2024年山西省大同市平城区两校联考中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年山西省大同市平城区两校联考中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）cos60°的值是（）A． B．1 C． D．2．（3分）如图是一种零件的实物图，则它的左视图是（）A． B． C． D．3．（3分）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（）A． B． C． D．4．（3分）若点A（x1，y1），点B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且0＜x1＜x2，则（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定5．（3分）如图，A1B1是线段AB在投影面上的正投影，已知AB＝acm，∠ABB1＝110°，则投影A1B1的长为（）A．a•cos20°cm B．a•sin20°cm C．a•cos110°cm D．6．（3分）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，它的图象如图所示，则该气体的质量m为（）A．1.4kg B．5kg C．6.4kg D．7kg7．（3分）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC于点F，，则DE的长度为（）A．1 B． C． D．8．（3分）如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄AD⊥滚轮连杆AB，且AD＝20cm，连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（）A． B． C． D．9．（3分）如图，反比例函数y＝（m＞0）在第三象限的图象是l1，y＝（n＜0）在第四象限的图象是l2，点A、C在l1上，过A点作AB∥x轴交l2于B点，过C点作CD⊥y轴于D点，点P为x轴上任意一点，若S△ABP＝5，S△CDP＝2，则n＝（）A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣810．（3分）如图，在△ABC中，以边BC为直径作⊙O交AC于点D，BE＝3DE，BC＝10（）A．5 B．8 C． D．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）如图，点P（6，a）在反比例函数，PH⊥x轴于点H，连接OP．12．（3分）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射△ABC后，已知灯泡距离地面3m，灯泡距离纸片1m，则阴影部分的面积为．13．（3分）数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆MN的高度AB，如图，他们先用测倾器在C处测得点A的仰角∠AEG＝30°，已知测倾器的高度为1.6米，C、D、B在一条直线上米．（结果保留根号）14．（3分）如图，点D为AB上靠近点B的三等分点，DE∥BC交AC于点E，连接AF交DE于点G，点H为AF的中点，则＝．15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上的图象与AB相交于点M，与BC相交于点N（4，2），△MON的面积是，则k的值为．三、解答题（共8小题，共75分.解答应写出过程）16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B（﹣3，4）、（﹣4，1）、（﹣2，2），结合平面直角坐标系解答下列问题．（1）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A'B'C'，并写出点B'的坐标；（2）以点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABC的相似比为17．（9分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC2＝AB•AD．（1）证明：△ABC∽△ACD；（2）已知AB＝5，BC＝3，求CD的长．18．（9分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于点A（6，﹣3﹣2n）（n，﹣3），与y轴交于点C．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点D是点C关于x轴的对称点，连接AD、BD，求△ABD的面积．19．（9分）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高．山去五十三里，木高九丈五尺，望木末适与山峰斜平．人目高七尺．问山高几何？”大意如下：如图，今有山AB位于树CD的西面．山高AB为未知数，山与树相距53里，人站在离树3里的F处，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，问山AB的高约为多少丈？（1丈＝10尺，结果精确到个位）20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆周上一点，AC的延长线交⊙O的切线BD于点E．（1）求证：∠DBC＝∠DCE；（2）若AB＝8，sinD＝，求BE的长．21．（10分）请阅读下列材料，完成相应的任务：有这样一个题目：设有两只电阻，分别为R1和R2，问并联后的电阻值R是多少？我们可以利用公式，求得R的值，也可以设计一种图形直接得出结果如图①，在直线l上任取两点A、B，分别过点A、B作直线l的垂线1，BD＝R2，且点C、D位于直线l的同侧，连接AD、BC，交于点E，则线段EF的长度就是并联后的电阻值R．证明：∵EF⊥l，CA⊥l，∴∠EFB＝∠CAB＝90°，又∵∠EBF＝∠CBA，∴△EBF∽△CBA（依据1），∴（依据2）．同理可得：，∴，∴，∴，即：．任务；（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：；（2）如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知R1＝3千欧，R2＝6千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长；（3）受以上作图法的启发，小明提出了已知R1和R，求R2的一种作图方法，如图④，作△ABC，AC＝BC＝R1，过点B作BC的垂线，并在垂线上截取BD＝R，使点D与点A在直线BC的同一侧，交CB的延长线于点E，则BE即为R2．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明，请说明理由．22．（10分）某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：（1）①x与y的几组对应值如下表，请补全表格；x…﹣4﹣3﹣2123…y…346﹣21…②在如图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；（2）我们知道，函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，h＞0，k＞0）的图象是由二次函数y＝ax2的图象向右平移h个单位，再向上平移k个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象；（3）若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，求△AOB的面积．23．（11分）在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠CDE＝90°，AC＝BC，点F是AB的中点，连接AE，将△CDE绕着点C旋转一周，试判断AE和DF的关系；【探索发现】如图①，当点E在AC上时，AE和DF的数量关系为，直线AE和直线DF相交所成的锐角的度数为；【验证猜想】如图②，当点E不在AC上时，（1）中的关系是否仍然成立，请证明；如果不成立，并说明理由；【拓展应用】CD＝5，BC＝13，将△CDE绕着点C旋转一周的过程中，E，B三点共线时，直接写出DF的长．

2024年山西省大同市平城区两校联考中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）cos60°的值是（）A． B．1 C． D．【解答】解：cos60°的值是，故选：A．2．（3分）如图是一种零件的实物图，则它的左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从左边看，是一个矩形．故选：C．3．（3分）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、本选项中的两个相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，是位似图形；B、本选项中的两个相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，是位似图形；C、本选项中的两个相似图形，对应边不互相平行，符合题意；D、本选项中的两个相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，是位似图形；故选：C．4．（3分）若点A（x1，y1），点B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且0＜x1＜x2，则（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定【解答】解：∵y＝中，4＞6，∴函数的图象在第一、三象限，y随x的增大而减小，∵点A（x1，y1），点B（x6，y2），在反比例函数y＝，且8＜x1＜x2，∴y8＞y2，故选：B．5．（3分）如图，A1B1是线段AB在投影面上的正投影，已知AB＝acm，∠ABB1＝110°，则投影A1B1的长为（）A．a•cos20°cm B．a•sin20°cm C．a•cos110°cm D．【解答】解：如图，过点B作BH⊥AA1于点H，则四边形HBB1A5是矩形，∴BH＝A1B1．∵∠ABB2＝110°，∴∠ABH＝110°﹣90°＝20°．在Rt△ABH中，BH＝AB•cos20°＝a•cos20°（cm），∴A1B1＝BH＝a•cos20°（cm）．故选：A．6．（3分）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，它的图象如图所示，则该气体的质量m为（）A．1.4kg B．5kg C．6.4kg D．7kg【解答】解：∵ρ＝，∴m＝ρV，而点（5，1.7）在图象上，代入得m＝5×1.7＝7（kg）．故选：D．7．（3分）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC于点F，，则DE的长度为（）A．1 B． C． D．【解答】解：∵BE⊥AC，∴CF＝＝，∵∠AFB＝∠CFB＝∠ABC＝90°，∴∠ABF+∠CBF＝90°＝∠ABF+∠BAC，∴∠BAC＝∠CBF，∴△ABF∽△BCF，∴，∴，∴AF＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝，∴△AEF∽△CBF，∴，∴＝，∴AE＝，∴DE＝，故选：B．8．（3分）如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄AD⊥滚轮连杆AB，且AD＝20cm，连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，则∠BEF＝90°，由题意可知，∠ABC＝60°，∴∠BFE＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝BF，∵AD⊥AB，∴∠A＝90°，∵∠AFD＝∠BFE＝30°，AD＝20cm，∴DF＝4AD＝40cm，∴AF＝＝＝20，∵AB＝160cm，∴BF＝AB﹣AF＝（160﹣20）cm，∴BE＝×（160﹣20）（cm），∴EF＝BE＝（80，∴DE＝EF+DF＝80﹣30+40＝（80，即该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（80+10）cm，故选：D．9．（3分）如图，反比例函数y＝（m＞0）在第三象限的图象是l1，y＝（n＜0）在第四象限的图象是l2，点A、C在l1上，过A点作AB∥x轴交l2于B点，过C点作CD⊥y轴于D点，点P为x轴上任意一点，若S△ABP＝5，S△CDP＝2，则n＝（）A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8【解答】解：连接OA、OC、AB与y轴交于点M，∵CD∥x轴，S△CPD＝2，∴S△OCD＝S△CPD＝S△OAM＝2，∵AB∥x轴，∴S△APB＝S△OAB＝7，∴S△OMB＝S△OAB﹣S△OAM＝5﹣2＝3，∴丨n丨＝2×3＝7，∵图象在第四象限，∴n＝﹣6，故选：B．10．（3分）如图，在△ABC中，以边BC为直径作⊙O交AC于点D，BE＝3DE，BC＝10（）A．5 B．8 C． D．【解答】解：连接BD、OD，∴∠ODB＝∠CBD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∵D为AC的中点，∴BD垂直平分AC，∴BA＝BC＝10，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ODB，∴AB∥OD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴∠AED＝∠ODE＝90°，∴∠DEB＝90°，∵∠A＝∠BDE＝90°﹣∠ABD，BE＝3DE，∴＝tanA＝tan∠BDE＝，∴DE＝3AE，∴BE＝8×3AE＝9AE，∴BA＝AE+BE＝AE+2AE＝10AE＝10，∴AE＝1，DE＝3，∴CD＝AD＝＝＝，故选：C．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）如图，点P（6，a）在反比例函数，PH⊥x轴于点H，连接OP．【解答】解：∵点P（6，a）在反比例函数，∴6a＝48，∴a＝2，∴P（6，8），在Rt△OPH中，OH＝5，根据勾股定理得：OP＝＝10．∴sin∠OPH＝＝＝．故答案为：．12．（3分）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射△ABC后，已知灯泡距离地面3m，灯泡距离纸片1m，则阴影部分的面积为54．【解答】解：由题意得：△ABC∽△DEF，∴＝（）5＝，∵△ABC的面积为2，∴△DEF的面积为54，∴阴影部分的面积为54，故答案为：54．13．（3分）数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆MN的高度AB，如图，他们先用测倾器在C处测得点A的仰角∠AEG＝30°，已知测倾器的高度为1.6米，C、D、B在一条直线上2.6+米．（结果保留根号）【解答】解：延长EF，交AB于点H，由题意得，HB＝DF＝CE＝1.6米，设HF＝x米，则EH＝HF+FE＝（x+3）米，在Rt△AHF中，∠AFH＝45°，∴AH＝HF＝x米，在Rt△AHE中，tan30°＝，解得x＝+1，∴AB＝AH+BH＝+1+1.2＝2.6+．故答案为：2.6+．14．（3分）如图，点D为AB上靠近点B的三等分点，DE∥BC交AC于点E，连接AF交DE于点G，点H为AF的中点，则＝．【解答】解：∵D为AB上靠近点B的三等分点，∴AD＝AB＝2：3，∵DE∥BC，∴AG：AF＝AD：AB＝5：3，∴AG＝AF，∵点H为AF的中点，∴AH＝AF，∴＝＝．故答案为：．15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上的图象与AB相交于点M，与BC相交于点N（4，2），△MON的面积是，则k的值为2．【解答】解：由题意可知点M的坐标为（4，），点N的坐标为（，2，），BN＝4﹣，由反比例函数k值的几何意义可得：S△OCN+S△OAM＝k，∴S△BMN＝S矩形OABC﹣k﹣，＝5﹣k﹣，解得：k＝2．故答案为：4．三、解答题（共8小题，共75分.解答应写出过程）16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B（﹣3，4）、（﹣4，1）、（﹣2，2），结合平面直角坐标系解答下列问题．（1）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A'B'C'，并写出点B'的坐标；（2）以点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABC的相似比为【解答】解：（1）△A′B′C′如下图，点B′的坐标为（1；（2）位似三角形如图所示△A1B7C1．17．（9分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC2＝AB•AD．（1）证明：△ABC∽△ACD；（2）已知AB＝5，BC＝3，求CD的长．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∵AC2＝AB•AD，∴，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵AB＝5，BC＝8，∴AC＝＝＝4，∵AC2＝AB•AD，∴16＝6AD，∴AD＝，∴CD＝＝＝．18．（9分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于点A（6，﹣3﹣2n）（n，﹣3），与y轴交于点C．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点D是点C关于x轴的对称点，连接AD、BD，求△ABD的面积．【解答】解：（1）∵点A（6，﹣3﹣3n），﹣3）是y＝，∴6（﹣3﹣2n）＝﹣3n，解得n＝﹣5，∴A（6，1），﹣6），∴反比例函数的解析式为y＝，将点A（6，5），﹣3）代入一次函数y＝ax+b中，得，解得，∴一次函数的解析式为y＝x﹣2；（2）对于直线y＝x﹣2，令x＝7，得y＝﹣2，∴点C的坐标为（0，﹣6），∵点D是点C关于x轴的对称点，∴点D（0，2），∴CD＝7﹣（﹣2）＝4，∴S△ABD＝CD•（xA﹣xB）＝×4×[6﹣（﹣6）]＝16．19．（9分）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高．山去五十三里，木高九丈五尺，望木末适与山峰斜平．人目高七尺．问山高几何？”大意如下：如图，今有山AB位于树CD的西面．山高AB为未知数，山与树相距53里，人站在离树3里的F处，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，问山AB的高约为多少丈？（1丈＝10尺，结果精确到个位）【解答】解：由题意得BD＝53里，CD＝95尺，DF＝3里．如图，过点E作EG⊥AB于点G．则BG＝DH＝EF＝7尺，GH＝BD＝53里，∵CD∥AB，∴△ECH∽△EAG，∴，∴，∴AG≈1643尺，AB＝AG+2.7≈165丈．答：由AB的高约为165丈．20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆周上一点，AC的延长线交⊙O的切线BD于点E．（1）求证：∠DBC＝∠DCE；（2）若AB＝8，sinD＝，求BE的长．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∵BD与⊙O相切于点B，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴∠DBC＝∠A＝90°﹣∠ABC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵∠DCE＝∠OCA，∴∠DBC＝∠DCE．（2）解：∵AB＝8，∴OC＝OB＝AB＝4，∵＝sinD＝，∴OD＝OB＝，∴DC＝OD﹣OC＝6﹣4＝2，DB＝＝，∵∠DBC＝∠DCE，∠D＝∠D，∴△DBC∽△DCE，∴＝，∴DE＝＝＝，∴BE＝DB﹣DE＝2﹣＝，∴BE的长是．21．（10分）请阅读下列材料，完成相应的任务：有这样一个题目：设有两只电阻，分别为R1和R2，问并联后的电阻值R是多少？我们可以利用公式，求得R的值，也可以设计一种图形直接得出结果如图①，在直线l上任取两点A、B，分别过点A、B作直线l的垂线1，BD＝R2，且点C、D位于直线l的同侧，连接AD、BC，交于点E，则线段EF的长度就是并联后的电阻值R．证明：∵EF⊥l，CA⊥l，∴∠EFB＝∠CAB＝90°，又∵∠EBF＝∠CBA，∴△EBF∽△CBA（依据1），∴（依据2）．同理可得：，∴，∴，∴，即：．任务；（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：两组角对应相等的两个三角形相似；依据2：相似三角形的对应边成比例；（2）如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知R1＝3千欧，R2＝6千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长；（3）受以上作图法的启发，小明提出了已知R1和R，求R2的一种作图方法，如图④，作△ABC，AC＝BC＝R1，过点B作BC的垂线，并在垂线上截取BD＝R，使点D与点A在直线BC的同一侧，交CB的延长线于点E，则BE即为R2．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明，请说明理由．【解答】解：（1）证明：∵EF⊥l，CA⊥l，∴∠EFB＝∠CAB＝90°，又∵∠EBF＝∠CBA，∴△EBF∽△CBA（两组角对应相等的两个三角形相似），∴（相似三角形的对应边成比例）．故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例；（2）如图，线段表示R的长．在AB上取点M，使BM＝3，连接CM，过点E作EF⊥BC于点F，则线段EF为所求线段．（3）小明的方法正确．理由：∵∠C＝90°，∴CA⊥BC，∵BD⊥BC，∴BD∥AC，∴△DBE∽△ACE，∴，由题意可知DB＝R，AC＝R1，CE＝R3+BE，∴，∴BE＝，∵．∴R2＝，∴BE＝R2．22．（10分）某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：（1）①x与y的几组对应值如下表，请补全表格；x…﹣4﹣3﹣2123…y…346﹣21…②在如图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；（2）我们知道，函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，h＞0，k＞0）的图象是由二次函数y＝ax2的图象向右平移h个单位，再向上平移k个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象；（3）若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，求△AOB