2023-2024学年北京市高二年级下册期中练习数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年北京市高二下学期期中练习数学模拟试题

一、单选题

1.在等差数列｛4｝中，a4+a5+a6=3OQ,则4+,的值为()

A.50B.100C.150D.200

【正确答案】D

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】因为数列｛4｝为等差数列，所以4+%=2%，

又因为%+%+4=30°,所以4+%=200,

故选：D.

2./(n)=l+3+32+33++3"∣(〃eN*)可以化简为()

c3"JD3"+3_]

'-2-'2

【正确答案】C

【分析】根据等比数列求和公式计算可得.

【详解】/6)=1+3+32+3'++3-=Ml∑Γ!)=ri∑ι.

故选：C

3.已知随机变量XN(2,4),P(X≤4)=0.8,那么P(2≤X≤4)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.8

【正确答案】B

【分析】根据正态分布的性质计算可得.

【详解】因为XNw所以P(X≤2)=0.5,又P(X≤4)=0.8,

所以P(2≤X≤4)=P(X≤4)-P(X≤2)=0.8-0.5=0.3.

故选：B

4.已知O<α<g,随机变量J的分布列如下，当。增大时()

-101

12

Pa——a

33

A.E管)增大，OR)增大B.E(3减小，。q)增大

C.Et)增大，D(J)减小D.Eq)减小，D(J)减小

【正确答案】B

利用数学期望和方差公式得出关于〃的函数，根据函数单调性判断Ec)和。C)的变化情况.

2

【详解】解：Ee)=

.∙.当。增大时，EC)减小，

5211272

D{ξ)=(---+α)2α+(α--)2(--«)+(-+a)2.-=-a2+-«+-,

3333339

D(G在(θɪ)上随a的增大而增大，

故选：B.

熟记期望和方差的公式，并能进行准确的运算，是求解的关键.

2

5.已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为∣∙,在A题答对的情况下,

O

B题也答对的概率为1,则A题答对的概率为

A.-B.-C.-D.-

4429

【正确答案】B

【分析】根据条件概率公式计算即可.

【详解】设事件A：答对A题，事件B：答对B题,

2

则P(AB)=P(A)∙P(3)=g,

•/(A)=1

故选：B.

本题考查了条件概率的计算，属于基础题.

6.在用数学归纳法证明(〃+1)(〃+2)(n+n)=2,,∙l∙3∙5(2"-D("eN')的过程中，从"％至IJA+1”

左边需增乘的代数式为()

A.2k+2B.(2k+l)(2Z+2)

C.丝吆D.2(2⅛+l)

【正确答案】D

【分析】根据题意，分别得到〃和〃=左+1时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果.

【详解】当"=%时,左边4=(∕+l)(2+2)(⅛+⅛)=(⅛+l)(⅛+2)(2k),

当〃=%+I时，左边，=(1+2)化+3)(⅛+l+⅛+l)=(⅛+2)(⅛+3)(2⅛+2),

B=(&+2)(A+3)(2Z)(2Z+l)3+2)=(2A+l)(2Z+2)=+

'A~(fc+l)(⅛+2)(2k)k+l'

故选：D.

7.设函数∕0)在R上可导，其导函数为f(χ),已知函数y=(i-χ)∕'(χ)的图象如图所示，有下列结

①“χ)有极大值了(-2)

②/(χ)在区间(1,E)上是增函数

③“X)的减区间是(-2,«®)；

④F(X)有极小值41).

则其中正确结论的个数是()

A.O个B.1个C.2个D.3个

【正确答案】C

【分析】根据1-x,y=(I-X)F(X)的正负求出/(X)的正负，可得函数的单调性及极值，判断选项.

【详解】当χ<-2时，由y=(I-X)-(X)的图象可知y>0,所以/'(χ)>0,

当-24<l时,由y=d—x)r。)的图象可知y<o,所以尸(χ)<0,

当x>l时,由y=(lr)∕'(χ)的图象可知y>0,所以f'(χ)<0,

即函数/(X)在(-8,-2)上递增，在(-2,+∞)上单调递减，

所以“x)有极大值〃-2).

故①③正确，②④错误.

故选：C

8.函数/(x)=V∙e-，的单调递增区间是()

A.(—2,0)B.(―∞,—2),(0,+∞)

C.(0,2)D.SOM2,E)

【正确答案】C

【分析】求得函数的导数尸(X)=川Fɪ,令/qχ)＞0,即可求解函数的递增区间.

【详解】由题意，函数"χ)=χ2∙e-*=m,可得f(X)=二Wr)

eC

令/«X)＞。，即x(x-2)＜0,解得OCX＜2,

所以函数y=f∙e'的递增区间是(0,2).

故选：C.

9.已知｛%｝是等比数列，贝『'4＜。2＜4”是”｛4,｝是增数歹『’的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】根据递增数列的定义并结合对项取值，可得结果

【详解】由数列｛4〃｝是等比数列，可假设q=-2,g=-2,

则q=-2,a2=4,%=-8,a1,=16,

可知q＜生＜α4,但数列｛q｝不是递增数列，

若数列｛/｝是递增等比数列，由定义可知，al＜a2＜ai,故

“4＜弓＜4”是“｛〃“｝是递增数列''的必要不充分条件

故选：B

10.设函数/(x)定义域为Q,若函数/(x)满足：对任意CeD,存在e＞使得&二警=/(c)

a-b

成立，则称函数/(χ)满足性质「下列函数不满足性质r的是()

A.f(x)=X2B./O)=/C.f(x)=exD./(x)=lnx

【正确答案】B

构造函数g(x)=∕(x)-∕'(C)x,可得g"(x)=∕"(x),则/"(x)在定义域内正负号不变时满足性质「，

若/"(X)有唯一变号零点⅞时不满足性质Γ,则通过计算Γ(x)即可判断.

【详解】可化为/(α)-∕,(c)α=∕(⅛)-Γ(φ,

令g(χ)=/(X)-√'(c)χ,

则g'(x)=∕'(x)-∕'(c),g"(x)=∕(x),

••・若/(X)在定义域内正负号不变，那么X=C是g'(x)的变号零点，则g(x)在X=C的两侧的单调性

不一致，因此满足性质「；

若/"(X)有唯一变号零点％,那么取C=X。，则g'(x)在定义域内的正负号不变，进而函数g(x)在定

义域内单调，因此不满足性质「

对于A,r(x)=2x,则Ir(X)=2>0,所以满足性质「；

对于B,r(x)=3χ2,则rr(x)=6x有唯一变号零点0,所以不满足性质「；

对于C,f∖x)=ex,则尸(X)=d>0,所以满足性质「；

对于D,∙f(x)=J,则/(x)=-±<0,所以满足性质「

故选：B.

本题考查利用导数解决新定义问题，属于较难题.

二、填空题

11.某质检员检验一件产品时，把正品误判为次品的概率是0.1,把次品误判为正品的概率是0.05.如

果一箱产品中含有8件正品，2件次品，现从中任取1件让该质检员检验，那么出现误判的概率为

【正确答案】0.09

Q

【详解】取得正品的概率为A=O.8,则取得正品且误判的概率为0.1x0.8=0.08；

2

取得次品的概率为5=0.2,则取得次品且误判的概率为0.05x0.2=0.01,

故出现误判的概率是0.08+0.01=0.09.

12.若数列｛4｝满足4=l,%M=",,+“+l("eN)则通项公式为可=.

【正确答案】奥P

【分析】根据题意，利用累加法即可求解.

【详解】因为4+ι=《,+”+"eN"),

r

所以当"≥2时，cιn=(an-an_1)÷(an_t-an_2)++(d3-)+(a2-Λ1)+α1

=At÷(n-1)+÷3+2+l

2

.1x2.,在J.b~n(n+i)

当”=1时，4=一厂=1,满足4=1,所以％=---

故答案为•四詈

7

13.若数列｛4｝的前n项和为5“=j¾+l,则｛%｝的通项公式是4=

【正确答案】3∙(-2),,^l

【分析】利用仙与Sjt的关系即得.

【详解】因为S〃=(〃+1,

2

所以4=Sl=-a,+1,4=3,

2222

当〃≥2时，an=Sn-Sl,.l=-an+∖-(-an_{+∖)=-an--an,x,

所以4=-2%τ,

.∙.｛qj是以3为首项，-2为公比的等比数列,

所以4=3∙(-2严.

故q,=3∙(-2)"τ.

14.点P在函数)，=e，的图像上，点Q在函数y=l∏x的图像上，则IPQl的最小值为.

【正确答案】√2

【分析】由解析式可分析两函数互为反函数，则图象关于V=X对称，则点P到)'=x的距离的最小

值的二倍即为所求，利用导函数即可求得最值.

【详解】因为y=e*与y=lnx互为反函数，两函数图象关于V=x对称，

设点P为(x,e'),则到直线N=%的距离为d=。区,

⅛Λ(x)=ev-x,则“(x)=e"-l,令"(x)=0,即X=0,

所以当x∈(e,0)时“(x)<。，即MX)单调递减,

当x∈(0,+∞)时力'(x)>0,即MX)单调递增，

所以MXL=Mo)=1，wιj⅛"=⅛=τ,

所以IPQl的最小值为2dmin=TL

故3

三、双空题

15.设｛α,,｝是集合｛2'+2'∣0≤s</且s∕eZ｝中所有的从小到大排成的数列，即

ɑɪ=3,a,=5,a3=6,α4=9,a5=10,α6=12,.......将数列｛α,,｝各项按照上小下大，左小右大的原则写成

(1)则这个三角形数表的第四行的数分别为.

(2)«100=---------------------------

【正确答案】17,18,20,

【分析】根据题意找出规律即可求解.

【详解】根据数列｛4｝中的项与集合中的元素的关系,

数列的第一项对应S=Oj=I,

数列的第二项对应S=OJ=2,

数列第三项对应s=U=2,

数列第四项对应S=OJ=3,

数列第五项对应s=l,r=3,

数列第六项对应s=21=3,

由此可得规律，数表中的第〃行对应，=〃，s=0,1,2,3,,(n-l).

用记号GJ)表示SJ的取值，那么数列｛%｝中的项对应的(£/)也构成一个三角表：

(0.1)

(0s2XL2)

(03)(L3×253)

因此第四行的数是20+2'=17;2I+24=18;22+24=20;23+24=24;

由1+2+3++13=13x(；3+l)=9i,知ακw在第十四行中的第9个数，

lt

所以q00=2+2∣4=16640,

故17,18,20,24；16640.

四、解答题

16.S“为等差数列｛4｝的前"项和，且％=1,公差不为零，若5,S2,S4,S“成等比数列，求:

(1)数列｛q｝的通项公式及实数用的值；

,

⑵若数列也｝满足d∙aJan+l=l(rt∈N),求数歹!|也｝的前〃项和Tn；

2

(3)若数列｛q,｝满足c∣+C?+C'++ς,=今(〃€N*),求j+ς,+C5++。2“-1的和.

【正确答案】(1)4=2〃-1,加=8

,I

(3)2n^-2n+-

【分析】(1)根据题意，由等比中项的性质即可得到等差数列｛4｝的公差d,从而得到其通项公式,

再列出方程即可得到〃?；

(2)根据题意，由裂项相消法即可得到结果；

(3)根据题意，由数列｛%｝与其前八项和的关系即可得到其通项公式，然后结合等差数列的前“项

和公式即可得到结果.

【详解】Q)因为q=S,=l,成等比数列，设等差数列｛α,,｝公差为d,

则用=££,即(q+%y="(4q+春dj,化简可得d(d-2)=0,

因为d≠O,即d=2,所以4,=l+("-l)x2=2"-l,

因为S「S?,邑,Sm成等比数列，所以R•因=S2-S4,

则"]+矶4∣)d=(2%+d)(4q+^^4),求得m=8.

⑵因为““s=i,所以2=l=w∑岛石TUɪ-*)'

所以4=4+4+4++2

If__1L〃

5112n+lJ2π+l

cl2,

(3)因为q+j+q+^~n=^==n~^÷~

设数列｛q｝的前〃项和为H11，即乩="_〃+；,

2

当,≥2时，Hn_｝=(∏-1)-(π-l)+^-,

]「71

所以％=H〃—“I=〃2_〃+^_(H-1∕-(Π-1)+-=2H-2,

当〃=1时，CI=Hl=：,不满足上式，

1

_—1ɪ

所以C,,="4,,

2n-2,π≥2

则C3,%g,•勺,1是以4为首项，以4为公差的等差数列,

所以c∣+G+C5++c2n.l

=L(6-2)+(10-2)++(4n-4)

1(∕ι-l)(4+4π-4)-2cɪ

=-+ʌ------------L=2∏--2n+-

424

17.某地区教委要对高三期中数学练习进行调研，考查试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两

空，第一空答对得3分，答错或不答得0分：第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与

否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取IOOo份试卷，其中该题的得分组成容量

为1000的样本，统计结果如下表：

第一空得分情况

得分03

人数200800

第二空得分情况

得分02

人数700300

(1)这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频

率作为该同学相应的各种得分情况的概率，试求该同学这道题的得分X的分布列与数学期望；

(2)从该地区高三学生中，随机抽取2位同学，以样本中各种得分情况的频率作为概率，求这2人中

恰好有一个同学得满分的概率.

【正确答案】(1)分布列见详解，数学期望为3：

(2)0.3648.

【分析】(1)根据表中得分情况先算出频数估计概率，分析得出该生这道题的得分X的取值可以为:

0,2,3,5,分别求出概率列出分布列，求出数学期望即可；

(2)先找出学生得满分的概率和得不到满分的概率，再求解2人中恰好有一个同学得满分的概率.

【详解】(1)由表格数据分析知学生得0分的频率为0∙2x0∙7=0.14,

得2分的频率为：0.2×0.3=0.06,得3分的频率为:0.8×0.7=0.56,

得5分的频率为:0.8×0.3=0.24

由题意分析得X的取值可以为：023,5,

则P(X=O)=O.14,P(X=2)=0.06,P(X=3)=0.56,P(X=5)=0.24.

故X的分布列为：

X0235

P0.140.060.560.24

所以X的数学期望为：0×0.14+2×0.06+3×0.56+5×0.24=3

(2)由题意知某位学生要得满分的概率为：0.8x0.3=0.24,

得不到满分的概率为：1-0.24=0.76,

所以随机抽取2位同学，这2人中恰好有一个同学得满分的概率为:

CjX0.24×0.76=0.3648.

18.某超市销售5种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格(元/管)和市场份额(指

该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重)如下：

牙膏品牌ABCDE

销售价格152552035

市场份额15%10%25%20%30%

(1)从这5种不同品牌的牙膏中随机抽取1管，估计其销售价格低于25元的概率；

(2)依市场份额进行分层抽样，随机抽取20管牙膏进行质检，其中A和B共抽取了〃管.

①求”的值；

②从这"管牙膏中随机抽取3管进行氟含量检测.记X为抽到品牌B的牙膏数量，求X的分布列和

数学期望.

(3)品牌F的牙膏下月进入该超市销售，定价25元/管，并占有一定市场份额.原有5个品牌的牙

膏销售价格不变，所占市场份额之比不变.设本月牙膏的平均销售价为每管从元，下月牙膏的平均

销售价为每管必元，比较外，出的大小.(只需写出结论)

【正确答案】⑴0.6；(2)①〃=5；②分布列见解析；期望为:；(3)A<A2.

【分析】(1)求出销售价格低于25元的频率，用频率来衡量概率；

(2)①利用分层抽样的定义求解即可，②随机变量X的可能取值为0」,2,然后求出各自对应的概

率，即可列出分布列，求出期望；

(3)求出平均值比较即可

【详解】解：(1)记”从该超市销售的牙膏中随机抽取1管，其销售价格低于25元”为事件K.

由题设，P(K)=O.15+0.25+0.2=0.6.

(2)①由题设，品牌A的牙膏抽取了20χl5%=3管，

品牌B的牙膏抽取了20x10%=2管，

所以〃=3+2=5.

(ii)随机变量X的可能取值为0J2.

C;C'3

P(X=I)=eɪ=-

C；5

12

P(X=2)=CC*=±3

Gɪo

所以X的分布列为:

X012

133

P

W5Io

X的数学期望为E(X)=OX∖+lx∣+2xW∙

⑶〃心〃2.

(理由：jul=15×15%+25×10%+5×25%+20×20%+35×30%=20.5,设品牌F的市场占有额为加，

A,B,C,D,E市场占有额分别为3x,2x,5x,4x,6X,则

_15X3X+25X2X+5X5X+20X4X+35X6X+25∕%

“220x÷∕π

15×3x+25×2x+5×5x+20×4x+35×6x.ʌ.、

>------------------------------------------------------=20.5=M)

2(Ir1

19.已知函数/(x)=AX-(A+1)InX一∙

⑴当4；时，求函数“X)的增区间；

(2)若关于X的不等式/(x)Wl在区间［l,e］上恒成立，求实数Z的取值范围.(其中e=271828.)

【正确答案】⑴(0,1),(2,+∞)

(2)Λ≤1

【分析】(1)求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调递增区间;

(2)依题意可得函数”x)在区间［Le］上的最大值小于等于1,求出函数的导函数，分k=0、k<0、

k=l、k>∖,0<左<1五种情况讨论，分别得到函数的最大值，即可求出参数的取值范围.

【详解】(因为/丘—(％+

1)(X)=l)l∏Λ-Jx∈(0,+∞),

所以/")=&-3+3kx2-(k+l)x+1

XX

当4=(时，/3#-2；(X-I),令用χ)>o,解得o<χ<ι或χ>2,

所以函数〃X)的单调递增区间为(O,1),(2,+∞).

(2)不等式“x)Wl在区间［l,e］上恒成立,

即函数/(x)在区间［he］上的最大值小于等于1,

当A=O时/(x)=Tnx-L,则尸(力=_1+二=^~7^,当ICX≤e时/'(x)<0,

XXX-X

所以“X)在［l,e］上单调递减，所以/(χ)gχ=/⑴=-1,符合题意；

当上≠0时f，(、「卜-*T)，

i(X)=?

令r(χ)=o,得再=J,χ2=1,

当％<0时则当lvx≤e时∕r(x)<0,

_/、/、［k—1≤1

所以“X)在［rl,e］上单调递减，所以/(χ)a=/⑴="1,所以，解得A<0,

［/C<U

当人>1时0<∕<l,所以当l<x≤e时/«x)>o,

所以〃x)在［Le］上单调递增，所以"x)n,aχ="e)=Ae-%-lT,

⅛e-⅛-1——≤1

所以e,不等式组无解，不符合题意；

k>l

当％=1时：=1,所以当l<x4e时用x)>O,

所以〃x)在［l,e］上单调递增，所以〃x)πm=∕(e)=e-l-l-l<l,

符合题意，

当OCZ<1时，则，>1,

k

当∕≥e时，/'(x)≤0对xe［l,e］成立，函数f(x)在区间［l,e］上单调递减，

所以函数f(x)在区间［l,e］上的最大值为"l)=k-l<l,

所以不等式/(x)Wl在区间［l,e］上恒成立，

当;<e时，∕,(x),/U)随X的变化情况如下表：

K

ɪ

X7±L

尸⑴—0+

fω单调递减极小值单调递增

所以函数/(X)在区间［he］上的最大值为/⑴或/(e)，

此时/⑴=kT<l,/(e)=te-(⅛+l)-l,

e

所以7(e)-l=ke-("+l)-J-l=Z(e-l)-2-J<(e-l)-2-—=e-3-ɪ<0.

eeee

所以当O<Z<1时，不等式“X)Wl在区间［l,e］上恒成立.

综上可得A≤1.

20.已知函数/(X)=2》+与，直线/：y=kx-∖.

x^

(I)求函数f(χ)的极值；

(H)求证：对于任意ZeR,直线/都不是曲线y=/(x)的切线；

(III)试确定曲线y=∕(χ)与直线/的交点个数，并说明理由.

【正确答案】(I)极小值AI)=3,无极大值；(II)见解析；(HI)当k=2时，曲线y=f(χ)与直

线/没有交点，而当女工2时，曲线y=∕(*)与直线/有且仅有一个交点.

【详解】试题分析：(1)先求出函数/(χ)定义域再求导，得令/'W=0,解得X的值，画出当X变

化时，尸(X)=O与/(χ)的变化情况表所示，可得函数y=∕(χ)的单调区间，从而得到函数y=∕(χ)

有极小值f⑴=3,无极大值

(H)对于是否存在问题，先假设存在某个ZeR,使得直线/与曲线y=∕(χ)相切，先设出切点，

再求小X)，

求得切线满足斜率，又由于过点A,可得方程显然无解，所以假设不成立.所以对于任意keR,

直线/都不是曲线y=F(X)的切线.

(III)写出“曲线y=f(χ)与直线/的交点个数”等价于"方程I-L-H-1的根的个数

X*

由分离系数法得％=」?+,+2,令，=1,得上=r+1+2,其中^£«,且1工0.考察函数/2。)=尸+『+2,

XXX

其中f∈R,求导得到函数的单调性，从而得到方程根的情况，命题得证

试题解析：函数/(x)定义域为{χ∣χ≠0},

2

求导，得f'(x)=2-F,

令T(X)=0,解得X=1.

当X变化时，/U)与/U)的变化情况如下表所示:

XSO)(OJ)1a田)

-

/'(X)+—~6+

Jr(X)ZZ

所以函数y=∕(χ)的单调增区间为(-8,0),(i,+∞),单调减区间为(0,1),

所以函数y=∕(χ)有极小值F(I)=3,无极大值.

(H)证明：假设存在某个左∈R,使得直线/与曲线y=∕(χ)相切，

12

设切点为A(XO,2x0+1),又因为r(χ)=2-f,

⅞ɪ

212

所以切线满足斜率％=2—r,且过点A,所以2Λ0+F=(2--r)x0-l,

⅞⅜⅜

3

即F=T,此方程显然无解，所以假设不成立.

⅞

所以对于任意ZwR,直线/都不是曲线y=∕(χ)的切线.

(III)解：“曲线y=/(χ)与直线/的交点个数”等价于“方程r-L■6-1的根的个数

由方程2XH—∑-=Ax-1,得攵=FH----F2.

X~XX

令f=L,则左=∕+r+2,其中fwR,且r*0.考察函数/j(f)=∕+f+2,其中feR,

X

因为"(f)=3产+l>0时，所以函数/7。)在R单调递增，且〃(r)∈R.

而方程k=∕+f+2中，t≡R,且fwθ.

所以当氏=/7(0)=2时，方程上=∕+f+2无根；当左X2时:方程无=∕+f+2有且仅有一根，

故当Z=2时，曲线y=∕(χ)与直线/没有交点，而当k≠2时，曲线y=/(X)与直线/有且仅有一个

交点.

导数的单调性与导数及导数的几何意义.

21.给定项数为MmeN”,m≥3)的数列｛q｝,其中a；e｛θ,l｝(i=l,2,,祖).若存在一个正整数

k(2≤k<m-∖),若数列｛4,｝中存在连续的A项和该数列中另一个连续的上项恰好按次序对应相等，

则称数列加“｝是“k阶可重复数列“，例如数列｛4,｝：0,1,1,0,1,1,0.因为4，%,〃3，%与4，“5，牝，%按次序

对应相等，所以数列｛4｝是“4阶可重复数列”.

⑴分别判断下列数列

①也｝:0,0,0,LLO,0,1,1,0.

②｛q,｝:1,1,1,1,1,0,1,1,1,1.

是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；

(2)若项数为加的数列｛%｝一定是“3阶可重复数列“，则”的最小值是多少？说明理由；

(3)假设数列｛〃“｝不是“5阶可重复数列“，若在其最后一项金后再添加一项0或1,均可使新数列是“5

阶可重复数列"，且4=1,求数列｛4｝的最后一项%的值.

【正确答案】(1)①是，重复五项为0,0,1,1,0；②不是

(2)1