阶段性检测2.3（难）（范围：集合至复数）（解析版）

阶段性检测2.3（难）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，若，则实数m的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解不等式可得集合A，根据可得在上恒成立，结合二次函数的单调性即可求得答案.【详解】解不等式，即，即，又，，故在上恒成立，即在上恒成立，而在上单调递减，故，故，即实数m的取值范围为，故选：B2．已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可.【详解】由题，所以为实数，即，则有，解得，即a的取值范围为.故选：A3．在中，点，分别是，边上的中点，线段，交于点D，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：由三角形重心的性质求解；方法二：设，根据题意计算可得，再由共线可求出的值.【详解】方法一：可由三角形重心的性质知：方法二：设，则，由共线可知，，，故，故选：C．4．设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用对数的运算法则把化成同底的对数，然后利用对数函数的单调性即可求解.【详解】，，，因为在定义域上是增函数，且，故.故选：C.5．已知函数（且），若，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据条件判断函数为偶函数，同时，再利用单调性即可求出结果.【详解】因为函数定义域为，且，所以函数为偶函数，则，因为，则，即，所以，所以可以转化为，则，所以，故选：B.6．函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用为奇函数排除；利用时，，排除C，从而可求解.【详解】因为定义域为，对于AB，，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故都不正确；对于C，时，，所以，所以，故C不正确；对于D，符合函数图象关于原点对称，也符合时，，故D正确.故选：D.7．如图，函数的图象与坐标轴交于点，直线交的图象于点，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的图象与直线的位置关系，利用重心坐标公式可求得，再利用周期公式以及即可求得，代入计算可得.【详解】根据题意可知，点是的一个对称中心，又直线交的图象于点，利用对称性可知两点关于点对称；不妨设，由重心坐标公式可得，又，即可得；由最小正周期公式可得，解得，即；将代入可得，又，所以；即，所以.故选：C8．定义在上的奇函数的图象连续不断，其导函数为，对任意正数恒有，若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由的奇偶性得到在上恒成立，进而得到在上单调递减，由为奇函数得到在R上单调递减，从而由单调性解不等式，求出解集.【详解】因为为奇函数，所以，对任意正数恒有，即，故在上恒成立，故在恒成立，故在上单调递减，定义域为R，又，故为奇函数，所以在上单调递减，又的图象连续不断，故在R上单调递减，变形得到，所以，解得，解得.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．，若将图象向左平移个单位长度后在上有且只有两个零点，则的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据给定条件，求出函数图象平移后所得图象对应的函数解析式，再利用余弦函数零点问题求出范围作答.【详解】依题意，函数图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为而，当时，，若函数在上有且只有两个零点，则，解得，则选项BD不满足，AC满足.故选：AC10．设，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】选项A：根据对数运算相关知识即可解决；选项B：根据对数运算相关知识进行适当放缩即可解决；选项C：根据对数运算相关知识即可解决；选项D：根据对数运算相关知识及基本不等式进行放缩即可解决；【详解】选项A：，A错误．因为，，所以，选项B：因为，，则有，所以，B正确．选项C：，C正确．选项D：，D正确．故选：BCD.11．设复数（）（i为虚数单位），则下列说法正确的是（

）A．“”的充要条件是“”B．若，则的最大值为3C．若，，则D．方程在复数集中有6个解【答案】ABD【分析】对于A，由复数与共轭复数的概念即可判定；对于B，由复数的几何意义即可判断；对于C，由复数的乘方计算即可；对于D，由复数的运算计算即可.【详解】对于A，若是实数，则，显然，若，则显然是实数，故A正确；对于B，由复数的几何意义可知在复平面中以原点为圆心的单位圆上，即该圆上一点到的距离，如图所示，显然最大值为3，故B正确；

对于C，由复数的乘方可知此时，故C错误；对于D，，若，若或，即或或或或或共六组解，故D正确.故选：ABD12．已知点O在所在的平面内，则下列命题正确的是（

）A．若且，则B．若且，则C．若，其中，则动点O的轨迹经过的重心D．若，其中，则动点O的轨迹经过的垂心【答案】ABC【分析】根据向量的加减法法则计算。结合三角形的重心、外心、垂心等定义解析并判断.【详解】选项A:,所以同理所以O是的垂心，故选项A正确；选项B:因为所以即所以AO是的角平分线，同理可得，CO是的角平分线,,所以，选项B正确；选项C:作于，由于设BC的中点为D，即所以AO与AD共线，则动点O的轨迹经过的重心,选项C正确；选项D:设BC的中点为E，所以所以，则动点O在中垂线上，即动点O的轨迹经过的外心.故选项D错误.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设集合X是实数集R的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合X的“聚点”．用Z表示整数集，则下列集合：①；②；③；④整数集Z，其中以0为“聚点”的集合有．【答案】①②③【分析】根据“聚点”的定义可判断定义的集合.【详解】对于①，对任意的，取，则，故①是以0为“聚点”的集合.对于②，对任意的，必有，对任意的，当且时，总有，故②是以0为“聚点”的集合.对于③，对于任意的，当且时，总有，故③是以0为“聚点”的集合.故答案为：①②③.14．已知函数过点作曲线的切线，则切线的条数为．【答案】2【分析】分与两种情况，设出切点，写出切线方程，把点代入切线方程，求出相应答案即可.【详解】当时，，设切点为，，又故过的切线方程为,将代入可得,解得或4，均大于0，满足要求；当时，，设切点为，又，故过的切线方程为将代入，可得解得或4，均大于0，不合要求，舍去．故答案为：2．15．在平面直角坐标系中，、、，当时.写出的一个值为.【答案】（满足或的其中一值）【分析】利用平面向量数量的坐标运算结合两角和的正弦公式可得出，求出的值，即可得解.【详解】由题意可得，，所以，，同理可得，则，所以，或，解得或，故答案为：（满足或的其中一值）.16．已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于点，且.若，则面积的最小值是.【答案】【分析】利用正弦定理及两角和正弦公式可得，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得.【详解】∵，∴，即，又，，∴，即，又，∴，由题可知，，所以，即，又，即，当且仅当取等号，所以，即面积的最小值是.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．已知z，ω为复数，（1＋3i）z为纯虚数，，且|ω|＝，求ω.【答案】ω＝±（7－i）．【分析】根据已知，利用复数的一般形式、纯虚数的概念、复数的模长公式、复数的四则运算求解.【详解】设z＝a＋bi（a，b∈R），则（1＋3i）z＝（1＋3i）（a＋bi）＝a－3b＋（3a＋b）i，由题意得a－3b＝0，3a≠－b，因为，又|ω|＝，所以，解得，将a＝3b代入上式，解得a＝15，b＝5或a＝－15，b＝－5，故ω＝．18．已知两个不共线的向量，，它们的夹角为，且，，为实数.(1)若与垂直，求；(2)若，求的最小值及对应的的值.【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）利用给定的垂直关系，结合数量积的运算律求出，再利用平方关系计算作答.（2）利用数量积的运算律把表示为的函数，再由函数求最小值作答.【详解】（1）因为，，与垂直，则，解得，又，所以.（2）因为，，，则，于是，当且仅当时取等号，所以时，取得最小值.19．已知函数的图象如图所示.

(1)求的解析式；(2)若函数，当时，求的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数图象确定A，利用特殊点确定，再利用结合函数的周期求得，即可求得的解析式；（2）由（1）可得表达式，结合两角和的正弦公式以及二倍角公式化简，并换元结合二次函数的单调性，即可求得答案.【详解】（1）由图知：，则，又，故，又，∴，，可得，∴，又，则，∴当时，，综上：.（2）由题设，，又，令，∴，则，则，∴且，又在上递增，则函数在上递增，∴.20．已知函数是偶函数．(1)求实数的值；(2)设函数，若函数只有一个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据偶函数的定义运算求解；（2）根据题意可得方程只有一个根，令，可知方程只有一个正根，分类讨论，结合二次方程的根或二次函数的零点运算求解.【详解】（1）若函数是偶函数，则，即，可得，整理得，因为不恒为0，可得，解得.（2）由（1）可知：，若函数只有一个零点，等价于方程只有一个根，等价于方程只有一个根，整理得，令，等价于方程只有一个正根，当，即时，则方程的解为，不合题意；当，即时，则，可知方程有两个不相等的实数根，设为，且，所以方程有一个正根和一个负根，符合题意；当，即时，令，可知开口向下，且，若只有一个正零点，则，解得；综上所述：实数的取值范围为.21．记钝角的内角的对边分别为，已知．(1)若，求；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）化简整理得到，结合求出，从而得到；（2）由（1）知，分与两种情况，利用正弦定理得到，由基本不等式求出最小值.【详解】（1）由已知得，，即，即，即．若，则，因为，故．从而．（2）由得，若，则，即，与为钝角三角形矛盾．因此，得，故．所以．当且仅当时，的最小值为．22．已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求得函数定义域为，，通过分类讨论即可得到答案；（2）首先得到的范围，将原式转化为对恒成立，即对恒成立，通过导数研究函数最值即可得到答案.【详解】（1）定义域为，，①当时，令，得，此时单调