2023年考研数学二真题及答案解析

2023年全国硕士硕士入学统一考试

数学二真题分析

一、选择题：1〜8小题，每题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目规定的,

请将所选项前的字母填在答题纳指定位置上.

l-cos>/x八

-------------Y。

(1))若函数/(x)=ax在x=0处持续，则()

b,x<0

(A)ab(B)ab=-—(C)ab=0(D)ab-2

2

【答案】A

1

r~xii

【解析】lim———~—=lim——=——,f(x)在x=0处持续——=b==—.选A.

xWaxXT。'ax2a2a2

（2）设二阶可导函数/（幻满足A1）=/（-1）=1"（0）=-1且/”（尢）＞0,则（）

(A)jf[x}dx>0

(C)£f^x)dx>£f{x}dx(£))£f(x)dx<£f(x)dx

【答案】B

【解析】

/（x）为偶函数时满足题设条件，此时，/1）公=J：f（x）公，排除C,D.

取/(尤)=2/-1满足条件,则J：f(%)加=J：(2/_1)公=_|<0，选B.

（3）设数列｛当｝收敛，则（）

⑹当㈣(x.+框［)=0时,

(A)当limsinx,,=0时，hmxn=0Iimxz/=0

/：—>QOW->oO

(C)当lim(xw+%,：)=0时，hmxn=0(£))当lim(xM+sinxw)=0时，\imxn=0

〃一>00n-x»w—>oon-^x>

【答案】D

【解析】特值法：（A）取光〃=»，有limsinx”=0,limx〃=〃，A错;

w->ooHT8

取无”=一1,排除B,C.因此选D.

（4）微分方程的特解可设为

(A)Ae1'+e2'(5cos2x+Csin2x)(B)Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)

(C)Ae1'+xelx(Bcos2x+Csin2x)(D)Axe2'+e2'(JBCOS2X+Csin2x)

【答案】A

2

【解析】特性方程为：/1-42+8=0=>/!12=2±2/

f(x)=e2x(1+cos2x)=e2x+e2xcos2xy：=Aelx=xe2r(Bcos2x+Csin2x),

故特解为：y*=X*+乂=A/*+xe2x(3cos2x+Csin2x),选C.

(5)设/(x,y)具有一阶偏导数，且对任意的(x,y),均有二(龙，)')>0,二(乂>)〉0,则

dxdy

(A)/(O,O)>/(1,1)(B)/(O,O)</(1,1)(C)/(0,1)>/(1,0)(D)/(0,1)</(1,0)

【答案】c

【解析】:在')')>0,0('')')<0,0/(x,y)是有关XHU单调递增函数,是有关旷的单调递减函数，

dxoy

因此有/(0,1)</(1,1)</(1,0),故答案选D.

(6)甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，图中实线表达甲的速度曲线丫=匕。)(单

位：mis),虚线表达乙的速度曲线丫=为«)，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追

上甲的)时刻记为0(单位：s),则()

v(m!s)

(A)/0=10(B)15<Z0<20(C)125(D)“25

【答案】B

【解析】从o到u这段时间内甲乙口勺位移分别为「v,⑴故j：3。谨,则乙要追上甲，则

pv2(t)-vl(t)J/=10)当=25时满足，故选C.

J0

jo)

(7)设A为三阶矩阵，D=(%%，%)为可逆矩阵，使得KAP=1，则4(%%乌)=()

；2)

(A)+a2(B)a2+2a3(C)%+%(D)a}4-2a2

【答案】B

【解析】

']f0、(Q、

P'AP=1=AP=P1n4(/,%2，3)1

乌)=(，。。=a2+2<Z3,

、2)、VI2,

因此B对的。

-20o--21O--10o-

(8)设矩阵A=021,8=020,c=020，则()

001001002

(A)A与C相似,8与C相似(B)A与C相似,8与C不相似

(C)A与C不相似,8与C相似(D)A与C不相似,B与C不相似

【答案】B

【解析】由|/IE—d=0可知A的特性值为2,2,1.

’100、

由于3—r(2E—4)=1,，A可相似对角化，即4~020

、。02,

由b£一却=0可知B特性值为2,2,1.

由于3-r(2E—3)=2,；.B不可相似对角化，显然C可相似对角化，二A~C,但B不相似于C.

二、填空题：9T4小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(9)曲线y=1+arcsin2)的斜渐近线方程为

【答案】y=x+2

【解析】

lim—=lim(l+arcsin—)=l,lim(y-x)=limxarcsin—2,

XfooXx—>00Xx—>00'/XT8

y-x+2

(10)设函数y=y(x)由参数方程《确定，则T=______

y=sinrdx.

—it=。

【答案】--

8

【解析】

dydxdycost

—=cosr,—=Al+et=>—=-----

dtdtdxl+ez

'cost)

/丁_+/J__sin/(I+d)-cos/dd2y_1

n芯—dx-(i+d)2=正/~~8

~dtV'

'4-QOln(l+x)

(11)■dx-_______

I。(1+x)2

【答案】1

【解析】

+00+必.=-Jln(l+尤)41

(1+x)o1+x

0

ln(l+x)|^+彳O0

------^dx

(1+x)2

1+L1°一!0

(12)设函数f(x,y)具有一阶持续偏导数，且df(x,y)="Zr+x(l+y)eycly,/(0,0)=0,则

f(x，y)=

【答案】孙e"

【解析】/；=yey,f'.=x(l+y)ey,f(x,y)=Jyeydx=xyey+c(y),故

yyyy

f'y=xe+xye+c'(y)=xe+xye,

因此c'(y)=0,即c(y)=C,再由f(0,0)=0,可得/(%,)，)=孙

【答案】

【解析】

(,八⑶JP。虫[P.tan丁x,“

【答案】Incosl.

【解析】互换积分次序:

tanx

['dy['tanXdx=('dx\dy=f'tanxdx-Incos1.

JoJyxJoJo尤Jo

41-2I

(14)设矩阵A=12的J一种特性向量为1，则a=

31-12

【答案】-1

【解析】设&=1由题设知Aa=/la，故

2J

41一2、1、p、

12a1=AIn3+2a

3I2J2J(2

故a=-l.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字阐明、证明过程或

演算环节.

[yjx—te'dt

(15)(本题满分10分)求极限lim虫,=-

*G

2

【答案】-

3

fyJx-te'

【解析】lim—~=——dt,令x—，=〃，则有

Xf0

£yjx-te'dt=_j°y/uex+udu=£y[uex^udu

£y[uel,du

原式二limlim—

3

XTOA-»0

户

£du

limlim

r-»03y3

J

2

dydy

(16)(本题满分10分)设函数/(〃/)具有2阶持续偏导数，y=f(ex,cosx),求多,一

dxx=0dx-

【答案】电,d?y

兀(1，D，

dxA=0

【解析】

x=0

y=/(e*,cosx)=>y(0)=/(1,1)

dy

=>­(港+£(-sinx))[°=，(L1)•1+加,1)•0=/；(L1)

dxx=0

=>E=Z'ie2v+亢"(—sinx)+力;e*(—sinx)+力；sii？x+工e*-f；cosx

ax~

/(1,1)+£(1,1)-£(U)

dx^x=0

结论:

dy

=，(U)

公0

=/(□)+水,11)-£(1,1)

(17)(本题满分10分)求皿七占lnfl+工

…长"In

【答案】-

4

【解析】

期鲁―(1+§=/沁(1+幻办=；仙(1+处加=例(1+力咻4£^1办)=；

(18)(本题满分10分)已知函数y(x)由方程/+；/一3%+3丁-2=0确定，求y(x)的极值

【答案】极大值为y⑴=1,极小值为y(T)=0

【解析】

两边求导得：

3x2+3/y,-3+3y'=0(1)

令y'=0得尤=±1

对(1)式两边有关X求导得6x+6y(y')2+3y2y"+3y"=0(2)

一X=1［x=—1

将％=±1代入原题给的等式中，得4or\，

7=1［y=o

将x=l,y=l代入(2)得y"(l)=—1<0

将x=-l,y=O代入(2)得y"(—1)=2>0

故x=l为极大值点，y⑴=1；x=—l为极小值点，y(—D=0

(19)(本题满分10分)设函数/(x)在区间［0,1］上具有2阶导数，且/(1)>0,6111/3<0,证明：

z0*X

(I)方程/(X)=0在区间(0,1)内至少存在一种实根；

(口)方程/(x)/(x)+(/(x))2=0在区间(0,1)内至少存在两个不一样实根。

【答案】

【解析】

(I)f(x)二阶导数,/(1)>0,lim^<0

Xf0+X

解：1)由于根据极限的保号性得

10*X

三3>0,也€(0,5)有^^<0,即/(x)<0

X

进而出)€(0»)有〃b)<0

又由于/(X)二阶可导，因此/(X)在［0,1］上必持续

那么在［5,1］上持续，由/3)<0,/⑴>0根据零点定理得:

至少存在一点Je(b,l),使/G)=0,即得证

(II)由(1)可知"0)=0,对€(0,1),使fC)=0,令/(x)=〃x)/(x),则/(0)=/©=0

由罗尔定理切e(0看),使广⑺=o,则尸(0)=尸①)=尸©=。

对F(x)在(0月),何看)分别使用罗尔定理：

切e(0,7),72€(〃，)且丐,%e(0,l)，7#%,使得尸,(7)=F(小)=0,即

F'(X)=/(x)r'(％)+(/(x)y=0在(0,1)至少有两个不一样实根。

得证。

(20)(本题满分11分)已知平面区域£>={(%则f+:/<2)，},计算二重积分爪％+1)”办，。

D

■一华05万

【答案】—

4

【解析】+dxdy-^(^x1+\^dxdy-l^xrdxdy-^-^dxdy-2^-d0^r2cos20d0+7r--

DDDDoo4

(21)(本题满分11分)设y(x)是区间(0,内的可导函数，且y(l)=0,点尸是曲线L:y=y(x)上

任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0,5),法线与x轴相交于点(XdO),若Xp=Yp,求L

上点的坐标(x,y)满足的方程。

【答案】

【解析】设p(x,y(x))的切线为丫―y(x)=y'(x)(X—%),令X=0得=y(x)-y'(x)x,法线

y_y(x)=一一二(X—x),令y=0得Xp=x+y(x)y'(x)。由X=Yy-xy'(x)=x+yyz(x),即

y(x)

化+l]y'(x)=2-10令)="，则y^ux，按照齐次微分方程的解法不难解出

7xx

12

—ln(w+1)+arctanu=-\n\x\+C,

x

(22)(本题满分11分)设3阶矩阵A=(«,七,火)有3个不一样的特性值，且。3=4+2。2。

(I)证明：r(A)=2

(n)若尸=/+。2+。3，求方程组Ax=4底I通解。

【答案】(D略；(II)通解为kR

【解析】

(I)证明：由。3=4+2a2可得4+2%-。3=。，即线性有关，

因此，同=|«1a2阂=0,即A/J特性值必有0o

又由于A有三个不一样的特性值，则三个特性值中只有1个0,此外两个非0.

且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为A=4，4*4*0

、0>

厂⑷=r(A)=2

(II)由(1)(4)=2,知3-/"(4)=1,即Ar=0的基础解系只有1个解向量,

、r1

由%+2a2-4=0可得(，，=0,则Ar=0的基础解系为2

7-17

1

又£=,+&2+%，即(4,02,,则Ax=4的一种特解为

(\\rn

综上，加=尸的通解为女2+1,keR

（23）（本题满分11分）设二次型/（%],为2，X3）=2*一X；+竭+2F々一8x/3+2々工3在正交变换

X=QY下的原则型4#+4及，求"时值及一种正交矩阵。.

1I1

耳

Fa一

12

oX

一

【答案】a=2;Q=f一

而

耳1(1

【解析】

2

r

f(x„x2,x3)=XAX,其中A=11

I1a,

由于/（为龙2，X3）=XZX经正交变换后，得到的原则形为4