（考黄金）高考数学一轮检测 第24讲 椭圆、双曲线、抛物线精讲 精析 新人教A版

2013年考题1.（2013浙江高考）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是()A．B．C．D．【解析】选C.对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有，因．2.（2013浙江高考）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解析】选D.对于椭圆，因为，则.3.（2013安徽高考）下列曲线中离心率为的是（）（A）（B）（C）（D）学科网【解析】选B.由得.4.（2013福建高考）若双曲线的离心率为2，则等于（）A.2B.C.D.1【解析】选D.由，解得a=1或a=-1（舍去）.5.（2013海南宁夏高考）双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为（）（A）（B）2（C）（D）1【解析】选A.双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线的距离为.6.（2013山东高考）设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为().A.B.5C.D.【解析】选D.w.w.w.k双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,.7.（2013山东高考）设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为().A.B.C.D.【解析】选B.抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为A,所以△OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为.u.c.o.m8.（2013天津高考）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）ABCD【解析】选C.由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为.9.（2013全国Ⅰ）设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于()（A）（B）2（C）（D）【解析】选C.设切点，则切线的斜率为.由题意有又，解得:.10.（2013全国Ⅱ）双曲线的渐近线与圆相切，则r=（）（A）（B）2（C）3（D）6【解析】选A.本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r，可求r=.11.（2013江西高考）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为A．B．C．D．【解析】选B.因为，再由时有从而可得.12.（2013江西高考）设和为双曲线()的两个焦点,若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【解析】选B.由有,则.13.（2013四川高考）已知双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则=（）A.B.C.0D.4【解析】选C。方法一：由题知，故，∴.方法2：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程，则左、右焦点坐标分别为，再将点代入方程可求出，则可得，故选C。14.（2013湖南高考）抛物线的焦点坐标是（）A．（2，0）B．（-2，0）C．（4，0）D．（-4，0）【解析】选B.由,易知焦点坐标是，故选B.15.（2013广东高考）已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为．【解析】，，，，则所求椭圆方程为.答案:.16.（2013福建高考）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________【解析】由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又。答案:2.17.（2013辽宁高考）已知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为。【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),于是由双曲线性质|PF|－|PF′|＝2a＝4而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.答案:918.（2013北京高考）椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_________；的小大为__________.【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于基础知识、基本运算的考查.∵，∴，∴，又，∴，又由余弦定理，得，∴，故应填.答案:19.（2013上海高考）已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________.【解析】依题意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。答案：320.（2013重庆高考）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为．【解析】方法1，因为在中，由正弦定理得则由已知，得，即设点P，由焦点半径公式，得则记得由椭圆的几何性质知，整理得解得，故椭圆的离心率方法2由方法1知由椭圆的定义知，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.答案：21.（2013湖南高考）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为端点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两直角边分别是是虚半轴长，是焦半距，且一个内角是，即得，所以，所以，离心率.答案：22.（2013湖南高考）过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为A，B，若（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为.【解析】,答案：2.23.（2013四川高考）抛物线的焦点到准线的距离是.【解析】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2答案：224.（2013安徽高考）点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.（I）证明:点是椭圆与直线的唯一交点；（II）证明:构成等比数列.【解析】（I）方法一：由得代入椭圆,得.将代入上式,得从而因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.方法二：显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的另外交点，代入的方程，得即故P与Q重合。方法三：在第一象限内，由可得椭圆在点P处的切线斜率切线方程为即。因此，就是椭圆在点P处的切线。根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。（II）的斜率为的斜率为由此得构成等比数列。25.（2013福建高考）已知A,B分别为曲线C：+=1（y0,a>0）与x轴的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.(Ⅰ)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。【解析】方法一：(Ⅰ)当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°.(1)当∠BOT=60°时,∠SAB=30°.又AB=2,故在△SAB中,有(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上,(Ⅱ)假设存在,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SB为直线的圆上,故.显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为.由设点故,从而.即TMTM由得由,可得即经检验,当时,O,M,S三点共线.故存在,使得O,M,S三点共线.方法二:(Ⅰ)同方法一.(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SO为直径的圆上,故.显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为由设点,则有故由所直线SM的方程为O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.故存在,使得O,M,S三点共线.2012年考题1．（2012海南宁夏高考）已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A． B． C． D．【解析】选A点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图，,故最小值在三点共线时取得，此时的纵坐标都是，所以选A（点坐标为）。2．（2012海南、宁夏高考）双曲线的焦距为（）A．3 B．4 C．3 D．4【解析】选D.由双曲线方程得，于是，选Ｄ.3．（2012山东高考）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26．若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（）（A）(B)(C)(D)【解析】选A.本题考查椭圆、双曲线的标准方程。对于椭圆，曲线为双曲线，，标准方程为：4．（2012山东高考）已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为．【解析】本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆得圆与坐标轴的交点分别为则所以双曲线的标准方程为。答案： 5．（2012江苏高考）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径作圆，过点P作圆的两切线互相垂直，则离心率=。【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图，切线互相垂直，又，所以是等腰直角三角形，故，解得。答案： 6．（2012海南宁夏高考）设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为．【解析】双曲线的右顶点坐标，右焦点坐标，设一条渐近线方程为，建立方程组，得交点纵坐标，从而答案：7．（2012海南宁夏高考）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______________【解析】将椭圆与直线方程联立：，得交点；故；答案： 2011年考题1、（2011海南宁夏高考）已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．【解析】选C.由抛物线定义，即：.2、（2011全国Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是，，则双曲线方程为A．B．C．D．【解析】选A。已知双曲线的离心率为2，焦点是，，则c=4，a=2，，双曲线方程为.3、（2011全国Ⅱ）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为(A) (B) (C) (D)【解析】选B。设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，，∴离心率.4、（2011全国Ⅱ）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A． B． C． D．【解析】选D。已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴，椭圆的离心率.5、（2011全国Ⅱ）设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（）A． B． C． D．【解析】选B。设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则=.6、（2011安徽高考）椭圆的离心率为（） （A） （B） （C） （D）【解析】选A。椭圆中，，∴，离心率为.7、（2011江苏高考）在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（）A．B．C．D．【解析】选A.由，.8、（2011福建高考）以双曲线QUOTE的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是AQUOTEBQUOTECQUOTEDQUOTE【解析】选A.右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为，即，，圆方程为，即AQUOTE.9、（2011江西高考）设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）Ａ．必在圆内 Ｂ．必在圆上Ｃ．必在圆外 Ｄ．以上三种情形都有可能【解析】选A.由=得a=2c，b=，所以，所以点到圆心（0，0）的距离为，所以点P在圆内.10、（2011辽宁高考）设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A． B． C． D．【解析】选B.因为，设，根据双曲线定义得，所以，∵，∴为直角三角形，其面积为.11、（2011辽宁高考）双曲线的焦点坐标为（）A．， B．，C．， D．，【解析】选C.因为a=4，b=3，所以c=5，所以焦点坐标为，.12、（2011陕西高考）抛物线的准线方程是（）（A）4y+1=0(B)4x+1=0(C)2y+1=0(D)2x+1=0【解析】选A.P=，准线方程为y=，即.13、（2011陕西高考）已知双曲线C：(a＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的浙近线相切的圆的半径是（）A.B.C.aD.b【解析】选D.圆的半径是（C，0）到渐近线的距离，所以R=.14、（2011广东高考）在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）。若线段OA的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是______;【解析】OA的垂直平分线的方程是y-，令y=0得到x=.答案：.15、（2011广东高考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是．【解析】设所求抛物线方程为,依题意,故所求为.答案:16、（2011山东高考）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为________.【解析】过A作轴于D，令，则，，。答案:17、（2011江苏高考）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则________.【解析】利用椭圆定义和正弦定理得b=2×4=8答案:18、（2011上海高考）已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为【解析】双曲线的中心为O（0,0），该双曲线的左焦点为F（－3,0）则抛物线的顶点为（－3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是答案:19、（2011上海高考）以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．【解析】双曲线的中心为O（0,0），该双曲线的右焦点为F（3,0）则抛物线的顶点为（0,0），焦点为（3,0），所以p=6，所以抛物线方程是).答案:20、（2011福建高考）已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为__________；【解析】设c=1，则，答案:21、（2011福建高考）已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为。【解析】由已知C=2，答案:22、（2011海、宁高考）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．【解析】如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，则答案:323、（2011重庆高考）过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则|FP||FQ|的值为__________.【解析】代入得：设又答案:24、（2011上海高考）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，．yO...Mx.如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆”与，轴的交点，是线段的中点．yO...Mx.（1）若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；（2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点．求证：当取得最小值时，在点或处；（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．【解析】（1），，于是，所求“果圆”方