青海省重点高二年级上册12月期中考试数学试题（解析版）

一、单选题

1.已知点4-3,1,-4）,点Z关于x轴的对称点的坐标为（）

A.(-3,-1,-4)B.(-3,-1,4)C.(3,1,4)D.(3,-1,-4)

【答案】B

【分析】根据空间点关于直线对称的知识确定正确选项.

【详解】空间点关于x轴对称，横坐标不变，另外两个坐标相反，

所以A关于x轴的对称点为（-3,-1,4）.

故选：B

2.直线*+1=0的倾斜角为（）

371cTC+―4

A.-7tB.-C.-D.不存在

442

【答案】C

【分析】根据倾斜角的定义可得结果

【详解】因为直线x+l=O即直线x=-l垂直于X轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为

故选:C.

3.已知圆的一般方程为r+y2+4x-2y-4=0,其圆心坐标是（）

A.(1,2)B.(—1,2)C.(一2,1)D.(一1,一2)

【答案】C

【分析】根据圆的方程即得.

（DE

【详解】因为圆/+/+瓜+£>+尸=0的圆心为［一•—,-y

则圆/+y2+4x-2y-4=0的圆心坐标是（一2,1）.

故选：C.

4.正三棱柱4如图所示，以四边形5CC圈的前面为正前方画出的三视图正确的是

主视图左视图主视图左视图主视图左视图

俯视图俯视图俯视图

A.B.C.

主视图左视图

俯视图

D.

【答案】A

【分析】根据三视图的知识确定正确答案.

【详解】由于四边形8CG4的前面为正前方,

所以主视图为矩形，左视图为三角形,

俯视图是中间有一条横线的矩形,

所以A选项正确.

故选：A

5.已知直线x+y-l=O与2x+〃y+5=0互相平行,则它们之间的距离是()

C77270

A.3&B.y/2D.

4~2~

【答案】C

【分析】由两条直线平行的直线求参数，再利用两平行线间的距离求解即可.

【详解】因为直线x+y-l=O与2x+"y+5=0互相平行,

所以有;=2=2,

所以2x+2y-2=0与2x+2y+5=0的距为:

心3=逑

22+224

故选：C.

6.圆q：x2+/-4x=0和圆。2：公+了2-4>=0的位置关系是（）

A.外离B.相切C.内含D.相交

【答案】D

【分析】求出两个圆心距与半径和半径差的关系.

【详解】vOj:x2+y2-4x=0（x-2）2+y2=4

2222

XvO2:x+y-4y=0x+（y-2）=4

，圆的圆心。i（2,0）,半径4=2,圆。2的圆心。2（。，2）,半径与=2,・・.002=2后，，

2—2<O]O2<2+2,圆与圆Q相交.

故选：D

7.一平面截一球得到半径为行的圆面，球心到这个平面的距离为3,则该球的体积为（）

【答案】A

【分析】根据球半径，球心距与底面圆半径构成直角三角形求解.

【详解】画图为：

从图像得半径

又因为球心到这个平面的距离为3,即=3

所以球半径CM=J。。"。/=4

所以该球的体积为：yx43=^

故选：A

8.已知圆x2-4x+/—2y=5关于直线2办+了+6-3=0（°,b为大于0的数）对称，则的

ab

最小值为（）

9

1Ca2

A.2-B.-2

【答案】A

【分析】根据圆关于直线对称，可知直线经过圆心，得到b的关系式，然后结合基本不等式，即

可得到结果.

【详解】因为圆x2-4x+/-2y=5的圆心为(2,1),且圆元之—4x+/-2y=5关于直线

2ax+y+b-3=0(a,6为大于0的常数)对称，

所以直线2ax+y+6-3=0过圆心(2,1),所以4。+6=2,又a>0,b>0,

所以'+!=j』+?](4a+6).\=\(4+2+半+1]N：X(5+24)=g.(当且仅当a=6=1•时,

ab\ab)22\abJ2233

取

故选:A.

9.设直线/:y=foc+石(4>0),交圆f+/=2于/,8两点，当口0/B面积最大时，k=()

A.—B.—C.2D.1

552

【答案】C

【分析】设圆心到直线/的距离为“，利用”来表示1408的面积，然后得到当d=l时面积最大，

利用点到直线的距离公式列方程，解方程即可得到h

【详解】由题意知圆。的圆心为(0,0),r=亚,

直线/:了=a+石(女>0)经过定点(o,6)，该点在圆外，

22

设圆心到直线/的距离为d,de[o,&),则|力用=26彳，SDA0B=~\AB[d=^(2-d)d,

令小山，则fe[0,2),SDA0B=^2-t)t,当f=l,即d=l时，星,最大，

所以d=4L=l,解得上=2.

故选：c

10.已知点血-2,2),5(6,4),H(5,2),"是1148c的垂心.则点C的坐标为()

A.(6,2)B.(-2,2)C.(-4,-2)D.(6,-2)

【答案】D

【分析】先设点C的坐标，再求出直线8H,的斜率，则可求出直线ZC的斜率和直线3c的倾斜

角，联立方程组求出C的坐标；

2—7

【详解】设C点标为(x,y),直线4”斜率3〃=n=0,

•.BCVAH,而点8的横坐标为6,则x=6,

4-2

直线BH的斜率心〃=--=2,

6—5

・••直线/C斜率标=消=-：，

6+22

.-.y=-2,

•••点。的坐标为(6,-2).

故选:D.

11.如图，正三棱柱48C-44G的底面是边长为3的正三角形，侧棱44=4,一小虫从点N途

经三个侧面爬到点4,则小虫爬行的最短距离为()

C.V97D.V153

【答案】c

【分析】将三棱柱展开为一矩形，确定边长，确定小虫爬行的轨迹，即可求得答案.

【详解】三棱柱的侧面展开图为一个矩形4,如图所示，

因为正三角形ZBC的边长为3,侧棱44=4,所以/⑷=9,

所以；=y]AAa+AA^=阮=场,即小虫爬行的最短距离为历，

故选：C

12.在圆幕定理中有一个切割线定理：如图1所示，0区为圆。的切线，R为切点,。8为割线,

则|。砰=|。/|0必如图2所示，在平面直角坐标系xQy中，已知点4-1,0),点P是圆

。:1+『=4上的任意一点，过点8(1,0)作直线8T垂直/P于点T,则2归旬+3|尸7|的最小值是

()

6及872C.472D.2>/2

【答案】A

【分析】先利用)=；(存+丽)和余弦定理得到卢。|=；+|28『卜=2,可得

33

照『+|「8「=10,即可求cos4P8=阳”尸耳,进而求得归刀=网，再利用基本不等式即可得到

答案

【详解】连接P。，

在△P/8中，因为。是的中点,

所以所=|■陛+珂，平方得匹『=：(网?+附?+2网.阀COS4P8

四「+|卿-|阿代人可得俨。|=g,2口+阀2)_|何=2,

将cosZAPB=

21PH.阿

因为|”|=2,所以|P/「+|P8『=10,

3

所以c°s4取河网,

3

在Rt匚尸8T,|尸7|=|P却cos//P8=网,

9.—L

所以2|刃+3|PT|=2照|+怛/2可=6五，

当且仅当21PH=向即归/卜孚时，取等号,

故选：A

二、填空题

13.已知直线/1：x-/y+2=o,直线/2：办-(“—2”-3=0,若…,则实数。可能的取值为

【答案】0或1

【分析】根据两直线垂直关系，建立方程求解即可.

【详解】因为直线4：x-＜y+2=O,直线/2：办-5-2))，-3=0

所以当

有a+/(a-2)=Ona[l+a(a-2)]=0,

所以a=0或l+a(a-2)=a?-2a+l==0

解得"=O或1.

故答案为：0或1

14.若/为一条直线，a,人7为三个互不重合的平面，给出下面四个命题：@aly,

/〃7=a_L6；②a_Ly,。，y=a1.g③〃/a,11(3=aL0：(4)IIIa,///£na//£.其

中正确命题的序号有.

【答案】①③

【分析】依据直线与平面、平面与平面的位置关系，找出反例逐一分析，即可得出答案.

【详解】若a_L7,,则机＜=0℃/=4加1/,”?1.八又因为/?〃7,所以机＜=0,m_1力,则。_1£,

①正确.

如果a,是长方体相对的两侧面，则它们都垂直底面，但这两个平面互相平行，故a,4也可能平

行，②不正确.

U/a，则存在/'/〃/uaj，则由面面垂直的判定定理//uana，色③正确.

如果a,4是长方体相邻的两侧面，/为长方体不在这两个面内的侧棱，/〃a,〃/尸,a,4也可能相

交，④不正确.

综上，正确的命题的序号是①③.

故答案为:①③.

15.过点(2,4)作圆工2+丁=4的切线，则切线方程为.

【答案】x=2或3x-4y+10=0

【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程,

求出切线方程.

【详解】①直线的斜率不存在时x=2满足，

②直线斜率存在时，设切线方程为4=k(x-2),则"=牛"=2=左=1,

所以切线方程为y-4=：(x-2),即3x-4y+10=0.

故答案为：x=2或3x-4y+10=0.

16.已知正方体/BCD-44GA的棱长为6,E、F分别是4A、的中点，则平面CEE截正方

体所得的截面的周长为

【答案】6拒+3收

【分析】延长EF交D4的延长线于N,连接CN交于点G,连接尸G；延长尸E交。。的延长

线于点M,连接CW交CA点H,连接Ea；则正方体被平面CEF截得的截面为C//EFG.则防+

/G+GC+C//+HE为平面CE厂截正方体所得的截面的周长，根据几何关系即可求解.

【详解】延长EF交。/的延长线于N,连接CN交于点G,连接尸G：延长尸E交。4的延长

线于点M,连接CW交GA点H，连接E”；

则正方体被平面CE厂截得的截面为CHEFG.

•••E、P分别是4。、⑨的中点，则易知ZN=4E=g">,

：.AN=-ND,.-.AG^-CD=2,

33

EF=3\/2,FG=y/ti,CG=2V13；

同理，D]H=；CD=2,EH=y[Y3,CH=2713;

.••平面CM截正方体所得截面的周长为：

EF+FG+GC+CH+HE^372+713+2713+25/13+713=6>/13+372.

故答案为：6V13+3J2.

三、解答题

17.已知空间直角坐标系中有三点/(5,2,10),8(11,0,7),C(3,5,4).

(1)求三角形/8C的中线CM的长；

(2)证明三角形NBC是等腰直角三角形.

【答案】(1)亭

(2)证明见解析

【分析】(1)求出的中点M的坐标，由两点间的距离公式可得答案;

(2)求出卜回，|/C|,忸C|,再由勾股定理可得答案.

【详解】(1)由题意可知的中点为(等，岑，等即"为(8

则3|=J(8-3)2+(5-l)2+(L=,25+16+自=再=苧，

(2)•••|明=7(5-11)2+(2-0)2+(10-7)2=,36+4+9=7,

\AC\=^(5-3)2+(2-5)2+(10-4)2=J4+9+36=7,

忸C|=7(H-3)2+(0-5)2+(7-4)2=J64+25+9=7&,

：.\AB\=\AC\,\AB[+\AC[=\BC[,

综上三角形Z8。是以/为顶点的等腰直角三角形.

18.求符合下列条件的直线/的方程：

⑴过点”(2,1),且斜率为-；；

(2)过点4(1,4),5(2,3)：

(3)过点尸(2,1)且在两坐标轴上的截距相等.

【答案】(l)x+2"4=0；

⑵x+y-5=0；

⑶x-2y=0或x+y-3=0.

【分析】(1)利用点斜式写直线方程即可；

(2)利用斜率公式求出斜率，再用点斜式写直线方程：

(3)利用斜截式和截距式待定系数求直线方程.

【详解】(1)•••所求直线过点4(2,1),且斜率为-；，••.y-l=-g(x-2),即x+2y-4=0；

(2)•••所求直线过工(1,4),8(2,3),.•.脑=咨=-1，

,即x+y_5=0；

(3)当直线过原点时，设直线方程为)，=丘，

•••直线过户点(2,1),••.后=男=：,直线方程为y=：x,即》_2y=0；

当直线不过原点时，设直线方程为2+2=1,

aa

2i

将点打2,1)代入上式，得—+—=1,解得。=3,

aa

故直线的方程为X+F-3=0,综上，直线方程为x-2y=0或x+y-3=0.

19.如图，已知四棱锥的底面是菱形，PC_L8。，点E为PC的中点.

⑴求证：P4/平面BDE；

(2)求证：平面尸平面P4C.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据三角形的中位线以及线面平行的判定定理证得尸4〃平面E9E

(2)通过证明8。上平面P/C,来证得：平面平面P/C.

【详解】(1)连接NC交8。于。点，连接E。，

•••底面ABCD是菱形，。为AC的中点，

•••点E为尸C的中点，PAHEO,

•.•EOu平面3DE,且平面瓦历，〃平面8DE；

(2)•••底面/8CD是菱形，二/C工8。，

vPCLBD,PCcAC=C,PCu平面「4C,XCu平面P/C,

•••8。工平面尸/C,

又8Ou平面P8D,

二平面P8O_L平面PAC.

D

BC

20.已知圆C的方程为/+/一4》+6了-机=0.

(1)求实数机的取值范围；

(2)若圆C与直线/：x+y+3=0交于〃，N两点，且|A/N|=2打，求心的值.

【答案】(1)"?>—13

(2)7M=-8

【分析】(1)将圆。的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到13+〃?>0,解之即可；

(2)利用弦长公式|四川=2，尸2-/求得厂,进而得到J〃?+13=6,易得加的值.

【详解】(1)方程/+『-4'+6N一〃?=0可化为(x-2)2+(y+3)2=13+机，

••,此方程表示圆，

・・.13+〃z>0,即相>一13,即加£(-13,+8).

(2)由(1)可得圆心。(2,-3),半径尸=而百，

则圆心C(2,-3)到直线/:x+y+3=0的距离为d="+印=及，

V12+12

由弦长公式|MN|=2,2-"2及|MN|=20,得2凤2卜_(可,解得r=石，

r=J/n+13=-\/5>得”?=-8.

21.已知点力(1,1),C(-2,0),点4关于直线x-y-l=0的对称点为点8.

(1)求B点坐标：

⑵在口PBC中，|?C|=&|?8],求口PBC面积的最大值.

【答案】(1)(2,0)；

(2)872

止=_1

【分析】(I)结合点关于线对称可得/T,解方程组即可求出结果；

%+1乂>+1]=0

22

(2)求出动点P(x,y)的轨迹，进而可得点尸在(6,4啦)或仅,-40)时，三角形的面积最大，从而

结合三角形的面积公式即可求出结果.

金=7

%=2

【详解】（1）设B的坐标为（X。/。），贝叫解得

乂=°

22

则3的坐标为（2,0）；

(2)设P(x,y),\PC\=^\PB|=>(x+2)2+y2=2(x-2)2+2y2

=>x2+/-12x4-4=0,（x-6）2+V=32.圆