2023年高考数学真题分类汇编：导数及其应用、不等式

2023年高考数学真题分类汇编：导数及其应用'不等式

一、填空题

+3y<3

L（2023•全国甲卷）设x,y满足约束条件（3x-2y<3,设z=3%+2y,则z的最大值为________

（x+y>1

2.（2023•天津卷）在aABC中，乙4=60。，BC=1,点。为的中点，点E为CD的中点，若设而=五,

AC=b>则版可用乱石表示为;若诉=/瓦,则前•存的最大值为

3.（2023•全国乙卷）设a6（0,1）,若函数f（x）=亦+（1+a尸在（0,+8）上单调递增，则a的取值范

围是.

（x-3yW—1

4.（2023•全国乙卷）若x,y满足约束条件（x+2y<9,则z=2x—y的最大值为________.

（3%4-y>7

5.（2023・上海卷）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为心斜坡终点距离水

平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为（1.025-cose）,要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所

消耗的总体能最少，则。=;

二、选择题

6.（2023•全国甲卷）曲线'=昌在点（1,分处的切线方程为（）

A.y=JxB.y=1%C.y=袅+专D7=》+半

7.（2023•天津卷）函数f（x）的图象如下图所示，则/（%）的解析式可能为（)

5sinx

B.

%2+l

5(eX+eT)cScosx

D

%24-2-K

8.（2023•全国乙卷）已知实数％,、满足炉+产一以一？？-^：^。，则久一y的最大值是（）

A-1.+,3—72B.4C.1+3V2D.7

9.(2023・新高考团卷)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为()

A.e2B.eC.e-1D.e~2

10.(2023•新高考回卷)若f(x)=alnx+?+£(a/))既有极大值也有极小值，则()

A.bc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

11.(2023・新高考回卷)已知集合乂={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6>0},则MDN=()

A.{-2,-1,0,1)B.{0,1,2}

C.{-2}D.{2}

12.(2023•新高考回卷)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级”=

20xlg^-,其中常数p0(p0>0)是听觉下限间值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为P],p2,p3,则

()

A.Pi>p2B.p2>10p3C.p3=100p0D.pi<100p2

三、解答题

13.(2023•全国甲卷)已知/(%)=a%-si”：,x6(0,

COS,5%N

(1)若a=8,讨论/(%)的单调性；

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求a的取值范围.

sinx一“7T、

14.(2023•全国甲卷)已知函数/(x)=0”一忘我'xe(0>2)-

(1)当a=l时，讨论/(%)的单调性;

(2)若/(%)+sin%V0,求a的取值范围.

15.(2023•天津卷)已知函数/(%)=G+}ln(%+1).

(1)求曲线y=/(%)在％=2处切线的斜率；

(2)当x>0时，证明：/(x)>1；

(3)证明:1<ln(n!)—(n+^)ln(n)+n<1.

16.(2023•全国乙卷)已知函数f(x)=©+a)ln(l+x).

(1)当a=—1时，求曲线y=/(%)在点(1,/(I))处的切线方程;

(2)是否存在a,b,使得曲线y=关于直线x=b对称，若存在，求a,b的值，若不存在，说明

理由.

(3)若/(x)在(0,+8)存在极值，求a的取值范围.

17.(2023•全国乙卷)已知函数/(%)=(1+a)m(1+x).

(1)当a=-l时，求曲线y=/(%)在点(1,/(%))处的切线方程.

(2)若函数6%)在(0,+8)单调递增，求a的取值范围.

18.(2023•上海卷)=Inx,取点(%/(%))过其曲线y=/(%)作切线交y轴于(0,a2),取点

色2/(。2))过其曲线y=/(%)作切线交y轴于(0,。3)，若。3>0则继续，若。340则停止，以此类推得到

数列｛aj

(1)若正整数m22,证明cim=InamT-1；

(2)若正整数m>2,试比较a.与—2大小；

(3)若正整数kN3,是否存在k使得由，a2,a?…以依次成等差数列?若存在，求出k的所有取值，

若不存在，请说明理由.

19.(2023•上海卷)函数fQ)="+(：^1)*+%,cGR)

(1)当a=0是，是否存在实数c,使得/(x)为奇函数；

(2)函数f(x)的图像过点(1,3)，且/Q)的图像与支轴负半轴有两个交点，求实数a的取值范围.

20.(2023•新高考回卷)

(1)证明：当0<%<1时，，x—x2<sinx<x

(2)已知函数/(%)=cosax-ln(l—若％=0是/(%)的极大值点，求a的取值范围.

21.(2023・新高考回卷)已知函数/(%)=矶靖+a)-X.

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)证明：当a>0时，/(%)>21na+1

22.(2023•新高考回卷)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(()，》的距离，记动点P

的轨迹为W.

(1)求W的方程；

(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3K.

答案解析部分

L【答案】15

【知识点】简单线性规划

【解析】【解答】由z=3x+2y得y=-+々z,

故当直线，：y=—|x+/z截距最大时，z取得最大值,

根据题意画出可行域如上图，易得当直线I过点A时、z取得最大值,

联立建:服工，解得［1］即4(3,3)

•••zmax=3x3+2x3=15

故答案为：15

【分析】利用约束条件画出可行域，由目标函数分析求截距最大值。

2.【答案】+^b；聂

【知识点】基本不等式；向量加减混合运算：余弦定理

【解析】【解答】如图所示，

第一空：•.•点。为4B的中点，点E为CD的中点

T11

•••AO

由平行四边形法则易得族=1(AC+>W)=iT[T1->]—

AC+4AB-4a+2b

第二空：由：乔=:近,

T1T

・・・BF=诃，

-'-AF=AB+BF=AB+^BC=AB+^(BA+AQ=la+^b^

••,//=/+网,(瓢+萩)=施『+刑2+制矶可3/"=*同2+胴(+/问同

又・.・44=60°,BC=1,

_\ci\+b—11->一]2t2

根据木弦定理得：cosz.A=-------=2,即|。卜b=|a|+b-1

|f2T2

+b

又：口Z<n>

I叩bS-2-

|—>|2722

••同+印一以平，解得固+WW2，

纲+/同网=器『+纲+言(忖『+阿一1)=言(同2+网)一言《分

故当且仅当同=N时，荏.9的最大为聂

故答案填：会.

【分析】根据题意，将其中两边视为基底向量，由平行四边形法则易表示AE;同理利用基底向量可表

示余，进而表示荏•希，表示后的结构易联想到使用基本不等式求其最大值，由基底夹角结合第三边

BC=1可联想使用余弦定理得出平方和与乘积的等量关系，消元且使用基本不等式可求得荏•万的最大

值.

3.【答案】［与1,1)

【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】•.•函数/(%)=〃+(1+a尸在(0,+8)上单调递增,

・"'(')=(lna)ax+ln(l+a)(l+a)x>0在(0,+8)上恒成立,

xx>

令g(%)=(lna)a+ln(l+a)(l+d)9故只需证。(%北加°

则“(%)=(lna)2ax4-[ln(l+a)]2(l+a)x>0,

则g(%)在(0,+8)上单调递增，且g(x)7n也>g(0)=Ina+ln(l+a)

Ina+ln(l+a)>0,

即Ina>—ln(l+Q),

Aeina>e-in（i+a）（即a2击，解得a2二1产或aw畛虫，

又W（0,1）

，ae母，1），

故答案为：［与1,1）

【分析】结合题意求导将问题转化成导函数大于0恒成立问题，重新构造函数，求导分析计算该函数的

最小值大于0即得答案.

4.【答案】8

【知识点】简单线性规划

【解析】【解答】根据题意作出满足不等式组表示的平面可行域，如下图：

y=2x-z/

由z=2x-y,得y=2x-z,—z表示直线y=2x-z在y轴上的截距，

...截距越小z越大，

由上图可只当直线y=2x—z经过点C时z最大，

由心:短I解得比：:即C（5,2）,此时小=2x5-2=8.

故答案为：8

【分析】找出满足题意的可行域，对目标函数分析结合一次函数分析得出z的最大值。

5.【答案】arccos

【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用

【解析】【解答】设斜坡距离为S,消耗总体能W

根据题意细昨白。6(0,初，即s=^，则皿=嘉(1.025_3。)=/*

2

则f4sin0—4cos0)cos04—枷os。

sin20sin20

令VK'=0,。。广-二。,即4—祭cos。=0,解得0=arccos黑

sin201U41

结合余弦函数及其变换可知，此时

当0<6<arccos黑时，<0,W(8)单调递减；

当arccos普<狎，"'<0,W(8)单调递增;

即当。=arccos^yW(。)取得最小值，

故答案为：arccos舞

【分析】根据题意表达出总体能与坡面夹角的函数关系，利用导数分析其单调性与最值得出答案.

6.【答案】C

【知识点】导数的四则运算

【解析】【解答】••・上号坐^式金,

(%+1)(%+1)

e1e

,1■ylx=1==4'

即此时该切线方程的斜率为今

4

曲线在点(1,9处的切线方程为—即丫=袅+捺

故选：C

【分析】利用导数求出V在x=l的值，即为点(1,分处切线的斜率，由直线点斜式方程得出答案.

7.【答案】D

【知识点】奇函数；偶函数；基本不等式

【解析】【解答】根据图象可知该函数为偶函数,

5『一吟

对A,f(-x)==-/W,故该函数为奇函数，不符合题意，错误;

(一黯+2

5sin(一%)

对B,f(~x)=-/@),故该函数为奇函数，不符合题意，错误;

(-x)2+l'

对C'如)=笔^^生空二号〉°'故此函数函数值均为正数'不符合题意'错误;

故选：D.

【分析】由函数结合奇偶性判断可排除A、B,对C得特殊结构利用基本不等式得出函数值为大于0可

排除，从而得出答案D.

8.【答案】C

【知识点】简单线性规划的应用；圆的标准方程：圆的一般方程

【解析】【解答】x2+y2—4x—2y—4—0,整理得(x—2)2+(y—l)2=9

其中圆心O为(2,1),半径r=3.

另x-y=k,如下图，易知当直线x-y=k与圆(％-2>+(y—1)2=9相切时取得最大

即点O到直线x-y=k的距离为OA=R=3=3嵩上为=3.解得k=1±3近

由k最大，即k取1+3近

故选：C

【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程得出圆心与半径，将x-y最大值转化为线性规划问题，在可

行域范围内分析并计算可得答案。

9.【答案】C

【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】•・•/⑺在区间(1，2)单调递增，

XG(1,2)时，恒成立，

・••/'(%)=Qe”一1>0在%€(1,2)恒成立，即Q>，

设g(X)=X,由复合函数单调性可知g(x)在％G(1,2)单调递减，

1

•••a>g⑴=-

故选：C

【分析】根据f(x)在区间(1，2)单调递增，利用/'(x)>0在区间(1,2)恒成立，分离参数转化成另一恒

成立问题，构造新函数求其最值即得答案。

10.【答案】B,C,D

【知识点】利用导数研究函数的极值；一元二次方程的解集

【解析】【解答】/(X)定义域为(0，+8),广⑺=户2爹-2c,

•・"(X)既有极大值又有极小值，・•・「(%)在(0，+8)有两个变号零点，即丫=a/一板一2c在(0,+8)

有两个不等实数根，

:+8ac>0,%-j+%2=方>°，=~~6->0，

ab>0,ac<0,=c^bc<0即be<0,故A错误，B、C、D正确

故选：BCD

【分析】先求/(x)导数/'(x),转化为/'(x)有两个变号零点，进而转化为一元二次方程有两个不等实数

根。

1L【答案】C

【知识点】交集及其运算；一元二次方程的解集

【解析】【解答】：始一支一6》0,(x-3)(%+2)》0,二》》3或r4—2,即可={%/%>3或c《

一2},则MCN={-2}。故选C

【分析】利用一元二次不等求解集合N,进而求集合M与N的交集。

12.【答案】A,C,D

【知识点】对数的性质与运算法则；指、对数不等式的解法

【解析】【解答】由y=?x是增函数，故”也是增函数，由表格可知，LP1e[60,90],LP2E

[50,60],LP3=40

L„e[60,90],即60W20xlg空W90,则3Wig空寻

L」P0PoL

同理可得为国黑43,切黑=2

乙?0P0

A:由对数函数单调递增，♦.11)乙2，，P1)P2，故A正确；

B：脸=蟾=嘘-嘘,,•号〈啮W3,啮=2,土喷Wl,靖W10,即

P。

P2<10p3,故B错误；

C：喷=2,则需=102=100即P3=100p0,故C正确；

P1

D：喷=谴=脸-脸,啮寸,：,0<lg^<2,.U<^<

Po

100,即PiWloop2，故D正确.

故选：ACD

【分析】由对数函数单调性解不等式，逐项解答判断即得答案。

13.【答案】⑴解：当a=8,即/(x)=8%--^,x£(0,缶

cos°x乙

liiil,、门cos4x+3sin2xcos2x8cos4x+2cos2x—3(2cos2%—1)(4cos2x+3)cos2x(4cos2x+3)

则r八lX)=8--------------------------==-----------------------------=―—

令/'(%)=0,即cos2%=0,解得％=p

令((%)>。，即cos2%>0,解得0V%V*

令f'Q)V。，即cos2%<0,解得/<x<

⑺在(0,分上单调递增,在妗，刍上单调递减

(2)令g(%)=/(%)-sin2%,%G(0,引，

-

•f(\\，,、«、，c

2cos^^-3c/cn24292cos23

・,9(。)=0，g(%)=a-I----cos4.-----2(2cosx-1)=Q+2—4cos%d-----cos4~~'

.•.必然存在g(x)在(0,八)&€(在刍单调递减，

.,.“(0)<0,即“(0)=a-3<0,解得a<3,

检验，当a<3时,/(%)<sin2%是否恒成立，

令t=cos2x(t6(0,1))

=a+2—4tH---o-，

t乙

2t—3

令h(t)=Q+2-4t+言/，

•入,/右、—4^3—2t+62(t—l)(2t^+2t+3)

••九⑷二---m----=---------p-------，

当Ovtvl时，h!(t)>0,

・・・八«)在£6(0,1)单调递增，

・••九(t)<h(X)max=a—3<0,即g'(£)<0,

7F

.,.9(%)在％6(0,引单调递减，故此时/(x)<sin2x恒成立；

综上所述：a<3.

【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性

【解析】【分析】(1)将2=代入原函数，求导结合同角三角函数间的关系及变换消元转化成关于COSX的函

数表达式，结合因式分解对其导函数正负性分析即可得出fQ)的单调性；

(2)令g(x)=/(久)-sin2x,注意到g(0)=0结合函数变化易分析g'(0)<0,从而缩小a的分析范围，在

a<3时，结合整体换元简化式子结构并对g'(x)再求导分析此时函数极值范围得出其正负性，进而得出

g(x)的函数单调性继而得出答案.

sinx

14.【答案】(1)当Q=1时，/(%)=%-,%G(0,?

cos2%

32)

cosx+2cosxsinx2-COS2_(COS34-1)+(COS2R-1)<0,％£(0，另

则/⑺=1一=1一

cos4%cos3xcos3%

.••//在％«0,另单调递减;

.3

sinxsinx

(2)令g(x)=f(x)+sinx=ax—+sinx=ax+sinx(1--------=ax----------y-

cos2x、cos'x，cos'x

3sin2xcos2x+2sin4.x2sin2%cos2x+2sin4x+(sinxcosx)2__2+(sinxcos%)2

则g'(x)=a——=a-

cos3%cos3%cos3%

g(x)<0,又g(0)=0,

••・g'(o)=a-0<0,解得a<0.

2

检验当Q<0时，XG(o,分有a-2+(sinxcos%)<0,

cos3%

即g(x)在(0,9上单调递减,

・•・g(%)vg(。)，g(%)<0符合题意,

**•aG(—8,0]

【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性

【解析】【分析】(1)对/(%)求导，利用导数判断/(、)单调性;

(2)构造g(x)=f(x)+sinx,结合g(0)=0,将问题转化为g'(0)W0并验证得出答案。

.【答案】解:由得—妥

15(1)/,(%)=C+^)ln(x+1)r(x)=ln(x+1)+([+(x>-l且x#0).

•••卜=((2)=—苧+4

故曲线y=/(%)在x=2处切线的斜率g—苧;

(2)解：要证/(x)>l,即证/(x)—1=©+}ln(x+l)—l>0,

Vx>0,

/.即证Q+2)ln(x+1)—2%>0,

令g(%)=(%+2)ln(x+1)—2%

1

•WQ)=ln(x+1)+市-1

.•.“(%)在(0,+8)上单调递增，d(x)在(一1,0)上单调递减，且g'(0)=0,

，g(x)在(0,+8)上单调递增，此时g(0)min=。，

・・・g(%)>9(0)，即g(%)>o，

证毕

(3)解：令九(几)=ln(n!)—(n4-^)ln(n)+n(n>0且九eN*),

则有九(ri+1)=ln[(n+1)/]—(n4-^)ln(n+1)+n+1,

••h(n+1)—h(Ti)=ln(n+1)+(n+2)ln(zi)—(n+2)ln(zi+1)+1=—(n+])ln(而+1)+1,

令”，则g(t)=-G+I"+1)+1，

由(2)得一c+1)ln(t+1)+1<0,

•\h(n+1)—h(n)<0,

即在定义域范围内单调递减，

此时九(九)加必=九(1)=1，

・、有九(九)<1,即证得ln(n!)—(n+^)ln(n)4-n<1；

由(2)得，当一lVxVO,(x+2)ln(x4-1)-2%<0,则(％+l)lnx—2(%—1)V0,%G(0,1)

2

构造(p(x)=(2x+x)lnx—彳/_|_x,

则"(%)=(%+l)lnx—2(%—1)<0,

1

.•・0(%)在％E(0,1)上单调递减，则有w(x)><p(l)min=—a，

即+x)lnx-7%2+%>一,，

521

-XX-

4--4

整理得

In%十X

..n、6n+l

・・皿帝>一2几(3九+2)，

1,

一(n+1)ln(^+1)+1=(n+外n(舟)+1>(n+｝卜2n黑:2)]+

==-

整理得帅+1)-h(n)>-4n(3：+2)>-4n(3n-3)~12(号力

•••/i(n)-/1(n-l)>-^-占),

帅一1）一八⑺-2）>一今（言一力），

11

il(

九(3)-九(2)>-1--2-

加

九(2)-九⑴>-

累加得:九(„)一h(1)>一击(1一马一.

1315

即h(n)>15+12(n-i)>6'

综上所述，1<ln(n!)—(n+^)ln(n)+n<1.

【知识点】利用导数研究函数最大(小)值；利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【分析】(1)对y=f(x)求导，此时函数/(x)在x=2切线斜率，即为在该点处的导数；

(2)为证明/(%)>1,整理式子结构即证g(x)=(%+2)ln(x+1)-2%>0,结合求导对g(x)单调性进行

分析得出答案；

(3)构造九(71)=ln(n!)-(n+1)ln(n)+n,由阶乘(n!)与对数运算联想构造九(n+1)作差去阶乘符号得

出九(n+1)-/i(n)=-(n+1)ln(^+1)+1,将函数单调性问题转化成g(t)=-+1)ln(t+1)+1的

正负性问题，求导分析得证h(n)单调递减，易得出此时上限以n)<1;为证明其下限可结合(2)中结论对

对数部分进行不等式放缩，逆构造和。)=&-+刈皿％得出】n黑〉一获黑y进而由

h.(n+1)-进行再裂项结合累加求和得证/i(7i)下限；

16.【答案】(1)当a=—1时，/(x)=(l-ljln(l+x),

11—Y

••・f'(x)=—记ln(l+x)+^?

:.k—尸(1)=—ln2,且/(I)=0,

/(%)在(1，/(久))处的切线方程为y=-(ln2)x+ln2,

BP(ln2)x+y—ln2=0

(2)由/(%)=(.+a)ln(l+l),

=/©)=Q+a)ln©+1)=(x+a)ln(手)

由M+1>0,

.,.g(x)的定义域为(-8,-l)u(0,+8),

若存在y=/(1)关于直线4=b对称，

则定义域也对称，即b==

且尤)=g(-4+%)'即g(一1一%)=g(%)，

由g(x)得g(-l_久)=(-1-X+a)ln+1)=(-1-x+a)ln(熹)=(1+x—a)ln(?)

若g(-l-x)=g(x),即(1+x—a)ln(与»=(x+a)ln(与］，

.".1+x—a=x+a,解得a=*

综上所述，当a",b=—去时，曲线y=f$关于直线x=b对称.

(3)由/(%)=(；+a)ln(l+x),

111

・•・/'(%)=一71n(l+%)+(-+Q)

・・・/(x)在(0,+8)存在极值，

11

・"'(X)=一支皿1+%)+(捻+。)叭1+%)在(0,+8)存在变号零点，

111

当((%)=0/朗—『ln(l+%)+(-+。)不五=0，整理得—(1+x)ln(l+%)+%+ax2=0

令g(%)=—(1+x)ln(l+%)+、+ax2

则g'(x)=-ln(l+x)+2ax,g"(x)=一+2a

V%G(0,+oo),同时注意到g'(0)=0

，击e((L1)

①若aWO,则g〃(x)<0,此时g'O)在(0,+8)上单调递减，结合“(0)=0,

.•.g(x)在(0,+8)上单调递减，故此时不存在变号零点；

②若a>0,

i)a>J,易得g〃Q)>0，此时g'(x)在(0,+8)上单调递增，结合“(0)=0,

.•.g(x)在(0,+8)上单调递增，故此时不存在变号零点；

ii)0<a<^,令g"(x)=0,即—+2a=0,则％=-1+/，

此时“(%)在(0,-1+4)上单调递减，在(一1+/，+8)上单调递减，

结合/(0)=0,故“(一1+上)<0成立

(或g'(-1+2^)=—2a+1+In2a

令h(a)=-2a+1+ln2a,其中0<a<—1<—2a<0

则九'(a)=-2+-=~-1>0

、)aa

在0<a<上单调递增，九(a)max<八弓)=In2a<0>

故g'(T+/)<o)

.,.若g(x)在(0,+8)上存在变号零点，

由零点存在性定理，需证存在殉6(0,+8),有"。0)=0；

即2a%o-ln(l+x0)=。在%oe(0,+8)且o<a<；时恒成立，

故。=嗯汕

Zxo

令m(%)=ln(l+%)—%,%>0,

・・・M(x)=^-<0,

故m(%)在(0,+8)上单调递增，且TH(O)=0,

/.ln(l+x)—x>0,即ln(l+x)>x,

0<ln(l+%0)<x=1

2x0<2XQ2'

故存在％o使得2a%-ln(l+x0)=0在%o£(°，+8)且0<av4时恒成立，

综上，当Ova4在(0,+8)上存在变号零点，即f(x)在(0,+8)存在极值.

【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【分析】(1)根据导数可求得某点出切线斜率，代入点斜式直线方程得出答案；

(2)由对称函数定义域对称得出对称轴，根据对称函数关系建立等式得出a值；

(3)将存在极值转化为导函数存在变号零点问题，进一步构造函数，由导数正负结合参数a分类分析及零

点存在性原理检验变号零点的存在.

17.【答案】(1)当a=—1时，/(x)=Q-l)ln(l+x),

•••/'(久)=-妥皿1+尤)+信，

・•.k=/'⑴=—ln2,且/(I)=0,

/(X)在(1，f(X))处的切线方程为y=-(ln2)x+ln2.

(2)v/(%)=©+a)Zn(l+x).

•••函数/(%)的定义域为(―1,0)U(0,+oo),

又•••/(%)在(0,+8)单调递增，

•••/'(%)>0在久e(0,+8)恒成立

又/'(%)=—£皿1+久)+京崭，

•一妥皿1+x)+>°,

即一(1+x)ln(l+x)+(1+ax)x>0在％G(0,+8)恒成立，

令9(%)=T1+x)In(l+%)+(1+ax)x,

则“(%)-2ax-ln(l+x),g〃(x)=2a-

•••g(0)=0且g'(0)=。要使g(x)>0在％6(0，+8)恒成立，

设b>0且b趋于0,则g(%)在％6(0,b)单调递增，

・,,“(%)>0,%e(0,b),又g'(0)=0,则g'(x)在Xe(0,b)单调递增

；.g"⑼20,解得aJ

检验当a>，时，g"(x)=2a—-g”(。)20,

即此时g'(x)在(0,+8)单调递增，且"(x)>g<0)=0,

•'•g'M>g'(o)=o

则g(x)在(0,+8)单调递增，且g(x)2g(0)=0,

即—(1+x)ln(l+%)+(1+ax)x>0在xG(0,+8)恒成立，

•••综上所述，实数a的取值范围是a>1

【知识点】导数的四则运算；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【分析】(1)先求/(I),再求斜率k=/'(l),利用点斜式得出切线方程；

(2)将问题转化为r(x)>。在％e(0,+8)恒成立，整理重新构造函数逐步求导分析恒成立问题。

18.【答案】(1)根据题意，可设(a.T，f(am_D)过其曲线y=/(x)切线交y轴于(0,am),

由/(%)=lnx(x>0),

则尸(%)4

则过(am-1，/(am-1))的斜率k=/(%n_i)=#7，

um-l

11

.,.此时切线方程为y-/(am-1)=-----(“一am-i),即y=7^------X+lna_i-1.

um-lum-lm

令x=0,即由=lna7n_i-1,证毕；

a

(2)由(1)得Qm=Ina7n.1-1,故。山-(。小一1—2)=lna7n—m-l+1

令t=Qm-i，g«)=Int-t+l(t>0)

则

在(0,+8)上单调递减，

令g'(t)=0,贝()t=1.

故g(t)在(0,1］上单调递增，在(1,+8)单调递减，

即g(t)max=9(1)=Ini-1+1=0,

，g(t)<0,即Int—t+1<0,

,•ani-(ajn—i-2)<0,即a；n-i2.

(3)由(1)易得a2=Inai—1,a3=lna2—1,..ak=—1,

①假设kN2存在a2,a?…耿依次成等差数列，设公差为&

.'.d=a3-a2=a4-a3=...=ak-ak_i，

:.d-(lna2—1)—(Inaj-1)=(lna3—1)—(lna2—1)=...=(lnan_x-1)—(lnan_2-1)=Ind,

由d=lnd,由(2)可知d—1>Ind,

.,.d>Ind,即d=Ind方程无实数解；

.•.当kN2时，a2,a3“"k依次成等差数列不成立;

②当即,a2,成等差数列，即2a2=的+。3,

=Inai—1,%二lna2—1

.•・01='+1,

...2。2=。散+1+lna2-1，即e2+i+lna2-2a2—1=0

令。2—n，h(ri)=en+1+Inn-2n—1

则〃(九)=en+1+，-2

,：a2>0,即n>0,.-.en+i+l-2>e-2>0，

在(0,+8)上单调递增，

XV/i(l)=e2-3>0,h(e-10)=ee-1°+1+Ine-10-2xe-10-1<e2-11<0,

.•.h(n)在(e-i。，1)上必存在一个零点使得/i(n)=0,

二方程©。2+1+lna2-2a2-1=0有唯一解，

即存在k=3时，4,a2,a?成等差数列.

综上所述，存在k=3时，4,a2,成等差数列.

【知识点】利用导数研究函数的极值；数列的递推公式

【解析】【分析】(1)根据题意，可得到切线方程与y轴交点与切点的前后关系，故可设

(am-1，结合题意按一般求导法求切线方程易证得%=IntZm-i-1；

(2)由(1)结合作差法易，令士=am-1且构造函数g(t)=Int-t+l(t>0),求导得出函数极值从而得出二

者大小关系；

(3)假设对任意的k满足a?，依次成等差数列，将式子变形整理易得d=Ind,结合(2)可知该方

程无解，故此时假设不成立；另假设特殊情形内,a2,成等差数列进而消元转化成只含的方程

ea2+i+lna2-2a2-l=0,转化成函数与x轴交点问题，求导进行单调性分析即得答案.

19.【答案】(1)当a=0时，此时/(%)=土？空,

的定义域为4丰0,

%2—x-Fc—%2+x—c

'/(r)==,

—x----------X

若此时f(x)为奇函数,则fO)+/(-%)=§=2*0,

即/(%)*-/(-X),故不存在实数c使得/(%)为奇函数.

(2)由函数/(%)的图像过点(1,3)，,3=1+(；*0+c,解得c=l,

令f(%)=0,则"+(3a+l)x+l=0)则％2+(3a+l)x+1=0(x丰-a)

%+Q

•••/(x)的图像与X轴负半轴有两个交点

，方程久2+(3a+l)x+1=0在X轴负半轴有两个解.

(A=(3a+1猿—4>0

sxj+x2=—3a—1<0>解得a>可

(打•=1>0

又此时a2-(3a+l)a+l力0,解得aA；,a二一1

综上所述：a的取值范围为偿，+oo)

【知识点】奇函数；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】(1)由奇函数定义先得出定义域，计算是否为0即可判断；

(2)有函数交点分析转化成方程根的分析问题，即分析分子二次函数部分的根分布情况及考虑分母不为0

情况即得答案.

20.【答案】(1)令g(%)=x-sin%,x€(0,1),则g'Q)=1-cos%>0在％E(0,1)恒成立,

・•・g(x)=x-sinx在X€(0,1)单调递增，・•・g(x)>g(0)=0,

・•・%e(0,1)有%>sinx

令无(％)=sin%+%2—%,%6(0,1),则九'(％)=2x+cosx—1

则h〃(%)=2—sinx>0,

九”(%)=2-sinx>0,

.・・/1'(%)在］€(0,1)单调递增，

r

hMmin>"(0)>0

・•・八(%)在欠e(o,1)单调递增，

hMmin>九(0)=0

:.h(x)>0,

:.x6(0/1)有sinx>x—x2,

综上：当工€(0,1)时，x-x2<sinx<x.

(2)由函数/(%)=cosa%—ln(l—可知定义域—lvxvl

・・・1=0是〃»的极大值点,且尸(0)=0

・•・/'(%)必然在某个范围％6(m,n)-l<m<0<n<1内单调递减,

即有/〃(0)<0

有f(%)=cosax-ln(l—x2),

22

2Y，〃,、22(1-X)+4X

：•r(x)=—asinaxH-------fW=~acosaxH-----------------工—

1一力(1-x2)

代入/'(%)=—asinax4-,以显然((0)=0

f"(0)=—Q2+2<0,解得a6(—co,—V2)U+8),

'•QG(—8,—V2)U^V2/+8).

【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件

【解析】【分析】(1)构建新函数g(%)=%-sin%,九(%)=sinx+/一％求导进行分析单调性与极值，进

而作差比较不等式恒成立问题；

(2)由题意可转化为x=0是/'(%)的变号零点，且由函数在-IV%VI连续，故总存在某个区间使得

/'(%)单调递减，即/〃(0)<0,同时满足上述条件即得答案.

21.【答案】(1)当a=0时，此时f(x)=-X单调递减;

当a<0时，f(x)=a(ex+a)—x=aex—x+a2,此时y=aex(a<0)与y=—x均单调递减，所以

/(x)单调递减；

当a>0时，/'(X)=aex—1,令/'(x)=0则久=In，，

...当8,]n：)时，/'(X)<0,/(%)单调递减；

当+8)时，[(x)>0,/(%)单调递增。

综上所述：当a《0时，/(%)单调递减；

当a>0时，，当xe(-8,ln1),/(x)单调递减；当xe(ln:,+8),/(%)单调递增。

(2)要证当a〉0时，f(%)>21na+,，只需证/(外力讥>21na+,，

由(1)知/(x)mjn=/(ln\)=1+a?+]na,即证1+a2+Ina>21na+,，

=当。>0时，a2-Ina-;>0恒成立，

令g(a)=a2_]nn—则只需证g(a)m讥>0，

g'(a)=2a—：,易知g'(a)单调递增，且，席=。,

所以当ae(0,时，g'(a)<0,此时g(a)单调递减；

当+8)时，gr(a)>0,此时g(a)单调递增。

所以=1+ln2-1=ln2>0.

\)min

综上所述，当a>0时，/(x)>21na+|

【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件

【解析】【分析】(1)根据题意，分类讨论a的常规正负三种分类情形，结合基本函数单调性与求导分析

即得答案。

(2)将条件转化为恒成立问题，求导分析函数单调性得出极值。

22.【答案】⑴设P(x,y),由题意可得刖=/+化简得y=/+/

所以动点P的轨迹方程W为y=%2+/

（2）将在W上的三点记为A,B,C,设4（x;y）'2），C（%3,为）且％1H不。％3,

=0,

-'-BABC=(xt-%2^丫1-©(右一%2,y3-y2)

222

，(X1-X2)(%3-%2)+(、1-，2)°3-y-2)=(勺一初)(％3-%2)+(%/-X2\x3-X2)=。，

又欠1H%2。尤3，**•(%1+%2)(%3+%2)=—1，

2222

矩形ABCD周长C=2|B*+2|BC|=(xr-x2)+(yr-y2~)+yj(x3-