人教A版2019选择性必修第一册综合测试（提升）（解析版）

人教A版2019选择性必修第一册综合测试（提升）单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)1．（2023秋·广东）已知点A在直线l：上，点B在圆C：上，则的最小值是（

）A．1 B． C． D．5【答案】B【解析】由题意可知圆C的圆心，半径.则圆心C到直线l的距离，故的最小值是.故选：B.2．（2023秋·高二课时练习）若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（

）A．3 B．2 C． D．4【答案】A【解析】由题意，知点M在直线与之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为，则，即，∴点M在直线上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线的距离，即.故选：A.3．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考开学考试）在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，M是的中点，则（

）

A．5 B．7 C．3 D．【答案】D【解析】由题意可知：，，，，可得：，，，因为，可得，所以，即.故选：D.4．（2023秋·高二课时练习）如图所示，在正方体中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若∥平面，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，以A为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，可得，设是平面的法向量，则，令，则，即，由，且，可得，又因为，则，由∥平面，可得，解得.故选：C.5．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）已知是椭圆的长轴上的两个顶点，点是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点与点关于轴对称，则直线与直线的交点所形成的轨迹为（

）A．双曲线 B．抛物线C．椭圆 D．两条互相垂直的直线【答案】A【解析】

由于是椭圆的长轴上的两个顶点，所以，设，则，所以直线的方程为①，直线的方程为②，①②得，又因为在椭圆上，所以，即，所以，即，即直线与直线的交点在双曲线上.故选：A.6．（2023春·江西南昌）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设的中点为，即，如下图所示：

易知，即；设，又中点坐标为，所以则；又两点在椭圆上可得，两式相减可得，整理得，解得，联立可解得；即所以椭圆的面积为.故选：A7．（2023春·北京·高二101中学校考期中）已知A，B，C是椭圆上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆的右焦点F，若，且，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设椭圆左焦点为，连接，

设，结合椭圆对称性得，由椭圆定义得，则.因为，则四边形为平行四边形，则，而，故，则，即，整理得，在中，，即，即，故，故选：C8．（2023秋·高二单元测试）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下不正确的是（

）

A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是C．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是【答案】D【解析】对于A中：底面正方形的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长，所以四棱锥的体积不变，所以A选项正确；对于B中：以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得，设，则，设直线与所成角为，则，因为，当时，可得，所以；当时，，所以，所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B正确；

对于C中：因为直线与平面所成的角为，若点在平面和平面内，因为最大，不成立；在平面内，点的轨迹是；在平面内，点的轨迹是；在平面时，作平面，如图所示，因为，所以，又因为，所以，所以，所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点的轨迹的长度为，综上，点的轨迹的总长度为，所以C正确；

对于D中，由，设，则设平面的一个法向量为，则，取，可得，所以，因为平面，所以，可得，所以，当时，等号成立，所以D错误.故选：D.

二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）9．（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，正方体的棱长为2，为线段中点，为线段中点，则（

）

A．点到直线的距离为 B．直线到直线的距离为2C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为【答案】AD【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

则，因为，所以.所以点到直线的距离为，故A正确；因为，所以，即所以点到直线的距离即为直线到直线的距离，，，所以直线到直线的距离为，故B错误；设平面的一个法向量为，，.由，令，则，即.设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为，故C错误；因为平面，平面，所以平面，所以直线到平面的距离等于到平面的距离.，由C得平面的一个法向量为，所以到平面的距离为，所以直线到平面的距离为，故D正确.故选：AD.10．（2024秋·甘肃武威）设直线与圆，则下列结论正确的为（

）A．可能将的周长平分B．若圆上存在两个点到直线的距离为1，则的取值范围为C．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为2D．若直线与圆交于两点，则中点的轨迹方程为【答案】BC【解析】对于，若直线将圆的周长平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，错误；对于B，若圆上存在两个点到直线的距离为1，则到直线的距离满足，所以，解得或，B正确；对于C，，当时，的面积有最大值2，C正确；对于，易知直线经过定点，所以，所以点的轨迹以为直径的圆，其方程为，又因为点在圆内，由，解得，所以点的轨迹方程为，D错误.故选：BC.11．（2023·全国·高二课堂例题）［多选题］已知，为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（

）A．的最大值大于3 B．的最大值为4C．的最大值为60° D．的面积的最大值为3【答案】BC【解析】由椭圆的方程得，，所以，所以，.对于A，，故A错误.对于B，由椭圆定义可知，所以，当且仅当时取等号，故B正确.对于C中，当点M为椭圆与y轴的交点时，取得最大值，由得，所以，，故C正确.对于D中，当点M为椭圆与y轴的交点时，面积的最大，最大值为，故D错误.故选：BC.12．（2023秋·江西·高三校联考开学考试）已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为1，所有顶点均在球O的球面上，则（

）A．直线与直线异面B．若M是侧棱上的动点，则的最小值为7C．直线与平面所成角的正弦值为D．球O的表面积为【答案】BCD【解析】对于A，如图②，连接，，则，，所以，所以直线与直线共面，故A错误；对于B，将平面沿着翻折到与平面共面的位置，得到矩形，如图①所示．图①因为底面边长为2，，所以，则，故B正确；对于C，以F为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图②所示的空间直角坐标系，图②则，，，，，所以，，．设平面的法向量为，则，即．令，得，所以平面的一个法向量为．设直线与平面所成角为，则，故C正确；对于D，设球O的半径为R，则，所以球O的表面积，故D正确．故选：BCD．三、填空题(每题5分，4题共20分)13．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知直线与双曲线相切，且与的两条渐近线分别交于两点，则.【答案】4【解析】将代入，得，易得，由，得，双曲线的渐近线方程为，将其统一得，将代入得，（）则.故答案为：4.

14．（2023·全国·高二课堂例题）P为双曲线右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为.【答案】5【解析】双曲线的两个焦点，分别为两圆的圆心，

两圆的半径分别为，，易知，，故的最大值为.故答案为：515．（2023·全国·高三专题练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光从点P出发经反射后又回到点P，反射点为Q，R，若光线QR经过的重心，则.【答案】/【解析】依题意，以点A为原点，直线AB为x轴，直线AC为y轴建立平面直角坐标系，如图，

则，，，的重心G的坐标为，设点P的坐标为，，则点P关系y轴对称点，设点P关于直线对称点，显然直线BC的方程为，于是，解得，即点，由光的反射定律知，光线过点，也过点，而光线经过的重心，因此点共线，则有，整理得，解得，所以.故答案为：16．（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为.

【答案】【解析】以A为原点，在平面内过点作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

在正三棱柱中，设，则，则，故，，设异面直线与所成角为，则，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分17．（2023秋·新疆·高二校联考期末）如图，在正方体中，是的中点，是的中点．

(1)证明：平面．(2)求平面和平面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）连接，交于，连接，分别为的中点，，平面，平面，平面.（2）设该正方体的棱长为，以为坐标原点，为轴正方向可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，解得：，，；设平面的法向量，则，令，解得：，，；，平面和平面所成锐二面角的余弦值为.18．（2023·江苏南通）已知圆，直线.(1)若圆上至少有3个点到直线的距离为，求实数的取值范围；(2)若直线与圆相交于两点，为原点且，求的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）圆方程化为，圆的圆心到直线的距离，若圆上至少有3个点到直线的距离为，则有，解得，所以实数的取值范围为.（2）（方法一）将代入圆的方程得：，（*）设，则，又，，.检验：当时，，且方程中，满足条件.故.（方法二）取中点，连接.则，连接.

由得，由（1）知，设，由得，，所以，，，即.19．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且.(1)求椭圆的方程；(2)延长，并与椭圆分别相交于两点，求的面积.【答案】(1)(2)【解析】（1），则，解得.由解得，故椭圆的方程为.（2）由（1）可知，直线的方程为，根据对称性可知.直线的方程为，联立方程组整理得，解得或，则..20．（2023·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）已知曲线上的动点满足到定点的距离与到定点距离之比为(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程.【答案】(1)（或）(2)或.【解析】（1）由题意得，故，化简得（或）；（2）当直线的斜率不存在时，，将代入方程得或，所以，满足题意；当直线的斜率存在时，设，则，因为，所以，解得，此时.综上，直线的方程为或.

21．（2023秋·湖南）如图，在四棱锥中，，，，E为PC的中点.

(1)求证：平面PAD；(2)若，平面平面ABCD，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）取CD的中点O，连接EO，BO，∵E为PC中点，∴，而平面PAD，平面PAD，∴平面PAD，∵，，∴，又，∴，∴,∴为等边三角形，∴，又，∴，而平面PAD，平面PAD，∴平面PAD，又，平面∴平面平面PAD，而平面EOB，∴平面PAD.

（2）∵，∴.∵平面平面ABCD，平面，∴平面ABCD，又为等边三角形，∴，又∵平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，∴平面PCD，∵在中，，，∴，∵，∴，在等边中，∵，∴，.以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，，设平面PCB的法向量为，所以，令，则，由上可知，平面PCD的一个法向量为，∴，故二面角的余弦值为

22．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一