第18章　平行四边形　培优提升训练题　2023-2024学年人教版数学八年级下册

人教版八年级下册第18章《平行四边形》培优提升训练题一．选择题1．如图，▱ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED的大小是（）A．60° B．65° C．70° D．75°2．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝（）A． B． C． D．3．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF＝CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF＝3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④4．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（）A．2+2 B．5﹣ C．3﹣ D．+15．如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝（）A．35° B．45° C．50° D．55°6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形AB∁nOn的面积为（）A． B． C． D．7．如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠EFC＝α，则∠BAF的度数为（）A．2α﹣90° B．45°+ C． D．90°﹣α8．如图，正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①EB⊥ED；②点B到直线DE的距离为；③S△APD+S△APB＝；④S正方形ABCD＝2．其中正确结论的序号是（）A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④二．填空题9．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为．10．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，交BD于点F，若E为BC的中点，且AB＝4，则AF的长等于．11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝9，则图中阴影面积为．12．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD所在直线上，连接AE，以AE为边，作正方形AEFG（点A，E，F，G按顺时针排列）．当正方形AEFG中的某一顶点落在直线BD上时（不与点D重合），则正方形AEFG的面积为．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P是BC边上的一个动点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则MN的最小值为．14．如图，正方形ABCD的边长为3，△EFG是等边三角形，点E，F，G分别在线段BD．BC，CD上，且，则DE的长为．15．新定义：若点P（m，n），点Q（p，q），如果m+n＝p+q，那么点P与点Q就叫作“和等点”，m+n＝p+q＝k，称k为等和．例如：点P（4，2），点Q（1，5），因4+2＝1+5＝6，则点P与点Q就是和等点，6为等和．如图在长方形GHMN中，点H（2，3），点N（﹣2，﹣3），MN⊥y轴，HM⊥x轴，若长方形GHMN的边上存在不同的两个点P、Q，这两个点为和等点，等和为4，则PQ的长为．16．如图，在长方形ABCD中，AB＝DC＝3cm，BC＝AD＝2cm，现有一动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿长方形的边A→B→C→D→A运动，到达点A时停止；点Q在边DC上，DQ＝BC，连接AQ．设点P的运动时间为ts，则当t＝s时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△ADQ全等．（不考虑两个三角形重合的情况）三．解答题17．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，AF与BG交于点E．（1）求证：AF⊥BG，DF＝CG；（2）若AB＝10，AD＝6，AF＝8，求FG和BG的长度．18．已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1＝∠2．（1）若CF＝2，AE＝3，求BE的长；（2）求证：∠CEG＝∠AGE．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，MD⊥MP，求AQ的长．20．如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．21．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．（1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；（2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．22．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE＝BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．（1）求证：∠BFC＝∠BEA；（2）求证：AM＝BG+GM．参考答案一．选择题1．解：取DE中点O，连接AO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝105°，∵AF⊥BC，∴AF⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴OA＝DE＝OD＝OE，∵DE＝2AB，∴OA＝AB，∴∠AOB＝∠ABO，∠ADO＝∠DAO，∠AED＝∠EAO，∵∠AOB＝∠ADO+∠DAO＝2∠ADO，∴∠ABD＝∠AOB＝2∠ADO，∴∠ABD+∠ADO+∠DAB＝180°，∴∠ADO＝25°，∠AOB＝50°，∵∠AED+∠EAO+∠AOB＝180°，∴∠AED＝65°．故选：B．2．解：如图，延长GP交DC于点H，∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP，由题意可知DC∥GF，∴∠GFP＝∠HDP，∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP，∴GP＝HP，GF＝HD，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∴CG＝CH，∴△CHG是等腰三角形，∴PG⊥PC，（三线合一）又∵∠ABC＝∠BEF＝60°，∴∠GCP＝60°，∴＝；故选：B．3．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF，由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，∵BF平分∠EBC，∴CF＝MF，∴DF＝CF；故①正确；∵∠BFM＝90°﹣∠EBF，∠BFC＝90°﹣∠CBF，∴∠BFM＝∠BFC，∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN，∴∠BFE＝∠BFN，∵∠BFE+∠BFN＝180°，∴∠BFE＝90°，即BF⊥EN，故②正确；∵在△DEF和△CNF中，，∴△DEF≌△CNF（ASA），∴EF＝FN，∴BE＝BN，假设△BEN是等边三角形，则∠EBN＝60°，∠EBA＝30°，则AE＝BE，又∵AE＝AD，则AD＝BC＝BE，而明显BE＝BN＞BC，∴△BEN不是等边三角形；故③错误；∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，∴BE＝3EM，∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF；故④正确．故选：B．4．解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，∵四边形ABED是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2，∴DG＝AD+AG＝2+2，∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，故选D．方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠DGE＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABED是正方形，∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×＝1，BH＝BE•cos∠EBH＝2cos30°＝，∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，∴四边形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，∵∠DEG+∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG，在△BEH和△DEG中，，∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝，∴DF＝DG+FG＝+1，故选：D．5．解：延长EF交DC的延长线于H点．∵在菱形ABCD中，∠A＝100°，E，F分别是边AB和BC的中点，∴∠B＝80°，BE＝BF．∴∠BEF＝（180°﹣80°）÷2＝50°．∵AB∥DC，∴∠FHC＝∠BEF＝50°．又∵BF＝FC，∠B＝∠FCH，∴△BEF≌△CHF．∴EF＝FH．∵EP⊥DC，∴∠EPH＝90°．∴FP＝FH，则∠FPC＝∠FHP＝∠BEF＝50°．故选：C．6．解：根据矩形的对角线相等且互相平分，平行四边形ABC1O1底边AB上的高为BC，平行四边形ABC2O2底边AB上的高为×BC＝BC，所以平行四边形AB∁nOn底边AB上的高为BC，∵S矩形ABCD＝AB•BC＝5，∴S平行四边形ABCnOn＝AB×BC＝5×（）n．故选：C．7．解：延长AE，交BC的延长线于点G，如图所示：在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝90°，AD∥BC，∴∠ECG＝90°，∵E为CD边中点，∴DE＝CE，在△ADE和△GCE中，，∴△ADE≌△GCE（ASA），∴AE＝GE，∵EF⊥AE，∴EF垂直平分AG，∴AF＝GF，∴∠FAE＝∠G，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠G，∴∠DAE＝∠FAE，∴∠DAE＝，∵∠DAE+∠AED＝90°，∠AED+∠FEC＝90°，∴∠FEC＝∠DAE＝，∵∠FEC+∠EFC＝90°，∴∠EFC＝90°﹣＝α，∴∠BAF＝2α﹣90°，故选：A．8．解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝ADC＝90°，∵AE⊥AP，∴∠EAP＝90°，∴∠BAE+∠BAP＝∠BAP+∠DAP＝90°，∴∠BAE＝∠DAP，∵AE＝AP＝1，∴△ABE≌△ADP（SAS），∴∠AEB＝∠APD，BE＝DP，∵△AEP是等腰直角三角形，∴∠AEP＝∠APE＝45°，EP＝AE＝，∴∠APD＝180°﹣∠APE＝180°﹣45°＝135°，∴∠AEB＝135°，∴∠BED＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，∴EB⊥ED，∴①正确；∴BE＝＝＝1＝AE，∴②不正确；∵△ABE≌△ADP，∴S△ABE＝S△ADP，∵∠BAP＝90°，AE＝AP＝1，PB＝，∴EP＝，∠AEP＝45°，∵∠AEB＝135°，∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，∴S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S△AEP+S△EPB＝AE×AP+EP×BE＝×1×1+××1＝，∴③正确；如图，过点B作BO⊥AE，交AE的延长线于点O，则∠O＝90°，∵∠BEO＝180°﹣∠AEB＝180°﹣135°＝45°，∴△BOE是等腰直角三角形，∴OE＝OB＝BE＝，∴AO＝AE+OE＝1+，在Rt△ABO中，∵AB2＝AO2+OB2＝（1+）2+（）2＝2+，∴S正方形ABCD＝AB2＝2+；∴④正确；故选：A．二．填空题9．解：∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∴∠DFC＝∠CDF，∴CF＝CD，同理BE＝AB，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，∴AD＝BC＝8，故答案为：8．10．解：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，OA＝OC，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵AE⊥BC，E为BC的中点，∴AC＝AB＝4，∴OA＝2，AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AE⊥BC，∴∠CAE＝∠BAC＝30°，∴AF＝2OF，∴OA＝＝＝OF＝2，∴OF＝，∴AF＝2OF＝，故答案为：．11．解：过点P作GH分别交AD、BC于点G、H，由矩形性质可知，S△ADC＝S△ABC，S△PFC＝S△PHC，S△AGP＝S△AEP，∴S△ADC﹣S△PFC﹣S△AGP＝S△ABC﹣S△PHC﹣S△AEP，即S四边形GPFD＝S四边形EPHB，∴S四边形GPFD＝S四边形EPHB，即S△DPF＝S△PEB．∵GP＝AE＝2，PF＝9，∴S△DPF＝＝9＝S△PEB．即图中阴影面积为S△DPF+S△PEB＝9+9＝18．故答案为：18．12．解：当点F在直线BD上时，过点F作FM⊥CD，交CD的延长线于M，B，则∠M＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∠ADE＝90°，∴∠FDM＝∠BDC＝45°，∠AED+∠EAD＝90°，∴△DFM是等腰直角三角形，∴DM＝FM，∵四边形AEFG是正方形，∴EF＝AE，∠AEF＝90°，∴∠AED+FEM＝90°，∴∠EAD＝∠FEM，在△AED和△EFM中，，∴△AED≌△EFM（AAS），∴DE＝FM，AD＝EM，∴DE＝DM＝FM，∵DE+DM＝EM，∵2DE＝AD＝4，∴DE＝2，在Rt△ADE中，AE＝AD2+DE2＝42+22＝20，∴正方形的面积为20．当点G在直线上BD时，过点G作GM⊥AD，交AD的延长线于M，如图，同理可得：△AED≌△GAM（AAS），∴GM＝AD＝4，AM＝DE，∵∠ADB＝MDG＝45°，∠M＝90°，∴△DGM是等腰直角三角形，∴DM＝GM，∴DM＝AD＝4，∴AM＝8，在Rt△AGM中，AG2＝AM2+GM2＝82+42＝802，∴正方形的面积为80．综上，正方形AEFG的面积为20或80．故答案为：20或80．13．解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴，∵PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，∠BAC＝90°，∴四边形AMPN为矩形，连接AP，则：MN＝AP，∴AP最小时，MN最小，∵垂线段最短，∴AP⊥BC时，AP最小，∴，即：5AP＝3×4，∴，∴MN的最小值为；故答案为：．14．解：如图，连接BG，过点E作EH⊥BG于H，∵BC＝3，CG＝，四边形ABCD是正方形，∴BG＝＝，∴GC＝BG，∴∠GBC＝30°，∠BGC＝60°，∵△EFG是等边三角形，∴∠EGF＝60°，∴∠EGH+∠BGF＝60°＝∠BGF+∠CGF，∴∠CGF＝∠EGH，又∵EG＝GF，∠C＝∠EHG，∴△EGH≌△FGC（AAS），∴GH＝GC＝，∴BH＝BG﹣GH＝2﹣＝，∴BH＝GH，∵EH⊥BG，∴BE＝EG，∴∠EBG＝∠EGB，∵∠DBC＝45°，∠GBC＝30°，∴∠EBG＝∠DBC﹣∠GBC＝45°﹣30°＝15°，∠MEG＝∠EBG+∠EGB＝2×15°＝30°；作GM⊥BD于M，∵∠MDC＝45°，∴DM＝GM＝，DG＝CD﹣GC＝3﹣，∵∠MEG＝30°，∴ME＝GM，∴DE＝ME+MD＝GM+DM＝DM（1+）＝DG（1+）＝（3﹣）（1+）＝，∴DE的长为．故答案为：．15．解：设点P（m，n），点Q（p，q），由题意可得，m+n＝p+q＝4，∴P（m，4﹣m），Q（p，4﹣p），∴点P，Q均在直线y＝﹣x+4上，在坐标系中可作出直线y＝﹣x+4，则直线y＝﹣x+4与矩形的交点即为点P，Q，∴令y＝3时，x＝1，令x＝2时，y＝2，∴P（1，3），Q（2，2）或P（2，2），Q（1，3），∴PQ＝＝．故答案为：．16．解：当t＝1s时，AP＝1cm，则BP＝2cm，如图1，在△AQD和△CPB中，，∴△AQD≌△CPB（SAS）；当t＝2时，AP＝2cm，如图2，∴AP＝DQ，在△AQD和△DPA中，，∴△AQD≌△DPA（SAS）；当t＝7时，AB+BC+CP＝7cm，如图3，∴CP＝2cm，∴DQ＝CP，在△AQD和△BPC中，，∴△AQD≌△BPC（SAS）；故答案为：1或2或7．三．解答题17．（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAF＝∠BAD．∵BG平分∠ABC，∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC．∵四边形ABCD平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，即2∠BAF+2∠ABG＝180°，∴∠BAF+∠ABG＝90°．∴∠AEB＝180°﹣（∠BAF+∠ABG）＝180°﹣90°＝90°．∴AF⊥BG；∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AFD，∴∠AFD＝∠DAF，∴DF＝AD，∵AB∥CD，∴∠ABG＝∠CGB，∴∠CBG＝∠CGB，∴CG＝BC，∵AD＝BC．∴DF＝CG；（2）解：∵DF＝AD＝6，∴CG＝DF＝6．∴CG+DF＝12，∵四边形ABCD平行四边形，∴CD＝AB＝10．∴10+FG＝12，∴FG＝2，过点B作BH∥AF交DC的延长线于点H．∴∠GBH＝∠AEB＝90°．∵AF∥BH，AB∥FH，∴四边形ABHF为平行四边形．∴BH＝AF＝8，FH＝AB＝10．∴GH＝FG+FH＝2+10＝12，∴在Rt△BHG中：BG＝＝．∴FG的长度为2，BG的长度为4．18．（1）解：∵CE＝CD，点F为CE的中点，CF＝2，∴DC＝CE＝2CF＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝；（2）证明：解法一、过G作GM⊥AE于M，∵AE⊥BE，GM⊥AE，∴GM∥BC∥AD，∵在△DCF和△ECG中，，∴△DCF≌△ECG（AAS），∴CG＝CF，CE＝CD，∵CE＝2CF，∴CD＝2CG，即G为CD中点，∵AD∥GM∥BC，∴M为AE中点，∴AM＝EM（一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等），∵GM⊥AE，∴AG＝EG，∴∠AGM＝∠EGM，∴∠AGE＝2∠MGE，∵GM∥BC，∴∠EGM＝∠CEG，∴∠CEG＝∠AGE；解法二、延长AG，交BC延长线于M，在△ECG和△DCF中，，∴△ECG≌△DCF（AAS），∴CF＝CG，∵CE＝CD，F为CE的中点，∴DG＝CG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADG＝∠MCG，在△ADG和△MCG中，，∴△ADG≌△MCG（ASA），∴AG＝MG，∵∠AEC＝90°，∴EG＝AM＝GM，∴∠GEC＝∠M，∵∠AGE＝∠GEC+∠M，∴∠CEG＝∠AGE．19．解：（1）∵△CDQ≌△CPQ，∴DQ＝PQ，PC＝DC，∵AB＝DC＝5，AD＝BC＝3，∴PC＝5，在Rt△PBC中，PB＝＝4，∴PA＝AB﹣PB＝5﹣4＝1，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝3﹣x，在Rt△PAQ中，（3﹣x）2＝x2+12，解得x＝，∴AQ＝．（2）方法1，如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，∵MD⊥MP，∴∠PMD＝90°，∴∠PME+∠DMF＝90°，∵∠FDM+∠DMF＝90°，∴∠MDF＝∠PME，∵M是QC的中点，∴DM＝QC，PM＝QC，∴DM＝PM，在△MDF和△PME中，，∴△MDF≌△PME（AAS），∴ME＝DF，PE＝MF，∵EF⊥CD，AD⊥CD，∴EF∥AD，∵QM＝MC，∴DF＝CF＝DC＝，∴ME＝，∵ME是梯形ABCQ的中位线，∴2ME＝AQ+BC，即5＝AQ+3，∴AQ＝2．方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点，∴DM＝CM，∴∠DMQ＝2∠DCQ，∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点，∴MP＝CM，∴∠PMQ＝2∠PCQ，∵∠DMP＝90°，∴2∠DCQ+2∠PCQ＝90°，∴∠PCD＝45°，°∠BCP＝90°﹣45°＝45°，∴∠BPC＝45°＝∠BCP，∴BP＝BC＝3，∵∠CPQ＝90°，∴∠APQ＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴∠AQP＝90°﹣45°＝45°＝∠APQ，∴AQ＝AP＝2．20．解：（1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的