考点巩固卷15 等比数列（八大考点）（解析版）

考点巩固卷15等比数列（八大考点）考点01 基本量的计算1．在等比数列中，已知，，则（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式可求出结果.【详解】设公比为，依题意得，得，得，，所以.故选：A2．已知等比数列中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，进而可得出的值.【详解】设等比数列的公比为，则，解得，因此，.故选：C.3．若首项为正数的等比数列的前6项和为126，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等比数列的性质，设出基本量和，列出方程，可求解.【详解】设正数的等比数列的公比为，则，解得（负值舍去），.故选：B.4．设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.【详解】由题知,即,即,即.由题知,所以.所以.故选:C.5．在等比数列中，，则公比为__________.【答案】3【分析】根据题意，得到，即可求解.【详解】由等比数列中，，可得，解得.故答案为：.6．记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．【答案】【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比.【详解】若，则由得，则，不合题意.所以.当时，因为，所以，即，即，即，解得.故答案为：7．记为等比数列的前n项和，若，，则_______．【答案】【分析】由题意知公比，设首项为，由求出，再代入求出，由此求得．【详解】等比数列中，，，显然公比，设首项为，则①，②，化简②得，解得或（不合题意，舍去），代入①得，所以．故答案为：考点02 等比中项及等比数列项的性质8．“”是“成等比数列”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用等比数列等比中项的性质判断即可.【详解】若成等比数列，则；若，令，满足，但此时不构成等比数列.故选：C9．在等比数列中，，且，则的前项和为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等比中项的性质求出的值，求出等比数列的公比，进而求出的值，再利用等比数列求和公式可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，且对任意的，，由可得，解得，因为，则，所以，，因此，的前项和为.故选：C.10．已知等比数列中，，是方程的两根，则（）A．3 B．64 C．256 D．±64【答案】B【分析】先由题意得到，再由等比数列的性质，即可得出结果.【详解】由题意得，，∴，又∵，∴，∴.故选：B．11．（多选）已知等比数列的公比为，前项积为，若，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】结合等比数列的通项公式及下标和性质一一分析即可.【详解】因为等比数列的公比为，，，则，，即，所以，，所以，，故A正确，B正确；所以，，故C正确，D错误．故选：ABC．12．若数列为等比数列，则_______．【答案】4【分析】根据等比数列的性质列出方程，求出，从而计算出答案.【详解】由题意得，，解得，，故.故答案为：413．已知数列是递增的等比数列，，若的前项和为，则，则正整数等于______．【答案】【分析】根据已知条件，结合等比数列的通项公式，以及等比数列前项和公式，即可求解.【详解】依题意得：，解得或，又因为数列是递增的等比数列，所以，又，所以，所以，，所以，所以.故答案为：14．在正项等比数列中，，则数列的前10项和为______.【答案】10【分析】根据等比数列的性质得到，然后直接对数列求和，结合对数运算法则计算即可.【详解】由等比数列的性质，得，所以数列的前10项和为.故答案为：10考点03 等比数列的判定与证明15．已知数列满足，.(1)记，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)求的前2n项和.【答案】(1)证明见详解，(2)【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义分析证明，进而求通项公式；（2）利用（1）中的结果求数列的通项公式，并结合并项求和运算求解.【详解】（1）由题意可知：，且，所以数列是以首项，公比的等比数列，可得.（2）由（1）可知：，当为偶数时，；当为奇数时，；综上所述：.可得当为奇数时，，则，所以.16．已知数列的首项，且满足.(1)求证：是等比数列；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义分析证明；（2）先根据等比数列的通项公式可得，再利用分组求和结合等比数列的求和公式运算求解.【详解】（1）因为，即，则，又因为，可得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）知，所以.所以，当为偶数时，可得；当为奇数时，可得；综上所述：.17．已知数列满足，且．(1)设数列满足，证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意，表示出与的关系式，计算得，根据等比数列的定义可证明数列是等比数列；（2）根据等比数列的通项公式写出数列的通项，从而可得数列的通项公式.【详解】（1），，，，因为，故，．是首项，公比的等比数列．（2）由（1）知，，又，所以，所以．故数列的通项公式为．18．已知数列的首项，且满足．(1)求证：数列为等比数列；(2)设数列满足，求最小的实数，使得对一切正整数均成立．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题意，化简得到，得到，即可得证；（2）由（1）可得，结合，结合等比数列的求和公式和裂项法求和，即可求解.【详解】（1）解：由数列的首项，且满足，可得，则，又因为，所以数列为等比数列.（2）解：由（1）可得，又由，所以所以，所以，即实数的最小值为.19．已知数列中，，且，其前项和为，且当时，．(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)若，令，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据将用表示，再根据等比数列的定义或等比中项法即可得证；（2）先求出，再根据即可得解；（3）利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）由，得，即，化简得，所以数列是等比数列；（2）由（1）得数列得公比为，首项为，所以，当时，，所以；（3）若，则，当时，，，当时，，，综上所述，.20．已知数列的前项和为，且N(1)求证:数列是等比数列;(2)数列，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用与的关系以及等比数列的定义即可证明；（2）求出数列的通项公式可判断数列为等差数列，利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】（1）令时，，解得，由已知得①，当时，②，①②两式相减得，∴，∴，∴可知数列的首项为∴数列是以为首项，公比为的等比数列，（2）数列的通项公式为，则，∴，∴数列是以首项，为公差的等差数列，∴数列的前项和.21．已知数列中，，.(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)若不等式对于恒成立，求实数的最小值.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）由条件可得出从而可证，从而可得出的通项公式.（2）将（1）中代入不等式，即得对于恒成立，设，分析出其单调性，得出其最大项，即可得出答案.【详解】（1）由，可知，，所以可得，即，而，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以.（2）不等式对于恒成立，即对于恒成立，即对于恒成立.设，由，当时，，即，即，当时，，即，即，所以最大，，所以，故的最小值为.考点04 等比数列前项和的性质22．设正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等比数列的片段和的性质即可结合不等式求解最值.【详解】因为是等比数列，且，又，所以，且，，也是等比数列，所以（当且仅当时取等号），因为，所以的最小值为，故选:B．23．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值.【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，则，所以，，因为，可得，因此，.故选：C.24．（多选）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（

）．A．若数列为等差数列，则恒成立B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列C．若数列为等比数列，且，，则D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列【答案】BD【分析】根据等差数列的性质判定AB选项，根据等比数列的性质判定CD选项.【详解】若数列为等差数列，不妨设其公差为d,则,显然当才相等，故A错误，而，作差可得成立，故B正确；若数列为等比数列，且，，设其公比为q，则，作商可得或所以或，故C错误；由题意得各项均不为0，而实数范围内，，即且，结合选项B的计算可得，故D正确.故选：BD.25．已知等比数列的公比，且，则___________.【答案】120【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案.【详解】因为在等比数列中，若项数为，则，所以.故答案为：12026．已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______．【答案】【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，结合等比数列求和公式求出的值，进而可求得的值.【详解】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则，所以，，又，则，因此，.故答案为：.27．已知数列的通项公式，求由其奇数项所组成的数列的前项和．【答案】．【分析】判断出是等比数列，所以其奇数项也成等比数列，确定其首项和公比，直接利用等比数列的前项公式求和即可．【详解】由，得．又因为，所以是等比数列，其公比，首项．所以的奇数项也成等比数列，公比为，首项为，所以．28．设等比数列的前项和为，若，则__________.【答案】156【分析】方法一：设等比数列的公比为，然后由列方程可求出，再利用等比数列的求和公式对化简计算即可，方法二：利用等比数列前项和的性质计算即可.【详解】法一：设等比数列的公比为，显然.因为，所以，所以.法二：设，则.因为为等比数列，所以仍成等比数列.因为，所以，所以，即.故答案为：156考点05 等比数列中的单调，最值问题22．设正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等比数列的片段和的性质即可结合不等式求解最值.【详解】因为是等比数列，且，又，所以，且，，也是等比数列，所以（当且仅当时取等号），因为，所以的最小值为，故选:B．23．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值.【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，则，所以，，因为，可得，因此，.故选：C.24．（多选）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（

）．A．若数列为等差数列，则恒成立B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列C．若数列为等比数列，且，，则D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列【答案】BD【分析】根据等差数列的性质判定AB选项，根据等比数列的性质判定CD选项.【详解】若数列为等差数列，不妨设其公差为d,则,显然当才相等，故A错误，而，作差可得成立，故B正确；若数列为等比数列，且，，设其公比为q，则，作商可得或所以或，故C错误；由题意得各项均不为0，而实数范围内，，即且，结合选项B的计算可得，故D正确.故选：BD.25．已知等比数列的公比，且，则___________.【答案】120【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案.【详解】因为在等比数列中，若项数为，则，所以.故答案为：12026．已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为______．【答案】【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，结合等比数列求和公式求出的值，进而可求得的值.【详解】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则，所以，，又，则，因此，.故答案为：.27．已知数列的通项公式，求由其奇数项所组成的数列的前项和．【答案】．【分析】判断出是等比数列，所以其奇数项也成等比数列，确定其首项和公比，直接利用等比数列的前项公式求和即可．【详解】由，得．又因为，所以是等比数列，其公比，首项．所以的奇数项也成等比数列，公比为，首项为，所以．28．设等比数列的前项和为，若，则__________.【答案】156【分析】方法一：设等比数列的公比为，然后由列方程可求出，再利用等比数列的求和公式对化简计算即可，方法二：利用等比数列前项和的性质计算即可.【详解】法一：设等比数列的公比为，显然.因为，所以，所以.法二：设，则.因为为等比数列，所以仍成等比数列.因为，所以，所以，即.故答案为：156考点06 等比数列的简单应用35．科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段等分为线段，如图2.以为底向外作等边三角形，并去掉线段，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段的长度为1，则图3中曲线的长度为（

）

A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】根据给定条件，探讨一次操作前后曲线长度的关系，再借助等比数列求解作答.【详解】依题意，一条线段经过一次操作，其长度变为原来的，因此每次操作后所得曲线长度依次排成一列，构成以为首项，为公比的等比数列，所以当进行三次操作后的曲线长度为.故选：C36．用砖砌墙，第一层用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，…以此类推，每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，到第10层恰好把砖块用完，则此次砌墙一共用了多少块砖？【答案】2046【分析】因每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，即每一层剩下砖块是上次剩下砖块的一半少一块，于是可用数列的递推关系式结合构造法求数列通项求解．【详解】设此次砌墙一共用了块砖，砌好第层后剩下砖块为块，则当时，，即．∴为等比数列，且公比为．由题意得，∴，∴，即．∵，∴，解得．37．某家庭为准备孩子上大学的学费，每年1月1日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式：（1）如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a（1＋n×6．5％）计算本利（n为年数）；（2）如果按每年转存计，即每存入a元，按计算本利（n为年数）．问：用哪种存款的方式存款在第六年的1月2日到期的全部本利较高？【答案】第一种存款方式到期的全部本利较高【分析】这两种存款的方式区别在于不计复利与计复利，但由于利率不同，最后的本利也不同．复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．设本金为P，每期利率为r，本利和为y，存期为n，则复利函数式为．单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算．设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为．【详解】第（1）种方式：不计复利，则5年的零存整取本利是（元）；第（2）种方式：计复利，则5年的零存整取本利是（元）．所以第一种存款方式到期的全部本利较高．38．从盛有盐的质量分数为20％的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg清水．以后每次都倒出1kg盐水，然后加入1kg清水．问：(1)第5次倒出的1kg盐水中含盐多少？(2)经6次倒出后，一共倒出多少盐？此时加1kg清水后容器内盐的质量分数为多少？【答案】(1)0.0125kg；(2)一共倒出0.39375kg盐，最后的质量分数为0.3125％．【分析】（1）根据给定的信息，构造等比数列并求其通项作答.（2）由（1）中信息，利用等比数列前n项和公式求和，再代值求出项作答.【详解】（1）每次倒出的1kg盐水中含盐的质量依次排成一列，构成数列，每次倒出1kg盐水，再加入1kg清水后，盐的质量分数依次排成一列，构成数列，记原有盐的质量分数为，则，，当时，，数列是以为首项，为公比的等比数列，，显然也满足上式，依题意，，，，所以第5次倒出的1kg盐水中含盐.（2）由（1）知，数列是首项为，公比为的等比数列，经6次倒出后，共倒出的盐（），此时加1kg清水后容器内盐的质量分数为.所以一共倒出盐，最后盐的质量分数为．39．某实验室要在小白鼠身上做连续活体实验.因实验需要，每天晩上做实验消耗其脂肪10克，其脂肪每天增长率为（从前一次实验后到后一次实验前）.设为第天晩上实验后该小白鼠的脂肪含量.第一天晩上实验前测量其脂肪含量为90克，则.(1)计算的值；(2)写出的通项公式，并证明你的结论；(3)为保证实验的有效性，实验前小白鼠的体内脂肪含量应不少于60克.那么该小白鼠某晩是否会因脂肪含量不够而无法进行有效实验吗？若会，是在第几天晩上？若不会，请说明理由.【答案】(1),;(2);(3)见解析；【分析】（1）根据题意直接求解；（2）由题意可得，构造是等比数列，根据等比数列的通项公式即可求解；（3）求解即可.【详解】（1），.（2）由题意可得，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即,所以的通项公式为.（3）设该小白鼠第晩因脂肪含量不够而无法进行有效实验,则,可得，解得，因为,所以当时，，故小白鼠第11,12,13,14,15晩会因脂肪含量不够而无法进行有效实验.考点07 等差、等比数列的综合应用40．已知等比数列的公比大于1，且，等差数列满足，，，则（

）A．2026 B．4050 C．4052 D．4054【答案】B【分析】设出公比和公差，根据题目条件得到，求出，从而求出，进而求出公比，由求出公差，求出，得到答案.【详解】设的公比为，的公差为，因为，，所以，因为，所以，解得，故，故，即，解得或（舍去），则，又，故，则，所以.故选：B41．已知等差数列的首项为1，且，，，成等比数列.(1)求数列的通项公式，(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等比中项以及等差数列基本量的计算即可求解公差，即可由等差数列的通项求解，（2）根据分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解.【详解】（1）因为，，成等比数列，所以，又，所以，又，设的公差为，所以，解得，所以.（2）由题知，，因为数列是首项为3，公比为3的等比数列，且数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以.42．已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列(1)求通项公式(2)设，求数列的前项和【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根据等差数列求和公式、等差数列通项公式以及等比中项列式求出和可得结果；（2）根据等比数列求和公式可求出结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，即，又成等比数列，所以，即，整理得，得或，若，则，，若，则，得，，.综上所述：或.（2）若，则，；若，则，.43．已知等比数列的公比是的等差中项．等差数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根据给定条件，结合等比数列通项列出方程组求出，进而求出通项作答.（2）利用（1）的结论，确定新数列前50项中，数列所占项数，再借助等比数列、等差数列前n项和公式计算作答.【详解】（1）依题意，，，而，解得，则，等差数列中，由，得，又，则公差，因此，所以数列的通项公式是，.（2）由（1）知，数列与数列都是递增数列，，因此新数列前50项中，有5项是数列的前5项，另45项为数列的前45项，而，，所以新数列的前50项和为.44．记等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，已知，，.(1)若，求的通项公式；(2)若，求.【答案】(1).(2)或.【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式求解可得结果；（2）根据等差、等比数列的通项公式求出公差和公比，再根据等差数列求和公式可求出结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，得，得，所以.（2）由，得，得或，若，则，若，则.综上所述：或.45．已知是各项均为正数的等差数列，、、成等差数列，又，，，……证明：为等比数列．【答案】证明见解析.【分析】利用等差、等比的转化关系得以解决．【详解】证明：因为、、成等差数列，所以，即，又设等差数列的公差为，则，这样，从而，若，此时是各项均为正数的常数列，故，此时也为常数列，且，这时，为公比为等比数列.若，则，，，且，这时，是首项，公比为的等比数列．综上所述，为等比数列.46．若成等差数列；成等比数列，则等于______.【答案】/【分析】利用等差数列和等比数列的性质求解.【详解】∵成等差数列，∴，又∵成等比数列，∴，又∵，∴，则，故答案为：.考点08 有关数列的数学文化47．在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程，若第1个图中的三角形的周长为3，则第4个图形的周长为______.

【答案】【分析】根据题意，分别求得每个“雪花曲线”的边长和边数，即可求解.【详解】由题意，当时，第1个图中的三角形的边长为，三角形的周长为；当时，第2个图中“雪花曲线”的边长为，共有条边，其“雪花曲线”周长为；当时，第3个图中“雪花曲线”的边长为，共有条边，其“雪花曲线”周长为；当时，第4个图中“雪花曲线”的边长为，共有条边，其“雪花曲线”周长为.故答案为：.48．分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是边长为1的等边三角形，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……依此进行“n次分形”，其中n为正整数.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于30的分形图，则n的最小整数值是（取）（）

A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】依题意可得“每次分形”图的长度可看成是首项为4，公比为的等比数列，从而可得到“n次分形”图的长度为，列出不等式，结合，即可求解．【详解】依题意可得“n次分形”图的长度是“次分形”图的长度的，由“一次分形”图的长度为，所以“每次分形”图的长度可看成是首项为4，公比为的等比数列，所以“n次分形”图的长度为，故，即，两边取对数得，所以，又，故n的最小整数值是9．故选：B.49．“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成9个边长为的小正方形，保留靠角的4个小正方形，记4个小正方形面积之和为；然后，将剩余的4个小正方形分别继续9等分，分别保留靠角的4个小正方形，记16个小正方形面积之和为；…；操作过程不断进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃．若，则操作次数n的最小值为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由已知得，再由等比数列的求和公式建立不等式，由函数的单调性即可得答案.【详解】是边长为的4个正方形的面积之和，故；是边长为的个正方形的面积之和，故；以此类推得：从而，所