项和为7；,证明，gWT<去

aan

nn+lJ乙

【变式1-1]6.（2023秋湖北荆州•高三沙市中学校考阶段练习）已知正项数列｛即｝，其前

n项和S”满足0n（2S"—厮）=n,nCN*

Q）求｛SJ的通项公式.

（2）证明：2+专•!----1-2<2.

【变式1-1】7.（2023・天津•校联考一模）已知数列｛七｝是首项为1的等差数列，数列｛%｝是

公比不为1的等比数列,且满足的+a2=b2,a2+a3=b3,a4+a5=b4.

Q）求数列｛an｝,｛%｝的通项公式；

⑵求2%i（T）%也；

（3）令。.片产史"5eN*），记数列｛Cn｝的前n项和为分，求证:对任意的neN*,

｛anDn+i）｛an+1on+1+i）

都有1<sn<^.

题型2先放缩后裂项

、I,品

中F均量点

第一组：

（1）专<舟?=v：-；522）;

(2)—>—i―=i--

n2n(n+l)nn+1

⑶舟=2

第二组:

（1）亲=而%<悬而=2（一后=1+①）6?2）；

（2）赤=标7^>VR+VH+T=2（一迎+6+1）；

（3）奈=<口：口==V2（-V2n-1+V2n+1）；

第三组：

2(V^+l-^)=?=^<i<?=^=2(V^-V^^T).

第四组：

11_1<1_Vn+1-Vn-l11___________1

)Vn^y/n-n2J(n-l)n(n+l)J(n-l)n(n+l)Vn+l-Vn-17(n-l)nJn(n+1)

1回A2岛-磊）…;

Vn+l-Vn-1

/2)1_2v2=_2___________-2(Vn-l-Vn)_2

Vn^Vn2-n+Vnn2nVn-l+(n-l)Vn/(n^l)n(Vn+Vn-1)J(n-l)nVn-1

.522)；

第五组：

n

/])2n_2n2_2九一1__J._________1_,>.

()(2n-1)2-(2n-l)(2n-l)<(2n-l)(2n-2)-(2J)(22-1)-2吁1一1"2n-l⑺-)

(2)-!-=1<——=_A_=Z_"

'J2n-l(l+l)n-lC^+C^+C^-ln(n+l)nn+1

/3)12.1=_j.______>2)

nn

I)2-l<(2n-l-i)(2n-i)-2让】-1-2-l一人

【例题212023秋福建厦门•高三厦门一中校考阶段练习）6知数列｛a"满足%>0%+i=

pog2an,n=2/c-1,/ceN*

I2a"+2,n=2k,keN*'

Q)判断数列｛az”.1｝是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；

⑵若数列5｝的前10项和为361，记b=-——4——，数列｛勾｝的前凡项和为Tn，求证：

(log2a2n+l)a2n+2

7；<-.

n2

【变式2-1]1.(2023秋•山东泰安•高三统考阶段练习)记S”为数列｛即｝的前n项和，已知

Y111

%=1,------------------=—.

aa

nn+l2Sn

(1)求｛an｝的通项公式；

⑵令bn=/，证明：鬻+鬻+•♦•+如壮<V2.

2a?iv^2个bn

【变式2-1】2.(2023•河北唐山模拟预测)已知5｝和面｝是公差相等的等差数列，且公

差d>0,｛%｝的首项%=1,记立为数列｛册｝的前n项和，anbn=2Sn.

(1)求职和垢；

(2)若o二卷,｛金｝的前n项和为7；，求证：7；<敬•

【变式2-1]3.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛an｝满足的>0,an+1=

，082即，。为奇数

12。”+2"为偶数

(1)判断数列应…｝是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由;

(2)若数列5｝的前10项和为361,记匕=-——4一，数列也｝的前n项和为%,求

U°gza2n+i)a2n+2

证:〃<套

【变式2-1]4.(2023秋•湖南常德•高三临澧县第一中学校考阶段练习)已知数列｛即｝为

等差数列，数列｛%｝为等比数列，且=7,%=1+b3=aj,a2b3=4a3+b2(n6N+).

(1)求｛即｝,｛%｝的通项公式；

cznbn，n为奇数

(2)已知cn=，求数列｛cM｝的前2n项和72n；

,n为偶数

anan+2

n

⑶求证：w1

alogdi<1-

i=li+12

【变式2-1]5.(2023秋•重庆・高三重庆一中校考开学考试)正项数列｛即｝的前n项的积为

t“，e｝的前n项的积为7n,已知｛笠是公差为1的等差数列.

⑴求数列｛斯｝的通项公式；

(2)记数列｛/｝的前n项的和为土,证明：Sn<£

【变式2-1]6.(2023秋•湖南长沙•高三周南中学校考开学考试)正数数列｛即｝，也｝满足的=

8,瓦=16,且即,b,即+1成等差数列，为，即+1，勾+1成等比数列.

(1)求5｝,也｝的通项公式；

(2)求证：

【变式2-1】7.(2023•全国•高三专题练习)已知等比数列的前兀项和为其,即+1=S"+

2(nGN*).

(1)求数列｛即｝的通项公式；

⑵在即与即+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为

Tn,若不等式(-1)-<2-部寸一切n6N，恒成立，求实数犯勺取值范围；

•n

⑶记"金，求证:鬻+登+…+*<加€N)

【变式2-1]8.(2022秋•天津和平•高三耀华中学校考阶段练习)已知数列｛斯｝是公差为2

的等差数列其前8项的和为64数列｛d｝是公比大于0的等比数列力】=3%-％=18.

Q)求数列5｝和｛砥｝的通项公式；

(2)记7=(-1己W，neN*,求数列｛7｝的前2n项和S2n；

⑶设小=能一/，记T"=;证明：当九eN*时，2Tn+—^—7<彳.

34H=1心2%-(巧02

题型3放缩成等比型

【例题3]（2022秋•天津河北•高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）已知数

列｛4｝的前n项和5n满足％=2(0n—1)；数列｛%｝满足%+2+bn=2bn+1,nCN*,的=

b,=a2,

（1）求数列｛%J、｛%｝的通项公式；

…露2；：:iM求瑞q；

（2）记数列％=

an

⑶记数列d”=（F）2,求证：%]为<o，

3n4

【变式3-1]1.（2022秋•黑龙江哈尔滨•高三哈师大附中校考期中）已知数列的前几项

和为%,%=3,Sn=2+%+i.

⑴证明：数歹!!｛Sn—2｝为等比数歹」;

⑵记数列｛以的前n项和为Tn,证明：Tn<2.

【变式3-1]2.（2022秋•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习）记又为数列&｝的前n

项和，已知叼=2,｛3a/2Sn｝是公差为2的等差数列.

Q）求｛即｝的通项公式；

⑵证明:扛9…+今<1・

【变式3-1]3.（2022秋•广东•高三校联考阶段练习）已知数列｛%，｝的首项为1,Sn为数列

｛%｝的前n项和，Sn+1=qSn+l,其中q>0,nGN*.

（1）若2a2，。3，。2+2成等差数列，求｛an｝的通项公式；

⑵设数列｛b｝满足垢="谒，且与=|，数列｛时｝的前n项和为〃,证明：Tn>

4n-ln

号SeN*).

【变式3-1]4.（2022秋•天津南开•高三南开中学校考期中）记上是公差不为0的等差数

sn1

列3J的前n项和，已知。3+3a4=S5以逆5=4，数列｛%｝满足%=3bHt+2~(n>2),

且a=Q]-1.

(1)求5｝的通项公式，并证明数列偿+1｝是等比数列;

(2)若数列｛%｝满足。=(-,求｛0｝的前"项和的最大值、最小值.

+<

⑶求证：对于任意正整数n(rr+-+rI-

如b2bn2

【变式3-1]5.(2022秋•浙江杭州•高三浙江大学附属中学校考期中)记上为数列｛%｝的前

n项和，已知的=2,｛3an-2s工是公差为2的等差数列.

(1)求证｛an+1｝为等比数列，并求｛册｝的通项公式；

(2)证明：三+三+…+上<1.

a1。2a?t

题型4放缩成错位相减型

【例题4](2023秋•广东广州•高三仲元中学校考阶段练习)已知｛册｝是公差为2的等差数

列，其前8项和为64.｛%｝是公比大于0的等比数列，为=4,%-与=48.

⑴求小｝和也｝的通项公式：

⑵记0=%++)CN*,证明：、摩5<2企(neN*)

//.Ck~C2k

【变式4-1】1.(2023•全国•高三专题练习)已知数列5｝的各项为正且满足的>的，a“+i=

GN*).

(1)证明:an>an+1.

⑵令b=四为应，记数列｛%｝的前n项和为Sn,证明分<碧.

nUj—«2lo

【变式4-1】2.(2023•天津武清•天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测)已知数列｛即｝

是等比数列,其前n项和为土，数列｛%｝是等差数列，满足％=坊=3,1+a?=2%，S2+

54=2(S3+。3)

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式；

(a,n=2k—1、

⑵记％=[n®n=2k5x€心，求£阻以以+】；

(3)证明：£"产铲<黑_1.

=1九+1"+22九+3

【变式4-1]3.(2023・全国•高三专题练习)数列｛a,J中，%=1对任意正整数n都有

23

(3n+9)•(n+l)an+1=(n+2')an.

⑴求｛an｝的通项公式；

⑵设｛即｝的前几项和为％,证明：

①厮<(3),(n+1)；

②等

【变式4-1]4.(2023•全国•高三专题练习)已知等差数列｛即｝的前n项和为%,%=1,

54=10,数列｛九｝满足：名=3,bn+1=2bn-l(neN*).

Q)证明：[bn-1｝是等比数列；

(2)证明:S2n+1-bn>2Sn.bn+1；

(券为奇数9

⑶设数列&｝满足：0=(""2.证明：£四1Ck</

等,n为偶数

Ibn

【变式4-1】5.(2023•重庆•校联考三模)已知函数f(x)=(1+%)«(0<a<1).

(1)当％>0时，证明：/(x)<1+a-x；

⑵数列｛斯｝的前几项和为L，且%+即=1；

(i)求即；

(ii)求证：+a；，+…+a噩%>■

1.(2022•浙江•模拟预测)已知正项数列｛总满足%=1,当i22时d-欣t=2n