风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数

风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数2024/3/26风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数本章主要内容相关系数定义相关系数估计多元正态分布Copula函数Copula函数应用于贷款组合风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数相关系数和协方差变量V1和V2的相关系数定义为：协方差 Cov(V1,V2)=E(V1V2)−E(V1)E(V2)风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数独立性如果两个变量V1、

V2，其中任意一个变量的信息不会影响另一个变量的分布，那么这两个变量就是独立的，即

其中，

f(.)代表变量的概率密度函数风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数独立性不等同于不相关假设V1=–1,0,或者+1(等可能性的)如果V1=-1或者V1=+1那么V2

=1如果V1=0那么V2=0显然V2的值取决于V1

(反之亦然)但是这两个变量的相关系数却为0下面的图10-1描述相关关系风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数扫描10-1风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数10.2.1采用EWMA模型第9章：用EWMA模型预测方差本节：用EWMA模型预测协方差..风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数

风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数10.3多元正态分布风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数多元正态分布处理上相对简便方差-协方差矩阵定义了变量之间的方差和相关系数为了满足内部一致性的条件，方差-协方差矩阵必须是半正定的风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数基于蒙特卡罗模拟产生的随机抽样在Excel中，=NORMSINV(RAND())能产生一个来自于正态分布的随机样本间接构造随机数风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数因子模型如果有N个变量Vi(i=1,2,..N),那么在一个多元正态分布中有N(N−1)/2个相关系数我们能够通过估计因子模型的方法来减少相关系数参数的数量风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数因子模型

单因子模型：若{Ui,i=1,2,…N}满足标准正态分布，则

共同因子F和特殊因子Zi服从标准正态分布且相互独立变量Ui

和Uj

的相关系数是aiajM个因子模型风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数10.4Copula函数已知联合分布可以确定边缘分布。当已知了两个随机变量的边缘分布，怎样来估计他的联合分布？Copula函数方法提供了一个估计联合分布的方法基本思想：等概率投影到已知联合分布函数上，通过随机变量的替换反推出未知联合分布。风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数高斯Copula函数模型:

用于对不服从正态分布的变量生成相关结构假设我们想对变量V1、V2定义一个相关结构，但V1、V2不服从正态分布我们把变量V1映射到一个新的服从标准正态分布的变量U1上，这种映射为分位数与分位数之间的一一映射变量V2也按变量V1的方法映射到新的变量U2上变量U1、U2服从二元正态分布风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数计算联合累积分布的例子变量V1、V2同时小于0.2的概率同变量U1<−0.84且U2

<−1.41的概率相同当Copula相关系数等于0.5时，也就是 M(−0.84,−1.41,0.5)=0.043

其中，M为二元正态分布的累计分布函数风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数二元学生t-分布比二元正态分布尾部价值更高

(1)5000个抽样，相关系数均为0.5，学生t-分布自由度为4

(2)正态分布价值大于2.33或小于-2.33的抽样值定义为尾部价值

(3)学生t-分布价值大于3.75或小于-3.75的抽样定义为尾部价值风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数10.4.4多元Copula函数类似的，我们可以定义多个变量V1,V2,…Vn之间的相关结构在分位数与分位数对应映射的条件下，把变量Vi映射到一个新的服从标准正态分布的变量Ui上变量Ui服从多元正态分布风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数10.4.5因子Copula函数

多元Copula模型中，市场分析员常常假定变量Ui,单因子模型中共同因子F和特殊因子Zi都服从标准正态分布且相互独立变量Ui

和Uj

的相关系数是aiajF和Zi也可以假设服从其他分布风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数信贷违约相关系数两个公司之间的信贷违约相关系数用来衡量这两个公司同时违约的倾向在风险管理上，违约相关系数对于分析信贷风险多样化是非常重要的违约相关系数对于某些信贷衍生品的估值也是大有用处的风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数10.5将Copula函数应用于贷款组合我们把公司i违约的时间Ti映射到一个新的变量Ui

，并且假设 其中F和Zi服从正态分布，并且相互独立定义Qi

为Ti的累积概率分布Prob(Ui<U)=Prob(Ti<T)whenN(U)=Qi(T)风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数贷款组合模型风险管理与金融机构Ch10相关系数和Copula函数观察违约概率：(1)当F增加时，以上概率减小(2)当F服从标准正态，则F<N-1(Y)的概率是Y此时违约概率率大于的概率为Y风险管理与金融机