备考2024年中考数学专题突破（全国通用）专题2-6 逆等线之乾坤大挪移（解析版）

资料整理资料整理资料整理专题2-6逆等线之乾坤大挪移TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型一平移，对称或构造平行四边形2022年四川省内江中考2022滨州中考题型二构造SAS型全等拼接线段2022·贵州遵义·统考中考真题2023·日照·二模2023·咸阳·二模2023·深圳中学联考2023·甘肃武威中考真题拆解2023·黄冈中考真题拆解题型三构造相似求加权线段和2023年成都市天府新区二模2022·广州中考真题（7种解法）2023·湖北黄石中考拆解题型四取到最小值时对其它量进行计算湖北武汉·中考真题一、什么是逆等线段。两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等,那么这两条始终相等的线段称为逆等线段。二、解题步骤:1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形。(图中本身就有的三角形，不要添加辅助线以后构成的三角形)2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变。3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长，与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角。4.问题转化为将军饮马问题求最值。【模型解读】△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线，就是怎么别扭怎么来。一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。

这样解释很笼统很枯燥，我们以具体例题来描述如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。分析思路：①AD在△ADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等。②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）③构造出△ADC≌△CEF(SAS),证出EF=CD④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值⑤求BF题型一平移，对称或构造平行四边形2022年四川省内江中考如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是．【答案】10【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可．【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，∵，EF＝CG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值为10如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E为AB边上的两个动点，且AD＝BE，连接CD，CE，若AC＝2，则CD+CE的最小值为．【答案】4解：如图：构造矩形ACBF，连接DF，EF，CF交AB于点O，则OF＝OC，OA＝OB，AB＝CF，∵AD＝BF，∴OD＝OE，∴四边形CEFD为平行四边形，∴DF＝CE，∴CD+CE＝CD+DF≥CF，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4，∴CD+CE≥4，故答案为：4．如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为．

【答案】【分析】证得，作点关于的对称点，则，据此即可求解．【详解】解：连接，作点关于的对称点，连接

由题意得：∵∴∴∵∴∴的最小值为2022滨州中考如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC，分别交对角线AC，直线BC于点O，F，则在点E移动的过程中，AF＋FE＋EC的最小值为_________．AADBCFEO【答案】【解析】∵AB＝5，AD＝10，∴AC＝＝．∵EF⊥AC，∴由矩形内十字架模型可知，＝，∴＝，∴EF＝．以EF，EC为邻边作□EFGC，则EC＝FG，CG＝EF＝，AADBCFEOG∠ACG＝∠EOC＝90°．在Rt△ACG中，AG＝＝，∴AF＋FE＋EC＝AF＋FG＋FE≥AG＋FE＝，∴AF＋FE＋EC的最小值为．如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为．【答案】13【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．【详解】解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC，∵AP=CQ，∴AD-AP=BC-CQ，∴DP=QB，DPBQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PBDQ，PB=DQ，则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB=PE，∴PC+PB=PC+PE，连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，∵BE=2AB=12，BC=AD=5，∴CE==13．∴PC+PB的最小值为13如图，正方形的边长为2，是的中点，是上的动点，过点作分别交，于点，．（1）的长为；（2）的最小值为．【答案】【分析】(1)根据正方形的性质求得AB与BM，再由勾股定理求得AM；(2)过F作FG⊥AB于G，证明△ABM≌△FGE得AM=EF，再将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，当A、F、H三点共线时，EM+AF=FH+AF=AH的值最小，由勾股定理求出此时的AH的值便可．【详解】解：(1)∵正方形ABCD的边长为2，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∵M是BC的中点，∴BM=BC=1，∴，故答案为：；(2)过F作FG⊥AB于G，则FG=BC=AB，∠ABM=∠FGE=90°，∵EF⊥AM，∴∠BAM+∠AEN=∠AEN+∠GFE=90°，∴∠BAM=∠GFE，∴△ABM≌△FGE(ASA)，∴AM=EF，将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，则EF=MH，∠AMH=90°，EM=FH，当A、F、H三点共线时，EM+AF=FH+AF=AH的值最小，此时，∴EM+AF的最小值为题型二构造SAS型全等拼接线段如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝2，D、E分别是AC、AB上的动点，且AD＝BE，F是BC的中点，则BD＋EF的最小值为___________．AABCDEF【答案】eq\r(,13)提示：作BG∥AC且BG＝AB，连接GE，作GH⊥BC于HAABCDEFGH则∠GBH＝∠C＝30°，GH＝1，HB＝eq\r(,3)BF＝eq\r(,3)，HF＝2eq\r(,3)，GF＝eq\r(,13)△ABD≌△BGE（SAS），BD＝GEBD＋EF＝GE＋EF≥GF＝eq\r(,13)，最小值为eq\r(,13)如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝3eq\r(,3)，点E、F分别是对角线AC和边CD上的动点，且AE＝CF，则BE＋BF的最小值是___________．DDABCEF【答案】3eq\r(,7)提示：作AG⊥AC且AG＝BC，连接BG、EGDDABCEFGH则△GAE≌△BCF，BF＝GEBE＋BF＝BE＋GE≥BG解△ABG得BG＝3eq\r(,7)，BE＋BF的最小值是3eq\r(,7)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为边BC上一点，AE＝AD，M、N分别为线段AE、BE上的动点，且AM＝EN，连接DM、DN，则DM＋DN的最小值为___________．AABCDNEM【答案】4eq\r(,2)提示：连接ANAABCDNEMA′由题意，AD＝AE，∠DAM＝∠AEN＝30°，AM＝EN∴△ADM≌△EAN，∴DM＝AN延长AB至点A'，使A'B＝AB，连接A'N、A'D则AN＝A'N，∴DM＋DN＝AN＋DN＝A'N＋DN≥A'D当A'、N、D三点共线时DM＋DN的值最小此时A'N＝DN，∴AN＝EQ\F(1,2)A'D＝DN∴点N在线段AD的垂直平分线上∴BN＝EQ\F(1,2)BC＝2，∴AN＝eq\r(,2)AB＝2eq\r(,2)∴DM＋DN≥A'D＝2AN＝4eq\r(,2)即DM＋DN的最小值为4eq\r(,2)如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE＋AF的最小值为___________．AADBCEF【答案】2eq\r(,2)提示：作BG⊥AB且BG＝AB，连接AG、EGAADBCEFG则AD＝BG，∠ADF＝∠GBE＝30°又∵DF＝BE，∴△ADF≌△GBE，∴AF＝EG∴AE＋AF＝AE＋EG≥AG＝eq\r(,2)AB＝2eq\r(,2)即AE＋AF的最小值为2eq\r(,2)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），C（4，3），CD⊥y轴于D，连接OC，E、F分别是线段CD、OC上的动点，且CE＝OF，连接AE、AF，则AE＋AF的最小值为___________，此时点E的坐标为___________．yyxOADCEF【答案】（EQ\F(2,13)，0）提示：在x轴上取点B（5，0），连接AB、AC、BFyxyxBOADCEFyxBOADCEF∵A（0，6），C（4，3），CD⊥y轴，∴AD＝OD＝3∴AC＝5＝BO，CD是AO的垂直平分线，∴CA＝CO∴∠ACE＝∠OCE＝∠BOF又∵CE＝OF，∴△ACE≌△BOF（SAS），∴AE＝BF∵A（0，6），B（5，0），∴AB＝eq\r(,61)∴AE＋AF＝AF＋BF≥AB＝eq\r(,61)，即AE＋AF的最小值为eq\r(,61)此时点F落在线段AB上，即直线AB与OC的交点易求直线AB：y＝－EQ\F(6,5)x＋6，直线OC：y＝EQ\F(3,4)x可得F（EQ\F(40,13)，EQ\F(30,13)），CE＝OF＝EQ\F(50,13)，DE＝CD－CE＝4－EQ\F(50,13)＝EQ\F(2,13)∴此时点E的坐标为（EQ\F(2,13)，0）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转30°到△AB'C'，M、N分别为边AC'、B'C'上的动点，且AM＝C'N，连接CM、CN，则CM＋CN的最小值为___________．AAB′C′NMCB【答案】4eq\r(,2)提示：连接AN由题意，AM＝C'N，∠C'＝∠ACB＝∠CAC'＝30°，AC＝AC'∴△ACM≌△C'AN，∴CM＝AN延长AB'至点A'，使A'B'＝AB'，连接A'N、A'CAAB′C′NMCBA′则AN＝A'N，∴CM＋CN＝AN＋CN＝A'N＋CN≥A'C当A'、N、C三点共线时CM＋CN的值最小此时A'N＝CN，∴AN＝EQ\F(1,2)A'C＝CN∴点N在线段AC的垂直平分线上∴B'N＝EQ\F(1,2)AC＝AB＝AB'，∴AN＝eq\r(,2)AB'＝eq\r(,2)AB＝2eq\r(,2)∴CM＋CN≥A'C＝2AN＝4eq\r(,2)即CM＋CN的最小值为4eq\r(,2)2022·贵州遵义·统考中考真题如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为．【答案】【分析】过点作，且，证明，可得，当三点共线时，取得最小值，证明，即可求解．【详解】如图，过点作，且，连接，如图1所示，，又，，，，当三点共线时，取得最小值，此时如图2所示，在等腰直角三角形中，，，，，，，，，，设，，，，，，，，即取得最小值时，CM的长为，故答案为：．2023·日照·二模如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为．【答案】/【分析】如图：过点C作使，连接；证可得，；将最小值可转化成最小值，则当A、D、B在同一直线上时，最小，即长度；；再根据求得、，即；再运用待定系数法求得直线表达式，最后将代入表达式求得x的值即可解答．【详解】解：如图：过点C作使，连接，在和中，，∴，∴，，∴最小值可转化成最小值，当A、D、B在同一直线上时，最小，即长度；∵，∴，∴设表达式为:，由题意可得：，解得：，∴表达式为:，将代入得:，解得：，∴D点坐标为．故答案为：．2023·咸阳·二模如图，在中，，，点P是边上的动点，在边上截取，连接，则的最小值为．

【答案】【分析】由“”可证，可得，则的最小值为，由勾股定理可求解．【详解】解：过点C作，并截取，连接，设交于点E，∵，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∴，在中，，∴的最小值为，如图，过点B作于F，

∴，∴，∴，∴，，∴，∴2023·深圳中学联考如图，点是正方形内部一个动点，且，，则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】取，则,证明得出，进而证明，即可证明，得出，则当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，取，则,连接，

∵，，∴点在以为圆心为半径的圆上运动，点在以为圆心为半径的圆上运动，在中，，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，又，，∴，∴，当时，则当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，在中，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D，E分别是AC，AB上的动点，且AD＝BE，连结BD，CE，则BD+CE的最小值为．【答案】解：过B作BF∥AC，在平行线上取BF＝AB，连接EF，如图：∴∠EBF＝∠A，∵BF＝AB，BE＝AD，∴△BEF≌△ADB（SAS），∴EF＝BD，∴BD+CE＝EF+CE，当C，E，F共线时，EF+CE最小，即BD+CE最小，最小值即为CF的长度，∵BF∥AC，∠ACB＝90°，∴∠FBC＝90°，∴CF＝＝，∴BD+CE最小为，故答案为：．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为．【答案】【详解】解：如图，BC的下方作∠CBT＝30°，在BT上截取BT，使得BT＝AD，连接ET，AT．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF＝∠ADC＝30°，∵AD＝BT，∠ADF＝∠TBE＝30°，DF＝BE，∴△ADF≌△TBE（SAS），∴AF＝ET，∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝2，∴AT＝＝，∴AE+AF＝AE+ET，∵AE+ET≥AT，∴AE+AF≥，∴AE+AF的最小值为，故答案为．2023·甘肃武威中考真题拆解如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．(1)求抛物线的表达式；(2)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）由题意得，，连接．在上方作，使得，，证明，根据得出的最小值为，利用勾股定理求得，即可得解．【详解】（1）解：∵抛物线过点，∴，∴，∴；（2）如图2，由题意得，，连接．在上方作，使得，，∵，，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴（当，，三点共线时最短），∴的最小值为，∵，∴，即的最小值为．2023·黄冈中考真题拆解已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接．

如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，，点E，F分别为的边上的动点，，记的最小值为m．①求m的值；②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．【答案】，【分析】①作，且使，连接．根据证明，可得，即Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，设，则，根据求出点Q的坐标，燃然后利用勾股定理求解即可；②作轴，交于点T，求出解析式，设，，利用三角形面积公式表示出S，利用二次函数的性质求出S的取值范围，结合①中结论即可求解．【详解】解：①如图2，作，且使，连接．∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，∵，，∴，∵，∴，∴．设，则，∴，解得或（舍去），∴，∴，∴，，∴；

②如图3，作轴，交于点T，待定系数法可求解析式为，设，，则，∴，∴，∴，∴．

题型三构造相似求加权线段和2023年成都市天府新区二模如图，在中，，，．D，E分别是边，上的动点，且，则的最小值为．【答案】【分析】过作于，使，连接、，即可得到，，即最小值为的长．【详解】方法一：过作于，使，连接、，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴当三点共线时有最小值，最小值为的长∵∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴∴的最小值为方法二：，则，，∴，设，∴∴可以看成点到点和的距离之和，∴当、、三点共线时最小，最小值如图，已知BC⊥AB，BC＝AB＝3，E为BC边上一动点，连接AE，D点在AB延长线上，且CE＝2BD，则AE＋2CD的最小值为________【答案】3解：作CF⊥CB，且使得CF=6，连接EF过点A做AG⊥CF，交FC延长线于点G∵CFCB∴△FCE∽△CBD，EF=2CD∴AE+2CD=AE+EF当A、E、F三点一线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF易知：四边形ABCG为正方形AG=3,CG=3FG=9在Rt△FAG中，由勾股定理得AF=3AE+2CD的最小值为3如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°．E，F分别是BC，BD上的动点，且CE＝DF，则AE+AF的最小值为。【答案】【解答】解：如图，连接AC，过点C作CT⊥CA，使得CT＝AD＝1，连接AT．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，∠ADB＝∠ADC＝30°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝1，∵AC⊥CT，∴∠ECT＝30°，∴∠ADF＝∠ECT，∵CE＝DF，CT＝DA，∴△ADF≌△TCE（SAS），∴AF＝ET，∴AE+AF＝AE+ET≥AT，∵∠ACT＝90°，AC＝CT＝1，∴AT＝＝＝，∴AE+AF≥，∴AE+AF的最小值为．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F分别是BD，BC上的一动点，且BF＝2DE，则AF+2AE的最小值是。【答案】【解答】解：连接DF，延长AB到T，使得BT＝AB，连接DT．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，BC∥AD，∴tan∠DBA＝＝，∠ADE＝∠DBF，∴∠DBA＝30°，∴BD＝2AD，∵BF＝2DE，∴＝＝2，∴△DBF∽△ADE，∴＝＝2，∴DF＝2AE，∴AF+2AE＝AF+DF，∵FB⊥AT，BA＝BT，∴FA＝FT，∴AF+2AE＝DF+FT≥DT，∵DT＝＝∴AF+2AE≥，∴AF+2AE的最小值为如图，等腰直角△ABC中，斜边BC=2，点D、E分别为线段AB和BC上的动点，，求的最小值.【答案】10解：作BF⊥BC并且使得BF=2，连接EF∵BEAD=BFAC=22=2∴EF=2CD∴AE+2CD=AE+EF当A、E、F三点共线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF反向延长BF，过点A作AH⊥BF于点H在Rt△AHF中，由勾股定理易得：AF=10∴AE+2CD的最小值为102022·广州中考真题（7种解法）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，连接BD．(1)求BD的长；(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE=DF，当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)；(2)最小值为12【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO=，即可求解；（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，根据菱形的面积可求出MN=，设BE=，则EN=，从而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，从而得到四边形ABEF的面积s=S△ABD-S△DEF，作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由，可得当，即BE=时，s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，∵∠BAD=120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BO=AB▪sin60°==，∴BD=2BO=；（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=；菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=BE∵，∴MN=，设BE=，则EN=，∴EM=MN-EN=，∵S菱形ABCD=AD▪MN=，∴S△ABD=S菱形ABCD=，∵BE=DF，∴DF=，∴S△DEF=DF▪EM==，记四边形ABEF的面积为s，∴s=S△ABD-S△DEF=-（），∵点E在BD上，且不在端点，∴0<BE<BD，即；作CH⊥AD于H，如图，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上，∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AH=DH=3，∴CH=，∵，∴当，即BE=时，s达到最小值，∵BE=DF，∴DF=3，此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，∴CE+CF的值达到最小，其最小值为CO+CH==12．【其它几何构造方法】法2：核心是处理，刚好有，还有CE和CF两个动点需要拼一起，所以考虑把△CDF放大倍后拼到BE处过B作CE＋＝CE法3：过D作DG⊥CD，取△DGF∽△BCE则法4：先把DF放大倍，再把△CBE拼过来，延长CD到G使CG＝BD，作GH∥AD交CF于H，作GO⊥CG且，下略法5：CE对称转化为AE，过B作BI⊥AB，BI＝BD＝AB⇒△CDF∽△IBE由于对称性，CE＝AE，所以拼在上面也可以~这个算凑数吧法6：先把DF放大倍，再把△CBE拼过来延长DC到G使作交AD于H作DO⊥DC，且DO＝AB＝6⇒△CDF∽△GDH，⇒△DOH≌△BCE，CE＝OH则有法7：先把BE缩小放大倍到IH，再把△CDF拼过来在BC上取，过H作HI∥BD交CE于I，作HG⊥BC，则HG＝AB⇒△CIH∽△CEB，BE＝HI，HI＝DF⇒△CDF≌△GHI⇒CF＝GH故2023·湖北黄石中考拆解如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．

【答案】．【分析】作，证明且相似比为，故当、、共线时，为最小，进而求解．【详解】解：作，

设，，且相似比为，则，故当、、共线时，为最小，在中，设边上的高为，则，即，解得：，则，则，过点作轴于点，则，即点的纵坐标为：，同理可得，点的横坐标为：，即点，由点、的坐标得，，即的最小值为．题型四取到最小值时对其它量进行计算如图，为等边的高，M、N分别为线段上的动点，且，当取得最小值时，．【答案】105°【分析】解：如图，作，使，连接交于点F，连接,则.可证，从而得证，于是，.当点N与点F重合时，取最小值．于是．【详解】解：如图，作，使，连接交于点F，连接,∵是等边三角形，∴，.∴，∴，∵，∴.∴.又∵，∴.∴.∴.当点N与点F重合时，,取最小值，则取最小值．此时，．故答案为：

如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，点M，N分别为CB，CA上的动点，且始终保持BM＝CN，则当AM+BN取最小值时，CN＝ ．【答案】【分析】过点B作BDAC，使BD＝BC＝2，连接AD与BC交于点，连接DM，可证得，得到BN＝DM，AM+BN＝AM+DM，则有当A、M、D在同一直线上时，即M在点位置时，即有，利用BDAC，证得，得到，设CN＝BM′＝x，则CM′＝2﹣x，再利用已知的线段长度即可求出x，即问题得解．【详解】过点B作BDAC，使BD＝BC＝2，连接AD与BC交于点，连接DM，如图：在△CBN与△BDM中，，∴，∴BN＝DM，∴AM+BN＝AM+DM，∴当A、M、D在同一直线上时，即M在点位置时，A