2024年广东省中考数学模拟卷04（广东专用）

2024届广东中考数学模拟卷04（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．﹣2023的倒数是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．2．若点M（m，1）与点N（3，n）关于x轴成轴对称，则m﹣n的值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．13．下列运算正确的是（）A．（x3）2＝x5 B．x2+x3＝x5 C．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3 D．（a﹣b）（﹣a+b）＝a2﹣b24．如图，直线l1∥l2，线段AB交l1，l2于D，B两点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点C，若∠1＝20°，则∠2＝（）A．70° B．100° C．110° D．160°5．某校有35名同学参加文化知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛，其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的（）A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差6．如图，在△ABC中，∠ABC为直角，∠A＝30°，BD⊥AC于D，若CD＝2，则AC的长为（）A．8 B．6 C．4 D．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，根据尺规作图的痕迹连接BE交AD于点H，则点H为（）A．△ABC的外心 B．△ABC的内心 C．△BCE的外心 D．△ABE的内心8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．9．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED＝2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（）A．5寸 B．8寸 C．10寸 D．12寸10．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，tanB＝，则k的值为（）A．﹣6 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣4二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.11．若多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m＝．12．已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．13．方程＝的解是．14．已知直线y＝﹣3x+1上的点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是．15．如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM＝1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论：①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2﹣．其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）．四、解答题（一）：本题共3小题，每题8分，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．计算：．17．先化简，再求值：，其中．18．如图，将平行四边形ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．求证：AE＝CF．五、解答题（二）：本题共3小题，每题9分，共27分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．某经销商在生产厂家订购了两种畅销的粽子，两种粽子的进货价和销售价如下表：类别价格A种B种进货价（元/盒）2530销售价（元/盒）3240（1）若经销商用1500元购进A，B两种粽子，其中A种的数量是B种数量的2倍少4盒，求A，B两种粽子各购进了多少盒？（2）若经销商计划购进A种“粽子”的数量不少于B种“粽子”数量的2倍，且计划购进两种“粽子”共60盒，经销商该如何设计进货方案，才能使销售完后获得最大利润？最大利润为多少？20．为了解同学们对新冠疫情相关知识的掌握情况，增强同学们的防控意识，某校对八年级甲、乙两班各50名学生进行了新冠疫情相关知识的测试，并分别抽取了10份成绩，整理分析过程如下，请补充完整．【收集数据】甲班10名学生的测试成绩统计如下：89，85，82，85，92，80，85，77，85，80乙班10名学生的测试成绩统计如下：86，89，83，80，80，80，84，82，93，83【整理数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据组别组别75.5～80.580.5～85.585.5～90.590.5～95.5甲ab11乙3421请回答下列问题（1）在表中，a＝．（2）补全乙班10名学生测试成绩的频数分布直方图（3）若规定得分在85分及以上（含85分）为合格，请估计甲班50名学生中疫情防控相关知识合格的学生有人．（4）为继续宣传新冠疫苗接种的重要性，某小区物业部门准备在已经接种疫苗的居民中招募2名志愿宣传者，现有2名男性2名女性共4名居民报名．请用列表或画树状图的方法，求要从这4人中随机挑选2人，恰好抽到一名男性和一名女性的概率21．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA＝PC，PD∥AC，与BA的延长线交于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若tan∠PAC＝，AC＝12，求直径AB的长．

六、解答题（三）：本题共2小题，每题12分，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22．如图，射线OA在第一象限内，射线OB在第二象限内，OA⊥OB，射线OA与函数交于点A，射线OB与函数交于点B，连接AB，根据下列条件解答问题：（1）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，求证：△AOD∽△OBC；（2）如果点A的坐标是（1，4），求点B的坐标；（3）当∠AOB在x轴的上方，绕着原点O转动的过程中，∠OAB的度数是否保持不变？如果不变，求sin∠OAB的值？如果变化，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；（3）把抛物线y＝﹣+bx+c沿射线AC方向平移个单位得新抛物线y'，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求其中一个N点坐标的过程写出来．

2024届广东中考数学模拟卷04（广东专用）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．﹣2023的倒数是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．【解答】解：﹣2023的倒数是﹣．故选：D．2．若点M（m，1）与点N（3，n）关于x轴成轴对称，则m﹣n的值是（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1【解答】解：∵点M（m，1）与点N（3，n）关于x轴成轴对称，∴m＝3，n＝﹣1，∴m﹣n＝3﹣（﹣1）＝4，故选：B．3．下列运算正确的是（）A．（x3）2＝x5 B．x2+x3＝x5 C．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3 D．（a﹣b）（﹣a+b）＝a2﹣b2【解答】解：A、原式＝x6，不符合题意；B、原式不能合并，不符合题意；C、原式＝﹣8a6b3，符合题意；D、原式＝﹣a2+2ab﹣b2，不符合题意，故选：C．4．如图，直线l1∥l2，线段AB交l1，l2于D，B两点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点C，若∠1＝20°，则∠2＝（）A．70° B．100° C．110° D．160°【解答】解：∵AC⊥AB，∴∠A＝90°，∵∠1＝20°，∴∠ADC＝180°﹣90°﹣20°＝70°，∵l1∥l2，∴∠3＝∠ADC＝70°，∴∠2＝180°﹣70°＝110°，故选：C．5．某校有35名同学参加文化知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛，其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的（）A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差【解答】解：35个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有18个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．故选：A．6．如图，在△ABC中，∠ABC为直角，∠A＝30°，BD⊥AC于D，若CD＝2，则AC的长为（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：∵△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴∠BCD＝60°，∵BD⊥AC于D，∴∠DBC＝∠A＝30°，∵CD＝2，∴BC＝4，∴AC＝8，故选：A．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，根据尺规作图的痕迹连接BE交AD于点H，则点H为（）A．△ABC的外心 B．△ABC的内心 C．△BCE的外心 D．△ABE的内心【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，由作法知AD是∠BAC的角平分线，EF是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA＝36°，∴∠EBC＝72°﹣36°＝36°，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE是∠ABC的角平分线，∵BE、AD交于点H，∴点H是三角形内角平分线的交点，∴点H是△ABC的内心．故选：B．8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：，解不等式2x﹣5＜1得x＜3，解不等式3x+1≥2x得x≥﹣1，故不等式组的解集为﹣1≤x＜3，在数轴上的表示如选项C所示．故选：C．9．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED＝2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（）A．5寸 B．8寸 C．10寸 D．12寸【解答】解：设⊙O的半径为r．在Rt△AEO中，AE＝4，OE＝r﹣2，OA＝r，则有r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∴⊙O的直径为10寸，故选：C．10．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，tanB＝，则k的值为（）A．﹣6 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣4【解答】解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图，在Rt△AOB中，tanB＝＝，∵OA⊥OB，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴∠AOC＝∠OBD，∴Rt△OBD∽Rt△AOC，∴＝（）2＝3，∵S△OBD＝|k|，S△AOC＝×2＝1，∴＝3，而k＜0，∴k＝﹣6．故选：A．二．填空题（共6小题）11．若多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m＝9或﹣7．【解答】解：∵多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，∴m﹣1＝±8，解得：m＝9或m＝﹣7，故答案为：9或﹣712．已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是五边形．【解答】解：根据多边形的内角和可得：（n﹣2）180°＝540°，解得：n＝5．则这个多边形是五边形．故答案为：五．13．方程＝的解是x＝20．【解答】解：去分母得：2（3x﹣5）＝5（x+2），解得：x＝20．检验：当x＝20时，（3x﹣5）（x+2）≠0，∴分式方程的解为x＝20．故答案为：x＝20．14．已知直线y＝﹣3x+1上的点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是或．【解答】解：（1）当点P的坐标是（a，a）时，a＝﹣3a+1，解得a＝，∴点P的坐标是（，）．（2）当点P的坐标是（b，﹣b）时，﹣b＝﹣3b+1，解得b＝，∴点P的坐标是（，﹣）．故答案为：（）或（）．15．如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM＝1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论：①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2﹣．其中正确的结论有②③④（填写所有正确结论的序号）．【解答】解：①在⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）过程中，BG增大时，DH随着减小，BG减小时，DH随着增大，故①不正确；②∵正方形ABCD的边长为1，∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，∵GH与⊙O相切于点M，∴∠CMH＝∠CMG＝90°，∵CM为⊙O的直径，且CM＝1，∴BC＝CM＝CD＝1，在Rt△CHD和Rt△CHM中，，∴Rt△CHD≌Rt△CHM（HL），∴HD＝HM，∠HCD＝∠HCM，∠CHD＝∠CHM，同理：GB＝GM，∠GCB＝∠GCM，∠CGB＝∠CGM，∵∠HCD+∠HCM+∠GCB+∠GCM＝90°，∴2（∠HCM+∠GCM）＝90°，∴∠GCH＝45°，故②正确；③∵∠CHD+∠HCD＝90°，∠BCH+∠HCD＝90°，∴∠CHD＝∠BCH，∵∠CHM＝∠CHD，∴∠CHM＝∠BCH＝45°+∠GCB，∵∠CEF＝45°+∠GCB，∴∠CHM＝∠CEF，∵∠CEF+∠FEG＝180°，∴∠CHM+∠FEG＝180°，∴四边形EFHG是圆内接四边形，即H，F，E，G四点在同一个圆上，故③正确；④设HD＝x，BG＝a，则HM＝x，MG＝a，AH＝1﹣x，AG＝1﹣a，∴GH＝HM+GM＝x+a，在Rt△AGH中，AH2+AG2＝GH2，∴（1﹣x）2+（1﹣a）2＝（x+a）2，∴a＝，设四边形CGAH的面积为y，则：y＝S正方形ABCD﹣S△CDH﹣S△CBG＝AB2﹣CD•DH﹣BC•BG＝12﹣•1•x﹣×1•，∴y＝1﹣x+，整理，得：x2+（2y﹣2）x+（2y﹣1）＝0，∴Δ＝（2y﹣2）2﹣4×1×（2y﹣1）≥0，∴y2﹣4y+2≥0，∴（y﹣2+）（y﹣2﹣）≥0，∴或，解得：y≥2+或y≤2﹣，∵y≤S正方形ABCD＝1，∴y≥2+不符合题意，舍去，∴y≤2﹣，即y的最大值为2﹣，∴四边形CGAH的面积的最大值为2﹣，故④正确，故答案为：②③④．三．解答题（共8小题）17．计算：．【解答】解：原式＝＝＝＝18．先化简，再求值：，其中．【解答】解：＝＝＝，当时，原式＝．19．如图，将平行四边形ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．求证：AE＝CF．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，∴∠ABD＝∠CDB，∵∠ABD＝180°﹣∠ABE，∠CDB＝180°﹣∠CDF，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF．20．某经销商在生产厂家订购了两种畅销的粽子，两种粽子的进货价和销售价如下表：类别价格A种B种进货价（元/盒）2530销售价（元/盒）3240（1）若经销商用1500元购进A，B两种粽子，其中A种的数量是B种数量的2倍少4盒，求A，B两种粽子各购进了多少盒？（2）若经销商计划购进A种“粽子”的数量不少于B种“粽子”数量的2倍，且计划购进两种“粽子”共60盒，经销商该如何设计进货方案，才能使销售完后获得最大利润？最大利润为多少？【解答】解：（1）设购进A种“粽子”x盒，则购进B种“粽子“y盒，由题意得，，解得，，答：购进A种粽子36盒，购进B种粽子20．（2）设购进B种粽子m盒，则购进A种粽子（60﹣m）盒，总利润为w，由题意可知60﹣m≥2m，解得m≤20，w＝（32﹣25）（60﹣m）+（40﹣30）m＝3m+420，∵3＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝20时，w最大值＝3×20+420＝480，答：当购进A种粽子40盒，购进B种粽子20盒时，销售完后获得的利润最大，最大利润为480元．21．为了解同学们对新冠疫情相关知识的掌握情况，增强同学们的防控意识，某校对八年级甲、乙两班各50名学生进行了新冠疫情相关知识的测试，并分别抽取了10份成绩，整理分析过程如下，请补充完整．【收集数据】甲班10名学生的测试成绩统计如下：89，85，82，85，92，80，85，77，85，80乙班10名学生的测试成绩统计如下：86，89，83，80，80，80，84，82，93，83【整理数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据组别组别75.5～80.580.5～85.585.5～90.590.5～95.5甲ab11乙3421请回答下列问题（1）在表中，a＝3．（2）补全乙班10名学生测试成绩的频数分布直方图（3）若规定得分在85分及以上（含85分）为合格，请估计甲班50名学生中疫情防控相关知识合格的学生有30人．（4）为继续宣传新冠疫苗接种的重要性，某小区物业部门准备在已经接种疫苗的居民中招募2名志愿宣传者，现有2名男性2名女性共4名居民报名．请用列表或画树状图的方法，求要从这4人中随机挑选2人，恰好抽到一名男性和一名女性的概率【解答】解：（1）根据给出的数据可得：a＝3；（2）根据图表中的数字补图如下：（3）根据题意得：50×＝30（人），答：估计甲班50名学生中疫情防控相关知识合格的学生有30人；（4）根据题意画图如下：画树状图如下：共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，则恰好抽到一名男性和一名女性的概率是＝．22．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA＝PC，PD∥AC，与BA的延长线交于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若tan∠PAC＝，AC＝12，求直径AB的长．【解答】解：（1）连接PO，交AC于H，∵PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，∵∠PCA＝∠PBA，∴∠PAC＝∠PCA＝∠PBA，∵DP∥AC，∴∠DPA＝∠PAC＝∠PCA＝∠PBA，∵OA＝OP，∴∠PAO＝∠OPA，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠PAB+∠ABP＝90°，∴∠OPA+∠DPA＝90°，∴∠DPO＝90°，又∵OP是半径，∴DP是⊙O的切线；（2）∵DP∥AC，∠DPO＝90°，∴∠DPO＝∠AHO＝90°，又∵PA＝PC，∴AH＝HC＝AC＝6，∵tan∠PAC＝＝，∴PH＝×AH＝4，∵AO2＝AH2+OH2，∴AO2＝36+（OA﹣4）2，∴OA＝，∴AB＝2OA＝13．23．如图，射线OA在第一象限内，射线OB在第二象限内，OA⊥OB，射线OA与函数交于点A，射线OB与函数交于点B，连接AB，根据下列条件解答问题：（1）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，求证：△AOD∽△OBC；（2）如果点A的坐标是（1，4），求点B的坐标；（3）当∠AOB在x轴的上方，绕着原点O转动的过程中，∠OAB的度数是否保持不变？如果不变，求sin∠OAB的值？如果变化，请说明理由．【解答】（1）证明：∵∠AOB＝90°，∴∠BCO+∠AOD＝90°，∵∠BOC+∠CBO＝90°，∴∠AOD＝∠CBO，∵∠COB＝∠AOD＝90°，∴△AOD∽△OBC；（2）∵点A的坐标是（1，4），则AD＝4