2023年中考数学一轮复习知识解读 定角定高

专题05定角定高（知识解读）

【专题说明】

定角定高问题是初中数学学习的重点和难点问题，也是升入名校考查的热点。

此类问题综合性强，常常会与三角形，四边形进行结合起来，隐蔽性强。常应

用于求一类三角形底边长的最小值，继而求三角形面积的最小值，问题的关键

就在作这个动三角形的外接圆，根据“半径+弦心距，定高”求出半径的最小值，

那底边存在最小值，面积存在最小值。由于底边的长在变化，此外接圆“隐形

圆”的大小也会发生变化，但是在运动过程中于找到“隐形圆”半径最小值，

找到此处为突破口，建立数学模型，综合性问题就迎刃而解.

【方法技巧】

L定角定高模型呈现：有一类问题满足这样的条件特征：如下图，直线BC

外一点A,A到直线BC距离为定值（定高），NBAC为定角。则AD有最小值。

又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。

2.辅助线作法：

①作△ABC的外接圆。O；

②连接。3，OC,作。

3.说理证明：

①易证/胡。=/3。"=a,OC=OB=OA=r；

②在中,BM=rsina,OM=rcosa；

•.・AH±BC,：.OM^OA>AH,

「・rcosc+r>/?,

r>h

1+COSG

2Asina

・•.BC=2BM=2rsinCc>

14-cosc

解决问题的策略：定角夹定高、作三角形外接圆、三角函数转化为半径最值、等

腰时取到最值.关键步骤：

1.作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为「，用含「的代数式表示圆心距及

底边长；

2.根据“半径+弦心距N定高”求「的取值范围；

3.求出底边的范围，计算面积最小值。

【典例L析】

【典例a辅助圆之定角定高求解探究

(1)如图①，已知线段AB,以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；

(2)如图②，在△ABC中，ZACB=60°,CO为A3边上的高，若CD=4,

试判断AB是否存在最小值，若存在，请求出A3最小值；若不存在，请说明

理由；

(3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草,

在四边形A8CO中，ZA=45°,ZB=ZD=90°,CB=CD=6近,点E、

产分别为A3、AD上的点，若保持CE_LCR那么四边形AECP的面积是否存

在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由.

【变式1-1］如图，在△A3C中，NB4C=60°,于点。，且AO=4,

则△ABC面积的最小值为

【变式1-2】如图，在△ABC中，ZBAC=90°,边上的高AO=6,则△ABC

周长的最小值为.

【变式1-3]如图，正方形A3CD的边长为6,点E,尸分别是CD,BC边上的

【变式1-4]（2019•新城区校级一模）问题提出：

如图1：在△A3C中，BC=10且NBAC=45°，点。为△ABC的外心，则4

ABC的外接圆半径是.

问题探究：

如图2,正方形ABC。中，E、尸分别是边BC、CD两边上点且NE4F=45°,

请问线段BE、DF、E尸有怎样的数量关系？并说明理由.

问题解决：

如图3,四边形ABCO中，AB=AO=4M，ZB=45°,ZD=135°,点E、

F分别是射线CB、CD上的动点，并且NE4F=NC=60°,试问△4用的面

积是否存在最小值？若存在，请求出最小值.若不存在，请说明理由.

专题05定角定高（知识解读）

【专观说则】

定角定高问题是初中数学学习的重点和难点问题，也是升入名校考查的热点。

此类问题综合性强，常常会与三角形，四边形进行结合起来，隐蔽性强。常应

用于求一类三角形底边长的最小值，继而求三角形面积的最小值，问题的关键

就在作这个动三角形的外接圆，根据“半径+弦心距2定高”求出半径的最小值，

那底边存在最小值，面积存在最小值。由于底边的长在变化，此外接圆“隐形

圆”的大小也会发生变化，但是在运动过程中于找到“隐形圆”半径最小值，

找到此处为突破口，建立数学模型，综合性问题就迎刃而解.

【方法技巧】

1.定角定高模型呈现：有一类问题满足这样的条件特征：如下图，直线BC

外一点A,A到直线BC距离为定值（定高），ZBAC为定角。则AD有最小值。

又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。

2.辅助线作法：

①作△ABC的外接圆。。；

②连接08,0C,作8c.

3.说理证明：

①易证N84C=N3OA7=a,OC=OB=OA=r；

②在放△30M中，BM=rsina,OM=/cosa；

vAH1BC,：.AH9

/.rcosc+r>h,

..r>h

1+COSG

2hsina

/.BC—2BM=2rsina>

1+COSG

解决问题的策略：定角夹定高、作三角形外接圆、三角函数转化为半径最值、等

腰时取到最值.关键步骤：

1.作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为，，用含r的代数式表示圆心距及

底边长；

2.根据“半径+弦心距2定高”求，•的取值范围；

3.求出底边的范围，计算面积最小值。

【真例台新】

【典例1］辅助圆之定角定高求解探究

(1)如图①，已知线段A8,以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；

(2)如图②，在△ABC中，NACB=60°,CO为AB边上的高，若8=4,

试判断A8是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明

理由；

(3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草,

在四边形A3CO中，NA=45°,ZB=ZD=90°,CB=CD=6近,点E、

户分别为AB、AD上的点，若保持CE_LCR那么四边形AECF的面积是否存

在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)如图①中，△A8C即为所求.

(2)如图②中，作△ABC的外接圆。。，连接04,OB,0C,作。ELA3于

E.iSOA=OC=2x.

图②

VZAOB=2ZACB=\20°,OA=OB,OELAB,

：.AE=EB,ZAOE=ZBOE=60°,

OE=^-OA=x,AE=y[3x,

2

■:OC+OE^CD,

3x24,

生

3

/.X的最小值为马，

3

,:AB=2Q,

：.AB的最小值为庭

3

(3)如图③中，连接AC,延长8C交AO的延长线于G,将△COF顺时针旋

转得到△C3”，作△CE”的外接圆。。

图③

•.•/ADC=/A5C=90°,AC=AC,CD=CB,

：.RtAACD^RtAACB(HL),

••SAACD=S&ACB,

,：ZDAB=45°,

/.ZDCB=135°,

：.ZDCG=45°,

VZCDG=90°,

:.CD=DG=6五,

：.CG=42CD=12,

，AB=GB=12+6&,

由(2)可知，当△(?£：”的外接圆的圆心。在线段8c上时，的面积

最小，此时四边形AFCE的面积最大，

设OC=OE=r,易知OB=EB=^r,

2

r+2ZZ_r=6V2>

2

.”=6&(2-&),

:.EH=®1r=12(2-V2)，

二四边形MCE的面积的最大值=2义工义(12+6&)*6企-1x12(2-72)

22

X6&=144.

【变式1-1］如图，在△ABC中，ZBAC=60°,AOLBC于点。，且45=4,

则△ABC面积的最小值为.

3

【解答】解：作△ABC的外接圆。0,连接OB,0C,过点。作OEJ_

BC于点E,

AZBOC=120°,

'：OB=OC,

；.NOBC=NOCB=30°,

设。。的半径为r,则。E=2。6=工'，BE=®OB=®r,

2222

BC=y/^r,

'：OA+OE^AD,

：.什L24,

2

解得：「与心，

3

:.BC2^~,

3

,•SAABC=^-BC-AD>-2XR-X4/—'

^ABC的面积的最小值为16我,

3

故答案为：wi.

3

【变式1-2］如图，在△ABC中，ZBAC=90°,BC边上的高AD=6,则△ABC

周长的最小值为.

【答案】12后+12

【解答】解：如图，延长C8到E,使得延长3C到F,使得

CA,连接AE,AF,作AAE尸的外接圆。0,连接OE,OF,过点。作0/_L

EF于点J,交OO于点T.

•：BA=BE,CA=CF,

：.ZBAE=ZBEA,ZCAF=ZCAF,

,?ZABC=ZBAE+ZBEA,ZACB=ZCAF+ZCFA,

ZAEF+ZAFE=1(ZABC+ZACB)=45°,

2

.'.ZEAF=135°,

工NEOF=90°,

'."OJ1EF,

：.EJ=JF,

:.OJ=LEF,

2

设OE=OF=r,则£F=&r,OJ=JLr,

2

■:AB+BC+AC=EB+BC+CF=EF,

.•.ER最小时，/XABC的周长最小，

'：AD±BC,

：.AD+OJ^OT,

2

，B12+6&,

AEF^1272+12,

.*.AB+8C+AC212&+12,

.'.△ABC的周长的最小值为12&+12,

故答案为：12加+12.

【变式1-3］如图，正方形A3CO的边长为6,点£,P分别是CD,边上的

由旋转的性质得，AH=AE,ZBAH=ZDAE,

VZE4F=45°,ZBAD=90°,

/.ZBAF+ZDAE=ZBAH+ZBAF=45°,

：.ZFAH=ZEAF=45°,

在/和△A//F中,

'AE=AH

<NEAF=NHAF，

AF=AF

/.AAEF^/XAHF(SAS),

：.FH=EF,

••SMEF=SMFH,

设DE=x,BF=y,贝BH=DE=x,EF=BF+BH=x+y,CE=6-x,CF=6

-y，

在RtAEFC中，EC2+CP=EF2,

：.(6-x)2+(6-y)2=(x+y)2,

化简得：y=36-6x=9卫,

x+6x+6

AS^AEF=S^FH=1FH'AB=1X6(x+y)=3[尤+(-6+卫)]=3[(x+6)+卫

22x+6x+6

-12]=3[(77^6-2+12企-12],

Vx+6

，当行而=@反时，x=6&-6,SAAEF的最小值为36&-36.

x+6

故答案为：3672-36.

【变式1-4](2019•新城区校级一模)问题提出：

如图1：在△ABC中，3c=10且N84C=45°，点。为△ABC的外心，则4

A8C的外接圆半径是.

问题探究：

如图2,正方形ABC。中，E、R分别是边BC、CD两边上点且NE4尸=45°,

请问线段BE、DF、E/有怎样的数量关系？并说明理由.

问题解决：

如图3,四边形A3C。中，AB=AD=442,ZB=45°,NO=135°,点£、

F分别是射线CB、CD上的动点，并且NEAF=NC=60°,试问△4用的面

积是否存在最小值？若存在，请求出最小值.若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)如图1,作出△A3C的外接圆。0,

VZA=45°,

AZBOC=90°,

VBC=10,

.,.□B=sin45°XBC=^-x10=5V2(

故答案为：5&.

(2)EF=BE+DF,理由如下：

如图2,延长E8,使8G=OF,连接AG,

：.AB=AD,NABG=N£>=90°,

在△ABG和△AO尸中，

，AB=AD

<ZABG=ZD>

B