2021-2022学年高中数学北师大版练习考点综合提升练9

考点综合·提升练9(范围：第五章§1－§2)限时60分钟分值100分战报得分______一、选择题(每小题5分，共30分，在每小题给出的选项中，只有一个正确选项)1．y＝x－1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是()A．1，(1，0) B．(1，0)，0C．(1，0)，1 D．1，1【解析】选C.由y＝x－1＝0，得x＝1，故交点坐标为(1，0)，零点是1.2．下列图象中与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()【解析】选B.B中的零点不是变号零点，所以不能用二分法求解．3．某工厂生产某种产品的月产量y和月份x满足关系y＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋b，现已知该厂1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为()A．2万件 B．1.8万件C．1.75万件 D．1.7万件【解析】选C.由题意知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·\f(1,2)＋b＝1，,a·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋b＝1.5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))所以y＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋2.当x＝3时，y＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋2＝eq\f(7,4)＝1.75.4．如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H与下降时间t之间的函数关系的图象只可能是()【解析】选B.由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取eq\f(1,2)t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的eq\f(1,2)，对比四个选项的图象可得结果．5．某公司招聘员工，经过笔试确定面试对象人数，面试对象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x≤10，,2x＋10，10<x≤100，,1.5x，x>100，))其中x代表拟录用人数，y代表面试对象人数．若应聘的面试对象人数为60人，则该公司拟录用人数为()A．15B．40C．25D．30【解析】选C.若x∈[1，10]，则y＝4x≤40.若x∈(100，＋∞)，则y＝1.5x>150.所以60＝2x＋10，所以x＝25.6．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y＝f(x)，一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示开始交易后2小时的即时价格为3元，g(2)＝4表示开始交易后两小时内所有成交股票的平均价格为4元，下面所给出的四个图象中，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是()【解析】选C.f(0)与g(0)应该相等，故排除A，B中开始交易的平均价格高于即时价格，D中恰好相反，故正确选项为C.二、选择题(每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)7．若关于x的一元二次方程(x－1)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2，则下列结论中正确的是()A．m＞－1B．m＜－1C．当m＞0时，x1＜1＜3＜x2D．当m＞0时，1＜x1＜x2＜3【解析】选AC.方程整理可得：x2－4x＋3－m＝0，由不同两根的条件为：Δ＝16－4(3－m)＞0，可得m＞－1，所以A正确，B不正确．当m＞0，即(x－1)(x－3)＞0时，函数f(x)＝(x－1)(x－3)－m与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)，如图可得x1＜1＜3＜x2，所以C正确，D不正确．8．已知函数f(x)＝2x－logeq\s\do9(\f(1,2))x，且实数a，b，c(a＞b＞c＞0)满足f(a)f(b)f(c)＜0.若实数x0是函数y＝f(x)的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是()A．x0＜a B．x0＞aC．x0＜b D．x0＜c【解析】选ABC.根据题意，函数f(x)＝2x－logeq\s\do9(\f(1,2))x＝2x＋log2x，其定义域为(0，＋∞)，函数y＝2x和y＝log2x都在(0，＋∞)上为增函数，则函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因为实数a，b，c(a＞b＞c＞0)满足f(a)f(b)f(c)＜0，则f(a)，f(b)，f(c)可能都小于0或有1个小于0，2个大于0，如图．则A，B，C可能成立，x0＞c，D不可能成立．三、填空题(每小题5分，共20分)9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|log2x|（0<x<4），,－\f(1,2)x＋6（x≥4），))若函数y＝f(x)的图象与y＝k的图象有三个不同的公共点，这三个公共点的横坐标分别为a，b，c，且a<b<c，则c－ab的取值范围是________．【解析】画出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知8<c<12，而|log2a|＝|－log2a|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,a)))＝|log2b|，故ab＝1，所以7<c－1<11.答案：(7，11)10．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x＝________m.【解析】设内接矩形另一边长为y，由相似三角形的性质得eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，所以y＝40－x，所以矩形面积S＝xy＝x(40－x)＝40x－x2＝－(x－20)2＋400(0<x<40).所以当x＝20时，矩形面积最大．答案：2011．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x<2，,\f(3,x－1)，x>2，))若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为________．【解析】函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x<2，,\f(3,x－1)，x>2，))作出函数f(x)的图象，如图所示．方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，等价于函数y＝f(x)的图象与y＝a有三个不同的交点．根据图象可知，当0<a<1时，函数y＝f(x)的图象与y＝a有三个不同的交点，方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则a的取值范围是(0，1).答案：(0，1)12．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文eq\o(→,\s\up7(加密))密文eq\o(→,\s\up7(发送))密文eq\o(→,\s\up7(解密))明文已知加密为y＝ax－2(x为明文、y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接收方通过解密得到明文“3”，若接收方接到密文为“14”，则原发的明文是________．【解析】依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密为y＝2x－2，因此，当y＝14时，由14＝2x－2，解得x＝4.答案：4四、解答题(每小题10分，共40分)13．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值范围．【解析】若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，且函数f(x)只有一个零点x＝－1，符合题意；若a≠0，则f(x)＝ax2－x－1为二次函数，若只有一个零点，则方程ax2－x－1＝0有两个相等的实数根，故Δ＝1＋4a＝0，即a＝－eq\f(1,4).综上，当a＝0或a＝－eq\f(1,4)时，函数只有一个零点．14．证明方程2x＋x＝4在区间(1，2)内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度为0.3).参考数据：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67【解析】设函数f(x)＝2x＋x－4，因为f(1)＝－1<0，f(2)＝2>0，f(x)在区间(1，2)上单调递增，所以f(x)在区间(1，2)内有唯一的零点，则方程2x＋x－4＝0在区间(1，2)内有唯一一个实数解．取区间(1，2)作为起始区间，用二分法逐次计算如下：区间中点的值中点的函数值区间长度(1，2)1.50.331(1，1.5)1.25－0.370.5(1.25，1.5)1.375－0.0310.25由表可知，区间(1.25，1.5)的长度为0.25<0.3.所以方程的实数解为1.375.15．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝3eq\r(2a)－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝eq\f(1,4)a＋2，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).(1)当甲城市投资50万元时，求此时公司的总收益；(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？【解析】(1)当甲城市投资50万元，则乙城市投资70万元，所以总收益f(50)＝3eq\r(2×50)－6＋eq\f(1,4)×70＋2＝43.5(万元).(2)由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资(120－x)万元，所以f(x)＝3eq\r(2x)－6＋eq\f(1,4)(120－x)＋2＝－eq\f(1,4)x＋3eq\r(2x)＋26，依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥40，,120－x≥40，))解得40≤x≤80.故f(x)＝－eq\f(1,4)x＋3eq\r(2x)＋26(40≤x≤80).令t＝eq\r(x)，则t∈[2eq\r(10)，4eq\r(5)]，所以y＝－eq\f(1,4)t2＋3eq\r(2)t＋26＝－eq\f(1,4)(t－6eq\r(2))2＋44.当t＝6eq\r(2)，即x＝72万元时，y的最大值为44万元，所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．16．已知函数f(x)＝1－eq\f(4,2ax＋a)(a>0，a≠1)且f(0)＝0.(1)求a的值；(2)若函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围；(3)当x∈(0，1)时，若f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围．【解析】(1)由f(0)＝0得1－eq\f(4,2a0＋a)＝0，即a＋2＝4，解得a＝2.(2)由(1)可知f(x)＝1－eq\f(2,2x＋1)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点⇔方程2x－1＋k＝0有解，即k＝1－2x有解，因为1－2x∈(－∞，1)，所以k∈(－∞，1).(3)因为f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，由f(x)>m·2x－2得m(2x)2＋(m－3)2x－1<0，令t＝2x，因为x∈(0，1)，所以t∈(1，2)，即f(x)>m·2x－2⇔mt2＋(m－3)t－1<0对于t∈(1，2)恒成立，设g(t)＝mt2＋(m－3)t－1，①当m<0时，m－3<0，所以g(t)＝mt2＋(m－3)t－1<