高数微积分中值定理

关于高数微积分中值定理12第一节中值定理一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理第2页,共46页，2024年2月25日，星期天31.函数极值的定义第3页,共46页，2024年2月25日，星期天4定义:函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.第4页,共46页，2024年2月25日，星期天5注：（1）极值的概念是局部性的（2）有的极大值可能比极小值还小（3）取得极值处，曲线的切线是水平的，即极值点处导数为零。但是注意导数为零处，即有水平切线处，不一定取得极值，例如图中的点处第5页,共46页，2024年2月25日，星期天62.费马(fermat)引理且存在证:

设则证毕存在第6页,共46页，2024年2月25日，星期天73.

驻点：导数等于零的点。注：（1）极值点要么是驻点，要么是不可导点（2）驻点不一定是极值点费马引理的几何意义：第7页,共46页，2024年2月25日，星期天8一、罗尔(Rolle)定理第8页,共46页，2024年2月25日，星期天9几何解释:例如,第9页,共46页，2024年2月25日，星期天10证第10页,共46页，2024年2月25日，星期天11注意:

定理条件不全具备,结论不一定成立.例如,第11页,共46页，2024年2月25日，星期天12例证(1)(2)验证定理的假设条件满足验证结论正确验证罗尔定理的正确性.罗尔定理肯定了的存在性,一般没必要知道究竟等于什么数,只要知道存在即可.第12页,共46页，2024年2月25日，星期天1313例试证方程分析注意到:第13页,共46页，2024年2月25日，星期天1414证设且

罗尔定理即试证方程第14页,共46页，2024年2月25日，星期天15例证:由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,第15页,共46页，2024年2月25日，星期天16二、拉格朗日(Lagrange)中值定理第16页,共46页，2024年2月25日，星期天17几何解释:证分析:弦AB方程为第17页,共46页，2024年2月25日，星期天18作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.第18页,共46页，2024年2月25日，星期天19拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理第19页,共46页，2024年2月25日，星期天20推论证:

在

I

上任取两点氏中值公式,得由的任意性知,在

I

上为常数.第20页,共46页，2024年2月25日，星期天21例证自证:经验:欲证时只需证在

I

上第21页,共46页，2024年2月25日，星期天22例.

证明不等式证:

设中值定理条件,即因为故因此应有或第22页,共46页，2024年2月25日，星期天23三、柯西(Cauchy)中值定理第23页,共46页，2024年2月25日，星期天24几何解释:分析:要证第24页,共46页，2024年2月25日，星期天25证:

作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:

柯西定理的下述证法对吗?两个

不一定相同错!上面两式相比即得结论.第25页,共46页，2024年2月25日，星期天26柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率第26页,共46页，2024年2月25日，星期天27拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例：第27页,共46页，2024年2月25日，星期天28例：证：分析:结论可变形为第28页,共46页，2024年2月25日，星期天29罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理

罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系:推广推广

这三个定理的条件都是充分条件,换句话说,满足条件,不满足条件,定理可能成立,不是必要条件.而成立;不成立.定理也可能第29页,共46页，2024年2月25日，星期天30应用三个中值定理常解决下列问题(1)验证定理的正确性;(2)证明方程根的存在性;(3)引入辅助函数证明等式;(4)证明不等式;(5)综合运用中值定理(几次运用).

关键逆向思维,找辅助函数（原函数）第30页,共46页，2024年2月25日，星期天31例分析将结论交叉相乘得辅助函数F(x)试证明:第31页,共46页，2024年2月25日，星期天32或将结论交叉相乘得换成辅助函数F(x)第32页,共46页，2024年2月25日，星期天33证设辅助函数因此F(x)满足Rolle定理的条件.第33页,共46页，2024年2月25日，星期天34即得证毕.第34页,共46页，2024年2月25日，星期天35练习

分析即证要证证明:对任意的实数k,设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且第35页,共46页，2024年2月25日，星期天36证即证明:对任意的实数k,设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且由Rolle定理第36页,共46页，2024年2月25日，星期天37试证必存在设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,证因为f(x)在[0,3]上连续,且在[0,2]上必有最大值M和最小值m,于是故由介值定理知,至少存在一点使所以f(x)在[0,2]上连续,因为且f(x)在[c,3]上连续,在(c,3)内可导,所以由Rolle定理知,必存在以下4题目较难第37页,共46页，2024年2月25日，星期天38试证:存在设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内证设f(x),g(x)在(a,b)内最大值M分别在取得.由零点定理,至少介于使得具有二阶导数且存在相等的最大值,令则因此由罗尔定理,存在使得再由罗尔定理,存在使得即第38页,共46页，2024年2月25日，星期天39(1)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在(2)证明:证(1)取由题意知F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且第39页,共46页，2024年2月25日，星期天40由Rolle定理,即第40页,共46页，2024年2月25日，星期天41(2)证明:证(2)对于任意的函数f(x)在[0,t]上由右导数定义及拉格朗日中上连续,在(0,t)内可导,值定理所以第41页,共46页，2024年2月25日，星期天42例.试证至少存在一点使证:

法1

用柯西中值定理.则f(x),g(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此即分析:第42页,共46页，2024年2月25日，星期天43例.

试证至少存在一点使法2

令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在第43页,共46页，2024年2月25日，星期天44内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西