2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评五十七

核心素养测评五十七

椭圆

巩固提升练(3。分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

22

1.(2019•北京高考)已知椭圆匚"=1(a>b>0)的离心率为丄,则()

“2h27

A.a2=2b2B.3a2=4b2

C.a=2bD.3a=4b

【解析】选B.离心率平方e2=J=H」，即4(a2-b2)=a2,即3a2=4b2.

力2a

22

2.已知椭圆匚匚=1(a>b>0)的一个焦点是x+y-6x+8=0的圆心，且短轴长为8,

C26222

则椭圆的左顶点为()

A.(-3,0)B.(-4,0)

C.(-10,0)D.(-5,0)

【解析】选D.因为圆的标准方程为(x-3)2+y2=l,所以圆心坐标为⑶0),所以c=3,

又b=4,所以ar'%2+c2=5,因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为

(-5,0).

3.已知椭圆=咤=1(a>b>0)的离心率为止,椭圆上一点P到两焦点距离之和为12,

cZ624

则椭圆短轴长为()

-1-

A.8B.6C.5D.4

22।-

［解析］选A.椭圆匸三=1(a>b>0)的离心率e0三椭圆上一点P到两焦点距

力2M2nW

离之和为12,即2a=12,可得a=6,c=2一,

所以b二,Q2p2=J36-20=4,则椭圆短轴长为2b=8.

2

4.设r,F分别为椭圆亍+y2=l的左、右焦点，点P在椭圆上，且|相+而|=2、向

则NFPF=()

12

A.-B.-C.-D.-

6AR?

【解析】选D.若0为坐标原点，

即0为J'的中点，则PF+PF=2-^),

因为I国+乐I=2\用,所以|P0入3，

又|01|二.2|=\"二、，§

所以P,F,F在以点0为圆心的圆上，且FF为直径，所以NFPF二.

1212122

”22

5.已知点P(x,y)是椭圆上+二v=1上一点,F,F是左、右焦点，若NFPF取最大值

11K161212

时，则aPFF的面积是()

12

A.巴-B.12

C.16(2+v3)D.16(2-^)

22

【解析】选B.因为椭圆方程二2_=1,

2516

-2-

所以a=5,b=4,c=；25-16=3,

因此，椭圆的焦点坐标为F(-3,0),F(3,0),

12

根据椭圆的性质可知，当点P与短轴端点重合时，ZFPF取最大值，

12

则此时aPFF的面积S=2X丄X3X4=12.

12?

二、填空题(每小题5分，共15分)

2..2、

6.(2020•南阳模拟)已知0为坐标原点,F为椭圆C:—v世_=1(a>b>0)的右焦点，

“2h2

过点F且倾斜角为120°的直线与椭圆C交于第一象限一点P,若APOF为正三角

形,则椭圆C的离心率为.

【解析】因为|OF|=c,△POF为正三角形，

所以|P0|二c,

则点P的坐标为gc,?C)，

整理得e4-8e?+4=0,解得

所以封丿4-2\"=、争1・

答案:

-3-

7.已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则

|PA|+1PF|的最大值为,最小值为.

【解析】设F是椭圆的右焦点，则F(2,0),

11

所以IA叩〜②

所以|PA|+|PF|=|PA卜|PFj+6,

又一|AFjWlPAHPFjW|A叩(当P,A,「共线时等号成立)，

所以|PA|+|PF|W6+J2,|PA|+|PF|26-J3

答案：6+V26飞2

8.点M是椭圆二式广1(a>b>0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点

62

F,圆M与y轴相交于P,Q,若△PQM是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是

--n

【解析】不妨设圆M与椭圆相切于左焦点F,

2

设M(-c,y”)，由圆的性质可知：|MF|=|MQ|=|MP|=|yJ,则PQ1二y5-C2,

即|PQ|2=4yk4c2,由△MPQ为钝角三角形，即NPMQ为钝角，

贝IcosNPMQ」：在广+厶七广一"'1三1遅KO,所以2c2-y2<0.

又因为M(-C,yM)在椭圆上，代入化简得巧詐&”=»,故2c2-行-:丿~<0,

化简得(£)'-4(£7+1>0,

-4-

即e4-4e2+1>0,解得e2〈2、,g或e2>2+y3，又e£（0,1）,所以e2<2—yg,故0<e<

在12,即离心率的取值范围是（0,、丁）

答案：（o,三目

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.已知椭圆C:—^=l（a>b>0）的离心率e=~,且椭圆C经过点（2,、③.

“2h22

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）过点P⑵1）作直线I与该椭圆相交于A,B两点,若线段AB恰被点P所平分,

求直线/的方程.

rc_1

【解析】（1）由题意得（c2=Q2f2.解得a2=8,b2=6,所以椭圆C的方程为

43.

"-+丁-b2=1"

日占.

PA

---------1-:-=],

⑵由题意点P在椭圆内部，设A(x,y),B(x,y),则《6r两式相减,

1122I2-.2

I三v+里=1,

,86

得所&1丁”+61+及丿6二不丿=0,AB的中点为P(2,1),所以x+x=4,y+y=2,

o01212

代人上式得纪土丄+心二2=0,得k=叁士=3

R6AB必』?

-5-

所以直线/的方程为y-k-三(x-2),即3x+2y-8=0.

2

10.若A(x,y),B(x,y)是椭圆E:—+y2=l上位于x轴上方两点,且x+x=2.

1122g12

（1）若y+y=1,求线段AB的垂直平分线的方程.

12

⑵求直线AB在y轴上截距的最小值.

【解析】（1）设AB的中点为M,则以1,丄）,

2

J+*=L

由4+=L

得小宀53+(y-y)(y+y)R,

g1212

所以—(x-x)+(y-y)-'2=二,

91212xx-%29

即k二-乙,所以线段AB的垂直平分线的斜率为所以线段AB的垂直平分线的方

AB92

程为y-l=-(x-1),即9x-2y-8=o.

77

⑵由题意知AB斜率存在，设直线AB：y=kx+m.

由卩,=kx+m,得(i+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,

(x2+9y2=9,

x+x=-18km=2,即9k2+9km+1=0,①

121+*2

因为A(x,y),B(x,y)是椭圆E:—+y=1上位于x轴上方两点，所以k<0,m>0,②

1122g2

-6-

△=(18km)2-4(1+9k2)(9m2-9)>0,

即9k2-m2+1>0,③

结合①②得m=(-k)+—当且仅当k=-L时，取等号，此时，k=-l,m工满足③.

-9kRaRR

所以直线AB在y轴上截距的最小值为l

综合运用练(15分钟35分)

1.(5分)(2020•济南模拟)已知两圆C:(x-4)2+y=169,C:(x+4)2+y2=9,动圆在圆

122

C内部且和圆C相内切,和圆C相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()

112

【解析】选D.设圆M的半径为r,

则|MC|+|MC|=(13-r)+(3+r)=16>8=|CC],所以M的轨迹是以C,C为焦点的椭

121212

圆，且2a=16,2c=8,

22

故所求的轨迹方程为3.

2.(5分)(2019•全国卷I)已知椭圆C的焦点为F(-1,0),F(1,0),过F的直线

122

与C交于A,B两点.若|AF|=2|FB|,；|AB|=|BF|,则C的方程为()

221

A.%与B.Q-1

232

c.9=lD.^-Z=l

4aE4

-7-

【解析】选B如图,由已知可设|F?8|二必则|£F?|=2n,|8FI|=MB|=3n,由椭圆的

定义有2a=旧品|+|8F/=4n,所以MF/=2a-MF/=2n.在△AFB中，由余弦定理

推论得cosZFAB*型主

19*9r)*In旦

在4AFF中，由余弦定理得4n2+4m-2•2n•

12

2n•丄=4,解得"必.

所以2a=4n=2\g,所以a=\.?,所以b2=a2-C2=37=2,

22

所以所求椭圆方程为tva_=i.

3.(5分)已知椭圆C:二上=l(a>b>0)的右焦点为F,直线/:2x-y=0交椭圆C于A,B

/?262

两点，且IAF|+1BF|=6,若点F到直线I的距离不小于2,则椭圆C的离心率e的取

值范围是()

A住,1)B.惇,1)

C出,1)D.(0,三

【解析】选B.设F是椭圆的左焦点，由于直线/:2x-y=0过原点，因此A,B两点关

1

于原点对称，所以四边形AFBF是平行四边形,所以|BF|+|BF|=|AF|+|BF|=6,即

11

-8-

2a=6,a=3,点F(c,0)到直线/的距离d=&22,所以又c<a,即疗Wc<3,

v5

所以e旦之

n3La'J

4.(10分)已知椭圆C:~+il(a>b>0)的离心率为上，点M(2,1)在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程.

(2)直线I平行于。此且与椭圆C交于A,B两个不同的点.若NA0B为钝角，求直线

/在V轴上的截距m的取值范围.

【解析】⑴依题意有=z解得Q=8,

Id2

二2,

=1,

22

所以所求椭圆C的方程为土卫1=1.

⑵由直线/平行于0M,得直线/的斜率k=k=丄，又/在y轴上的截距为m,所以/

OM2

,\y=-x+m,

的方程为y=lx+m.由，,2r

7［土+厶=1,

k82

得X2+2mx+2m2-4=0.

因为直线/与椭圆C交于A,B两个不同的点，所以△=(2m)2-4(2m2-4)>0,

解得-2<m<2.

设A(x,y),B(x,y),则x+x=-2m,xx=2m2-4,

11221212

又NAOB为钝角等价于苏•丽<0且m/0,

XX+yy

则OA*OB-1212

/+m)(Ix2+m)

-9-

+xx+—(x+x)+m2<0,将

412712

x+x=-2m,xx=2m2-4代入，

1212

化简整理得m2<2,即、粒<m<2

故m的取值范围为（320）U（0,v2）.

5.（10分）（2020•武汉模拟）如图，已知椭圆「：二+匚=1左、右焦点分别为F,F,

4312

分别过F,F作两条平行直线AB,CD交椭圆r于点A,B,C,D.

12

⑴求证：|AB|=|CD|.

⑵求四边形ABCD面积的最大值.

【解析】(1)设直线AB的方程为x=my-l,

22

A(x,y),B(x,y),将x=my-1代入二+1_=1,整理得(3m2+4)y2-6my-9=0,

1122AR

匕「，、,丄-6m_9

所以y+y-_--,yy―—--.

121

Rm2+42+J

设C(x,y),D(x,y),

3344

22

因为AB〃CD,所以CD的方程为x=my+1,代入7-=1,

4a

整理得(3m2+4)y2+6my-9-0,

匕s〜丄一6m_9

所以y+y-------------,yy--------------,

34^m2+4343毎+4

所以y+y=-(y+y),yy二yy,

12341234

-10-

所以|y「yj=|y「yj,

因为IAB|i4-m21y-yj-

ICDI|y,-yJ,所以IABI=ICDI.

⑵由⑴知四边形ABCD是平行四边形，

所以S=4S,S=-•|OF|•|y-y|,

°ABCDAAOBAAOBy112

所以S=2•Iy-yI

。ABCD12

2

+y/-4yy=24|

=J(yY2L2匕心

\N(3m+4尸

二24I1Z,

[“1+僧2丿+/+6

设t=1+nv,f(t)=9t+丄+6(t21),

t

则f'(t)=9-丄=竺二＞0,

Mt2

所以f(t)在[1,+8)上递增，f(t)=f(1)=16,

min

故m=0时，四边形ABCD面积取最大值6.

【拓广探索练】

1.设点P为椭圆C:二£^=1上一点,F,F分别是椭圆C的左、右焦点,且APFF

1912