第一章 三角形的证明 单元检测卷　2023-2024学年 北师大版八年级数学下册

第一章三角形的证明单元检测卷北师大版八年级数学下册一、选择题1．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，若∠A=36°，则∠DBC的大小是（）A．18° B．36° C．54° D．72°2．若等腰三角形的两边长分别为12和50，则这个三角形的周长为（）A．23+102C．43+102 D．3．若等腰三角形的一个外角度数为100°，则该等腰三角形顶角的度数为（）A．80° B．100° C．20°或100° D．20°或80°4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，连接DE交AB于点F，连接CF，到A．4 B．5 C．5.5 5．在△ABC中，BC=13cm，AB=5cm，AC=12cm，点D是BC的中点，则AD=（）cmA．6.5 B．6 C．5.5 D．56．如图，AC平分∠DAB，CE⊥AB，BC=DC，AB=17，AD=9，则AE的长为（）A．13 B．12 C．11 D．107．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE为AB的中垂线，AD=12，则CD的长是（）A．3 B．4 C．6 D．88．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使点C和点A重合，则折痕EF的长为（）A．154 B．158 C．159．如图，△ABC是等边三角形，边长为2，根据作图的痕迹，则BD的长为（）．

A．1.7 B．3 C．5 10．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（）A．OM+ON的值不变 B．∠PNM=∠POBC．MN的长不变 D．四边形PMON的面积不变二、填空题11．已知等腰△ABC中，BD⊥AC，且BD=12AC，则等腰△ABC的顶角度数为12．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为度．13．如图，四边形ABDE是矩形，AC⊥DC于点C，交BD于点F，AE=AC，∠ADE=62°，则∠BAF的度数为°14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD=12cm，则AB的长为cm．15．如图，在ΔABC中，∠C=90°，AP是角平分线，若CP=3，AB=12，则ΔABP的面积为．三、解答题16．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长．17．如图，在△ABC的边BC上取点F，使得线段AF交中线BD于点E，且AE=BC．证明BF=FE．18．如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC，DB⊥BC，AC=BD．说明OD=OC成立的理由．19．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，求线段CD的长．20．如图，△ABC中，AB=AC，∠C=70°，作AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求∠DBC的度数．21．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．求∠EBC的度数．22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5，BD=2.5，求AC的长.23．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F．（1）求证：AB=AE；（2）求证：BE∥DF．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∴∠DBC=90°-72°=18°．故选A.2．【答案】A【解析】【解答】解：若12是腰长时，等腰三角形的边长分别为12、12、50；

∵12+12=212=48＜50，不能构成三角形；

∴等腰三角形的边长分别为12、50、50；

∴这个三角形的周长=12+503．【答案】D【解析】【解答】解：①若顶角的外角等于100°，那么顶角等于80°，两个底角都等于50°；②若底角的外角等于100°，那么底角等于80°，顶角等于20°．故答案为：D．【分析】分类讨论，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和等于180°进行计算求解即可。4．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意可得AB=AC2+B故答案为：B.

【分析】根据题意由勾股定理可得AB=10，再根据垂直平分线可知点F是AB的中点，最后由直角三角形斜边上的中线性质求解即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：∵在△ABC中，BC=13cm，AB=5cm，AC=12cm，

∴132=52+122，

∴三角形ABC为直角三角形，且BC为斜边，故答案为：A.

【分析】根据勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，再利用直角三角形斜边上中线等于斜边上一半即可求出AD长度.6．【答案】A【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于F，

∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，

∴CF=CE，∠DFC=∠BEC=90°，

在Rt△DFC和Rt△BEC中，

CF=CECD=CB，

∴Rt△DFC≌Rt△BEC（HL），

∴BE=DF，

在Rt△AFC和Rt△AEC中，

CF=CEAC=AC，

∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），

∴AF=AE，

∵AB=17，AD=9，

∴AB+AD=AE+BE+AF-DF=AE+AF=2AE，

即2AE=AB+AD=17+9=26，

∴故答案为：A.【分析】根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CE，根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等可得Rt△DFC≌Rt△BEC，得BE=DF，进而再根据HL证Rt△AFC≌Rt△AEC，根据全等三角形的对应边相等，得AF=AE，根据线段的和与差可推得AB+AD=2AE，即可求解.7．【答案】C【解析】【解答】解：连接BD，如图∵DE是线段AB的垂直平分线∴BD=AD=12∴∠DBE=∠A=30°∵∠C=90°，∠A=30°∴∠ABC=90°−∠A=60°∴∠CBD=∠ABC−∠DBE=30°∴CD=故答案为：C.【分析】连接BD，根据垂直平分线上的点到两端的距离相等可得BD=AD=12，由等腰三角形的性质可得∠DBE=∠A=30°，根据三角形的内角和定理及角的和差得∠ABC=60°，∠CBD=30°，接下来根据含30°角的直角三角形的性质进行计算.8．【答案】A【解析】【解答】解：连接AF

由题意得EF为AC的垂直平分线，

∴AF=CF

设CF=x，则BF=4-x

在△ABF中，由勾股定理得AB2+BF2=AF2，即32+4−x2=x2，解得x=258，

在△ABC【分析】连接AF，由题意得EF为AC的垂直平分线，得AF=CF，设CF=x，在△ABF中，根据勾股定理得x=258，在△ABC中，由勾股定理得AC=5，OA=12AC=529．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得DB为∠ABC的角平分线，

∵△ABC是等边三角形，边长为2，

∴CB=2，CA⊥DB，∠CBA=60°，

∴∠DBC=30°，

∴CD=1，

由勾股定理得BD=4−1=3，

10．【答案】C【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，则∠PFN=∠PEM=90°，

∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB

∴PE=PF，

∵∠MPN+∠AOB=180°，

∴∠PMO+∠PNO=180°，

∵∠PNO+∠PNF=180°，

∴∠PMO=∠PNF，

∴△PME≌△PNF（AAS），

∴OE=OF，PM=PN，ME=FN，S△PME=S△PNF，

∴OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE是定值，故A正确；

∴四边形PMON的面积=四边形PEOF的面积=定值，故D正确；

∵PM=PN，

∴在旋转过程中，△PMN始终是等腰三角形，但PM的长度再变化，故MN的长度也会变化，故C错误；

在△PMN中，PM=PN，

∴∠PNM=12（180°-∠MPN），

在四边形MONP中，∠MPN+∠AOB=180°，

∴∠AOB=180°-∠MPN，

∴∠POB=∠AOP=12（180°-∠MPN），

∴∠PNM=∠POB，故B正确；

故答案为：C.

【分析】过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，△PME≌△PNF（AAS），可得OE=OF，PM=PN，ME=FN，S△PME=S△PNF，从而求出OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE是定值，四边形PMON的面积=四边形PEOF的面积=定值，据此判断A、D；在旋转过程中，△PMN始终是等腰三角形，但PM的长度再变化，故MN的长度也会变化，据此判断C；由等腰三角形的性质可得∠PNM=12（180°-∠MPN），利用四边形内角和及角平分的定义可得∠POB=∠AOP=11．【答案】90°或30°或150°【解析】【解答】解：如图1，∵BD⊥AC，AB=BC，∴∠ADB=90°，AD=CD=12∵BD=12∴AD=BD=CD，∴∠A=∠C=45°，∴∠ABC=90°；如图2，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，BD=12∴BD=12∵∠A=30°；如图3，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，BD=12∴BD=12∴∠BAD=30°，∴∠BAC=150°；故答案为：90°或30°或150°．【分析】分类讨论，结合图形，利用等腰三角形的性质求解即可。12．【答案】34【解析】【解答】解：由同圆的半径相等得：AB=BD，∴∠BAD=∠BDA=1∵∠C=36°，∴∠DAC=∠BDA−∠C=34°，故答案为：34．

【分析】先求出∠BAD=∠BDA=12(13．【答案】34【解析】【解答】解：四边形ABDE是矩形，

∴∠BAE=∠E=90°，AE=AC，AD=AD

AC⊥DC于点C，∴∠C=90°

∴△ACD≅∆AED

∴∠CAD=∠EAD=28°

∠BAF=∠BAE−∠CAD−∠EAD=90°−28°−28°=34°.

故答案为：34

【分析】根据矩形得性质可得∠BAE=∠E=90°，证明△ACD≅∆AED，由全等三角形得性质可得∠CAD=∠EAD=28°，由∠BAF=∠BAE−∠CAD−∠EAD，计算求解即可.14．【答案】6【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD=12cm，OA=OB=12BD=6cm，

∵AE垂直平分OB，

∴AB=OA=6cm.

故答案为：6.

15．【答案】18【解析】【解答】解：过点P作PF⊥AB与于点F，如图所示：

∵AP是角平分线，∠C=90°，

∴PF=PC，

∵CP=3

∵AB=12，

∴S△ABP故答案为：18.

【分析】根据角平分线的性质：角平分线的点到两边距离相等，可以得出PF，即可运用三角形的面积公式计算即可.16．【答案】解：设AD=xcm，

∵BD2+CD2=122+162=400BC2=202=400

∴BD2+CD2=BC2

∴△BDC是直角三角形

∴∠BDC=90°，∠ADC=90°

在Rt△ACD中，设AD=x，

∵AD2+CD2=AC2

∴x2+162=(x+12)2

解得x=143

∴AB=12+143=503

∴△ABC的周长=AB+AC+BC=503【解析】【分析】先求出BD2+CD2和BC2，利用勾股定理的逆定理，证明△BDC是直角三角形，在Rt△ACD中，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程得出AD的长，再求出AB的长，即可求出数据线ABC的周长。17．【答案】证明：延长中线BD到点G，使得DG=BD，连接AG．在△BDC和△GDA中，AD=CD，∠BDC=∠ADG，BD=DG，∴△BDC≌△GDA．∴BC=AG，∠FBE=∠AGD，又∵AE=BC，∴AE=AG，∴∠AEG=∠AGE．∠BEF=∠AEG，∴∠BEF=∠AEG=∠AGD=∠EBF，∴BF=FE．【解析】【分析】要证BF=FE，可证∠FBE=∠FEB.题目已知BD是中线，将中线倍长是常见方法，本题延长中线BD到点G，使得DG=BD，易证△BDC≌△GDA（SAS），可得∠FBE=∠AGD，AG=BC=AE，所以∠AGD=∠AEG=∠FEB，故∠FBE=∠FEB，所以BF=FE．18．【答案】证明：∵DA⊥AC，DB⊥BC（已知），∴∠A=∠B=90°（垂直定义），在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵AC=BDCD=DC∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL)，∴∠ACD=∠BDC（全等三角形的对应角相等），∴OD=OC（等角对等边）.【解析】【分析】根据DA⊥AC，DB⊥BC，得△ADC和△BOC都为直角三角形，利用"HL"证△ADC≅△BCD，即可得∠ACD=∠BDC，再利用等角对等边，即可求解.19．【答案】解：∵AC＝32+32＝32，BC＝2∴AC∴∠ACB＝90°，∵点D为AB的中点，∴AD＝DB，∴CD＝12AB＝26【解析】【分析】由勾股定理分别求出AC、BC、AB的长，再利用勾股定理的逆定理的出∠ACB＝90°，然后根据直角三角形斜边上的中线的性质可得CD＝1220．【答案】解：∵AB=AC，∠C=70°，∴∠A=40°，∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠DBA=∠A=40°，∴∠DBC=70°﹣40°=30°．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质求出∠A的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，求出∠DBA的度数，结合图形计算即可．21．【答案】解：∵∠C=90°，∠A=36°，∴∠ABC=90°﹣36°=54°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=54°﹣36°=18°．【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线得出AE=BE