新高考艺术生40天数学90分讲义数列通项（解析版）

新高考艺术生40天突破数学90分讲义专题数列通项

【知识点总结】

一、观察法

根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.

二、利用递推公式求通项公式

①叠加法：形如。,用=4+f(n)的解析式，可利用递推多式相加法求得与

②叠乘法：形如α,,=∕(")”,ι(4尸0)(〃22,〃€")的解析式，可用递推多式相乘求

得

③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差(等比)数列

构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除

以指数法.

④利用S“与死的关系求解

形如/(S,,S,τ)=g(α,,)的关系，求其通项公式，可依据

ʃS∣(〃=1)步LlJ

an=<*,求出

Isil-Sn.,(n≥2,n∈∕V)"

【典型例题】

例L(2023∙辽宁阜新•校考模拟预测)数歹∣j｛q｝的前〃项和为S,,=/+2%则%=()

A.11B.10C.9D.8

【答案】A

【解析】因为S,,=/+2”

22

JiIflUS5=S+2×5=35,S4=4+2×4=24,

所以/=Ss-S.=35-24=11.

故选:A.

例2.(2023•全国•高三专题练习)数列｛q｝的前4项为:则它的一个通项公式

是()

B.C.D.-------

2n-l------------------------2〃+1------------------------3n-l3〃+1

【答案】C

【解析】将《可以写成

25o11

所以｛%｝的通项公式为小不

故选：c

例3.(2023・高三课时练习)在数列｛4,,｝中，若4=2,all+l=aπ+n+l,则｛q,｝的通项公式

为______

H2÷H+2

【答案】'=

2

【解析】由题意可知数列｛%中，q=2,。,用=/+"+1,

故可+|一4=〃+1，

+

所以q=q+(%-01)+(¾—%)+(¾-¾-l)

+τ+(i+2)/+〃+2

=2+2+3+

22

n2+〃+2

故答案为：a

n2

例4.•高三课时练习)在数列｛%｝中，若则｛%｝的通项公

(2023q=2,6Z,+1=2H+1L,,I

式为.

【答案】an=n-2"

【解析】由题意知“毛+小，故TTW卜炉,

a`%a_2×22×32n

×-×-××—n—=2×-----×------×X------

%a2an_x12H-I

=2n×π=n∙2n，

故答案为：。〃=人2"

例5.(2023秋•辽宁葫芦岛•高三葫芦岛第一高级中学校考期末)在数列｛%｝中，4=4,

W田=(〃+2)%,则数列｛可｝的通项公式为例=.("∈N*)

【答案】2n(n+l)

【解析】因为=("+2)”,,,

所以%Lh〃+2

ann

所以5=]an

,,-t4,/+1

,

41a22a33an-2n-2'an,ln-∖

r、』4n/2+1

∕5frtZ-——=τ×-×-×∙∙∙∙×--×-

%a2a3an_2an^123n-2n-∖

,,,S__〃("+i)⅞_"("+i)

r以l1—C—C，

Γ∏q2q2

因为4=4,所以4=2"("+l),4=4符号该式，

故答案为：2n(n+l)

S1

例6.(2023•全国•高三专题练习)记S,,为数列｛%｝的前〃项和，已知4=1,，=是公差为Q

的等差数列，则｛g｝的通项公式为

【答案】4=」~~~-,

n2

S

【解析】；4=1,，S=q=l,，」=1,

q

L

又∙.∙1}}是公差为;的等差数列，

.恪=1+:("T)=W,.∙.S,,=("+2)"",；.当"22时，S=5+∣)""T,

7l

an33"3"'3

整理得：(«-1)«„=(«+1)«„_,，,=合，

J3un-∖〃1

aa

•a-a×"Q××'-'X"134nn+∖«(«+!)

..n_QIX-X—×∙∙∙×-----X-----=lx—×-×...×-------×------=---------,

4%an-2an-∖23n-2n-∖2

显然对于π=1也成立，.∙.{an}的通项公式为=吗”.

故答案为：atl=--—•

例7.（2023秋•贵州贵阳♦高三统考期末）已知数列｛可｝满足〜=六j，〃eN",若%=：,

u*π>

则4=.

【答案W

a.11

【解析】法一：由咫=三41=3,可得：%=，，

a11

由%=五方1=亍可得:％=不

又"2=虐Tj可得i=I

12q+1C1

法二：由题得4≠0,则等式两边同取倒数得一=一^=2+一,

¾÷Ian4

则」-一'=2,rteN∙f则数列I'1为公差为2的等差数列，

贝∣j'='+2（"-4）=2"+l,当〃=1,则工=3,贝ijq=!，

⅛明«!3

故答案为：—.

例8.（2023•高三课时练习）在数列｛q｝中，已知4=2,¾÷1=ʒ771>则｛5｝的通项公式

为______

【答案】¾=-^-(neN')

6/2-5v/

【解析】由。向=三:，

3%+1

13a,+lC1

两边取倒数得一=y—=3+一,

¾÷lan4

11C

即-------=3,

*an

又因为，=1,

q

所以是首项为公差为3的等差数列，

Lɪ1”ι∖6n-5

所以一=5+3("T)=-ʒ-,

故q,=]^("eN*),

6〃一5'7

故答案为：¾=-^-(∏∈N,)

6∕j-5x'

例9.(2023♦全国•高三专题练习)若“∕=l,an+∣-2an+3,则通项公式a”=

【答案】2"+∣-3

【解析】由q-∣=2a,,+3,得%+3=2(a,,+3).

令2=4+3,贝∣J4=q+3=4,K⅞it=£2i⅛=2.

h,,M+3

所以｛〃｝是以4为首项，2为公比的等比数列.

.∙.b,=4χ2"-'=2"+',：.¾=2"+l-3.

故答案为：2"+'-3

例10.(2023・全国•高三专题练习)已知数列｛%｝的前八项和为

5,,吗=1,(〃+3电=〃5向(”€1<).求数列h｝的通项公式；

SJiIɜ

【解析】因为("+3)S,,=，电…显然Sz,>0,所以年=与二，

'n〃

S)SaSaS114567n+2

当“22时，由累乘法得一《一=丁丁---7,

SlS2∂3S1234n-∖

S〃(〃+1)(〃+2)++

则肃=」~~三"又S∣=q=l,所以SLI八

3166

所以当〃22时，a-,τ="("+l),”=1时，4=1也符合，

所以%=当D

例11.（2023・全国•高三专题练习）已知数列出｝满足

123YiYi

\-----7~^j^∖-----r+1∖++^i-----~D，求数列他J的通项公式.

1,1）

IOg2⅛1Iog2b2Iog2⅛3Iog2bn2

123nn

【解析】因为1—r÷ι—r+τHr++1—二=7①，

Iog2½Iog2b2Iog2b3Iog2bn2

所以当〃=1时，可知~—r=7，则4=4,

lθg2⅛∣2

123n-∖H-I_

当〃≥2时，可知----+^----÷^-----÷+^j----------=-z-

11

lθg2*.°g2⅛°g2⅛lθg2^-ι2

__n1

①一②得y；----Γ=ɔ.即log?⅛=2",

所以"=22"=4"5≥2）,

又4=4满足"=4",

所以数列出｝的通项公式为勿=4".

例12.（2023•高三课时练习）（1）已知数列｛4｝满足4+2%+3/+44++nan=n,求知；

（2）已知数列｛q｝的前"项和为S,,,若∕>0,S,,>l,且6S,,=3+D（q+2）,求%.

【解析】（1）设4=α∣+2α2+30i+4q++na,l=n,

当n=∖时，fl,=TJ=1；

当“≥2时，nan=Tn-Tn^=∏-（w-l）=l,得0,,=一，而q=l,

n

也满足此等式.所以为=』(〃€N*).

n'7

(2)当〃=1时，4=S[=，(4+1)(4+2),

即4—34+2=0,

解得q=1或4=2,

因为％=S∣>1,所以4=2.

当“≥2时，a”=Sfl-Si=；(4+1)3+2)-！(/_|+1)(%+2)，

OO

整理得3-%—3)(4+%)=0,

由α,,>0,则a,,+αflτ>0,得4,-α,τ=3,

下是数列｛q｝是以2为首项，3为公差的等差数列，

所以α,,=2+3(M-1)=3∕J-1(Π∈N,),

例13.(2023•全国•高三专题练习)己知数歹∣J{%}的前及项和为S,,,S,=2%-3”.求数列{q,}

的通项公式％；

【解析】由S“=2a”-3〃，当”=1时，S1=at=2al-3,解得α∣=3,

当n≥2时，S,-=2α,ι-3(a-l),a,,=Sn-Sn_t=2al,-2an^-3,

即α.=2α,,τ+3,可得%+3=2(α,τ+3),即F⅛=2,

ɑn-l十D

因此数列｛%+3｝为等比数列，公比为2,首项4+3=6,可得q+3=6χ2"T=3∙2",

所以数列｛q｝的通项公式为=3∙2"-3.

【技能提升训练】

一、单选题

1.（2023•全国•高三专题练习）已知数列伍“｝满足q=<,∕M=4,+=—,则｛qJ的通项

2n+n

为（）

——,n≥1,∏∈N*—+—,n≥l,n∈N*

n2n

31

二——,Λ≥1,H∈N*-------,n≥∖,n∈N*

2n2〃

【答案】D

【解析】因为。向=4+/一，所以。,用-4,=一一=!一一二，则当“≥2∕eN*时,

n~+n+〃〃〃+1

将n-l个式子相加可得为一qɪl-ɪ+^--^+,

223H-Inn

因为4=彳1，则。“=1_1_+173=彳_1_，当〃=1时.，6=3三一1；=1;符合题意,

2n22n212

31*

所以。〃二彳一一,九≥1,"∈N.

故选：D.

2.（2。23春.湖北.高二校联考阶段练习）数列-击,ɪ,-ɪ,£,L的通项公式

为（）

C∙%=4⅜D∙%=宇

矶〃T）2n

【答案】D

【解析】数列--L=2叱，-L=Gli,--L=酎，-L=IdX,……，

2×12×12×22×22x32×32×42×4

所以第〃项为1111,所以通项公式为Q=Gll,故A、B、C错误，D正确.

2n"In

故选：D

3.（2023秋•浙江台州•高二期末）已知数列｛%｝中，4=1,/=4,%=9,且｛。用-4｝是等差

数列，则4=（）

A.36B.37C.38D.39

【答案】A

【解析】因为%-q=3,o3-°2=5,所以（4一七）一（42-6）=2,

又｛%*「%｝是等差数列，故首项为3,公差为2,

所以4"+∣-q,=3+2（--1）=2∕J+1,

所以%=（4-%）+（%-“4）++（＜⅞-α∣）+α∣=2（5+4+3+2+1）+5+1=36.

故选：A.

4.（2023・全国•高二专题练习）数列｛4｝中，al=[,巴以=々（"为正整数），则的侬的

4n÷ɪ

值为（）

1-2021n2022

A.—B.------C.D.------

20222021-------------------------20222021

【答案】A

【解析】因为也二n

%~n+↑'

aa,jaa,an-∖n-23211

所以4=nj∙q1——4•—―♦—?—=---------X------------XX—X—X——=——

a

%n-2a3a2axnn-∖432〃’

所以¾P2=TTLT-

2022

故选：A

5.（2023秋•湖北•高二统考期末）已知数列｛%｝满足q+%+∙+¾=n（n+3）,贝∣J∕=

()

A.2nB.2n+2

C.n+3D.3∕ι÷1

【答案】B

【解析】Y"+”Z++an=n(π+3),当”=1时，al=4,

当“≥2时，=∕ι(w+3)-(π-l)(n+2)=2n+2,

"=1时，4=4也适合此式，

an=2n+2,n∈N",

故选:B.

6.(2023秋・甘肃金昌•高二永昌县第一高级中学校考期末)等比数列｛%｝的前”项和

n

Sn=a-3-2b,则/=()

33

A.-2B.--C.0D.-

22

【答案】C

【解析】Sn=ay-2bi当〃=1时，/=3a-2b,

当"=2时,ai+a2=9α-2⅛,故%=6〃,

当〃=3时，4+4+%=27〃-2b,

从而〃3=18〃，

由于｛%｝是等比数列，故(64)2=(34-2⅛)∙18α,解得α=2⅛,

故S=竺3=0.

22

故选：C.

7.(2023春・江西宜春•高二江西省铜鼓中学校考阶段练习)数列-IU，白，V'…的一个

通项公式为()

A.¾,ɪ(-ɪr'ɪB.%=(T)"白

c∙…

【答案】D

【解析】奇数项为负，偶数项为正，可用(-1)”来实现，

而各项分母可看作2∣—1=1,22-1=3,23-1=7,2JI=I5,2$—1=31,…,

各项分子均为1，

.∙.该数列的通项公式为勺=(T)"•七.

故选：D.

8.（2023秋•广东江门•高二统考期末）已知数列｛4,,｝满足4=2,q=2匚（〃22且〃eNj,

an-∖

则该数列的第5项为（）

5「6〃4-5

A.—B.-C.—D.一

4556

【答案】B

【解析】因为4=2,4=2-'（"≥2且〃∈M）,

an-∖

故选：B

9.（2023春•甘肃武威•高二统考开学考试）已知数列｛4｝的前〃项和SZ,="2-2"+1,则％=

（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

［解析］因为数列｛«„｝的前〃项和S,,=n2-2n+l,

所以4=S3-邑=。2-2x3+1）-Q2-2x2+1）=3.

故选：B

10.（2023秋•重庆九龙坡•高二重庆市育才中学校考期末）已知4=2,¾=∕ι（⅛+1-¾）,则

数列｛4｝的通项公式是q=（）

A.nB.n+∖C.2〃D.

【答案】C

【解析】由4=〃（。,用一。“），得5+l）%=w,,+∣,

n

an_nan-x_«->a__n-2a_2

则πill-------n22

7,a------------------------------....—-7

¾-l«-1n-2〃-2an,i/2-3αl1

由累乘法可得2=",因为4=2,所以α,,=2"，

4

故选：C.

11.(2023秋・重庆大渡口•高二重庆市第三十七中学校校考期末)己知数列｛%｝的前〃项和s“,

满足S,,=-3,则6=()

A.72B.96C.108D.126

【答案】B

【解析】当”=1时，S,=0l=2a,-3,解得：a1=3,

由题意可得S“=2%-3,①

当“≥2时，S,ι=2%τ-3,②

①-②得，an=Sn-SjtT=2an-2an,i,即q=2%，

故数列｛4｝是以3为首项，2为公比的等比数列，

所以q=3x2"τ,

故6=3x2'=96.

故选：B.

12.(2023・全国•高二专题练习)记5“为数列｛4｝的前〃项和，若S,,=2““-1,则氏=()

A.2π^'B.-2,,^lC.2nD.-T

【答案】A

【解析】当"=1时，S∣=2α∣-l=q=>q=1,

当N≥2时，an=S“-S,i=2α,,-1一(2«,i-1)=2an-2an,l,

∙∙∙4,,=2α,,τ,

所以，数列｛α,,｝是等比数列，

所以"j,=α"i=lx2"τ=2"τ,

故选：A.

13.(2023∙全国・高二专题练习)已知数列｛%｝满足4=1，&=±±(〃22),则氏=()

an-∖n

A.n-1B.-----C.〃D.一

n-1n

【答案】D

a,,n-∖

【解析】因为工=——，z〃22,

a,,-∖〃

幺=L4=2可二"1

所以

42,a3an

2n-∖

上述各式相乘得十，

因为q=1,所以=-.

n

经检验，4=1满足a=-,

nn

所以α,,=L

n

故选：D.

二、多选题

14.（2023•江苏宿迁•江苏省沐阳高级中学校考模拟预测）设5“是数列｛%｝的前〃项和，且

2

4>0'%=1，3q,M=2S£“，则（）

ʌ-a'4

1]2

B.数列竟是公差为:的等差数列

3”ɔ

数

C列

›的前5J页和最大

jM=-------------------

•〃(2π-ll)(2n-13)

【答案】AC

2

【解析】Q4>OM2=五,3%=2SnSπ+1,

3%==2%(4+%),q=；或％=-：(舍)，故选项A正确;

ɔ/

2

又3q,+∣=2S,,S,*∖,3(5,,+l-S,l)=2Sn5,wl,.∙γ--ɪ

,

ɔn+!ɔn3

数列ɪ是公差为-目的等差数列，故选项B错误;

（2）「32（〃-I）Jl-2〃

尸3—―—3-，

1

二数列，的前5项和最大，故选项C正确;

%»6瓦

当"T时'fll=（2×l-liχ2×l-13）⅛;这与4T矛盾'

故选项D错误，

故选:AC.

15.（2023•全国•高二专题练习）已知数列｛%｝和也｝满足4=2,⅛l=1,2¾+l=5an-bn+∖,

2⅛,,+l=5⅛,,-a,,+1,则下列结论不正确的是（）

A.数歹为等比数列

B.数列｛4,,+2｝为等差数列

C.aβ+bf,=95

D.¾=i(3×2--l+3n-'-l)

【答案】BCD

【解析】对A,2(απ+,-⅛+l)=5«„-bn+l-(5⅛-«„+1)=6(¾-⅛),

即%C=3(all-⅛),ai-bt=l≠0,

故数列｛an-bn｝为首项为1,公比为3的等比数列，A时；

对BC,2(¾+l+⅛+1)=5all-bn+i+5仅一4+1=4(4+。)+2,

即+%=2&+4)+1，即。向+%+1=2(an+bn+1),

故数列｛q,+2+1｝为首项为q+4+1=4,公比为2的等比数列，

故a“+d+l=4x2"T=2W故为+»=2用-1,

7

故数列｛4+〃｝不为等差数列,06+⅛=2-1=127,BC错；

对D,由A得/一仇=3-,又-2^+l-l,两式相加得24=2^+'+3”∣7,

BP¾=∣(4×2^-I+3,-'-1),D错.

故选：BCD

16.(2023秋•江苏南京•高二南京大学附属中学校考期末)设数列｛α,,｝的前"项和为S“，且

Sl,=2a>,T,a=log2%,则()

A.数列仅“｝是等比数列B.απ=(-2Γ'

2

C.01+√+√+D.｛4+"｝的前〃项和为(,=2--l+∙^^

【答案】ACD

【解析】由己知S,,=2αz,-1,当〃=1时，可得4=1

选项A,S„-S„_,=¾=¾-2a^i,an=¾.,,可得数列｛”是/=1,2为公比的等比数列,故

A正确；

选项B,由选项A可得%=%_],4=1解得Hn=2"T,故B错误；

选项C,数列｛〃j｝是以1为首项，4为公比的等比数列，所以

222，1一4”4〃一122M-1的厂工面

aj+电+%~++«/=——=-7^=，故C正确；

1—433o

选项D,因为包=log24+ι=〃M"+包=2"“+〃，r=。；)+"(〃；D=2"-1+〃：〃,故D正确.

1—222

故选：ACD.

17.(2023春•湖北荆州•高二沙市中学校考阶段练习汜知数列｛q,｝的前〃项和为5“=/-10〃,

则下列结论正确的有()

A.｛为｝是递减数列B.a6>0

C.S11>0D.当Sa最小时，〃=5

【答案】BCD

2

【解析】S11=n-Wn,当〃=1时，a,=S1=1-10=-9；

22

当〃≥2时，4=Sn-Sn^=(n-l0〃)一[伽-1)-10(∕J-1)]=2∕7-11

注意到〃=1时也满足q=2xl-ll,

所以数歹∣J｛q｝的通项公式为=2〃-11,„eN*,

%M-4,=2,｛%｝是递增数列，A选项错误；

aβ=2×6-l1=1>0,B选项正确：

SU=U色产)=11%>o,C选项正确：

5,,=√-10M=(M-5)2-25,n∈N*,当5.最小时，n=5,D选项正确.

故选：BCD.

三、填空题

18.(2023•高三课时练习)在数列｛%｝中，若q=2,“向=2(1+：卜“，则｛4｝的通项公式

为.

【答案】an=n-T

【解析】由题意知％=2(1+」4，故也=2(1+」=迎±D,

InJallVn)n

a-,%an_2×22×32n

aιι=a]×-×-××—―=2×------×------××------

"«,a2的12∏-1

=2"x〃=〃∙2">

故答案为：a,,=n-2"

19.(2023♦全国•高三专题练习)记S,,为数列｛%｝的前“项和，么为数列｛S,,｝的前〃项积，已

2IC,1

知三+丁=2，则｛4｝的通项公式为.

[3

-,n=1

at

【答案】n-ɪ

—一1一八，壮2

n[n+∖)

【解析】由已蜡+(=2可得SL券，且30,%4

3

当〃=1时，由H=a得4=;,

,、2⅛,2b,2b,,,

由于或为数列S"的前”项积，所以hτ∙hr∙R]=d,

,

'2ol-12b,-12bll-1

ɪ2b.2%&

2⅛,-l2¾-l2bn-∖2⅛n+1-l向'

211

又因为2+产0,所以不——r=不，即么+「2=彳，其中〃eN*,

20n÷l-ɪbn2

所以数列｛4｝是以4=13为首项，以d为公差等差数歹Ij,

2+〃

所以止|+(1月=吗，S

号1+/2

3

当〃=1时，CIΛ=S1=—,

CC2÷n1+〃]

当〃≥2时，⑸=S,,T,ι=百

〃(〃+1)

显然对于〃=1不成立,

31

5，〃=1

所以4=<

-TPny'”22

—3,/?=,!

2

故答案为:¾=,

—7----n，〃22

n(n+l)

20.(2023春・上海闵行•高二上海市七宝中学校考开学考试)数列｛q｝的前“项和

2

Sn=n+n-3,则«4

【答案】8

【解析】S,,="+"7,

$3=3?+3-3=9

故答案为：8.

21.(2023春・河南焦作•高二温县第一高级中学校考阶段练习)己知数列｛《,｝的前〃项和S,,满

足5“=：。“+|+2，且4=3，则α,,=.

[3,M=1

【U案】¾=I2X3T“≥2

【解析】因为5,,=g4e+2,

当”=1时，S1ɪɪɑ,+2,q=3,解得生=2.

当〃22时，S,ι=gq,+2,与S,,=g4,向+2两式相减得S.一

即化简得：⅜l=3∙

所以"22时，｛4｝是以2为首项，4=3为公比的等比数列，所以4=%g7=2x3"2,

又4=3不符合上式，故4=限[3,n3=1\≥2,

故答案为：4=∣2x3"^2,7l≥2

22.(2023秋•福建福州•高二校联考期末)数列m｝中，6=1,αll=3",τ+2("≥2),则此数

列的通项公式4,=.

【答案】2×3n-'-l

【解析】因为α,,=3α,ι+2("N2),所以α,,+l=3(αzιτ+l),又《=1,

所以q+l=2,所以｛q+l｝是以2为首项，3为公比的等比数列，

所以q+l=2x3"τ,贝U%=2x3"T-l.

故答案为：2χ3"T-I

23.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛%｝中，

al=2,2n(n+l)aιlall+l+(n+l)aπ+l-nall=θ(n∈N^),则数列｛%｝的通项公式为.

2

【答案】4=

4n2—3n

【解析】当4=0时，解得4+∣=0,不满足4=2,所以∕≠0,同理为+∣∕0,

由2/1(〃+1)%。向+("+l)4+ι_阳“=O可得("+ι)α.∣一直=2,当”=1时,ɪɪɪ.

I11IIC∕ι∖c3

所以数列一是以;为首项，2为公差的等差数列，一=-÷2(n-l)=2//--,

na,.2叫22

2

所以4=I≠v∙

4〃-3H

故答案为：¾=τ-2A-∙

4〃-3n

24.(2023•高二课时练习)数列：，∙g,-黑…的一个通项公式是.

ɔyO1

【答案】(-1)叫tɪ

【解析】S^j2=3-l,8=9-l=32-l,26=27-l=33-l,80=81-l=34-l,

所以一个通项公式可以是(-1)"。芝?，

故答案为：(-1广1支二

四、解答题

25.(2023•湖南•模拟预测)已知正项数列｛4｝的前〃项和为S,,且满足4S,,=%(q+2),

〃∈N*.

⑴求数列｛%｝的通项公式册及前〃项和S,,；

,

(2)设数列色｝满足伉=2,⅛+1=⅛,,+3-(√2p(n∈N).求数列他」的通项公式.

【解析】(1)由4S,,=an(%+2),可得4Sn+l=¾+1(a,,+l+2),

两式相减可得：46川=a,l+l(aπ+l+2)-an(an+2),

化简可得3,+1一。“)(。“+|+。,)=23向+。“)，由正项数列｛4｝知¾+l+¾>0,

所以","∣-%=2,

又4S∣=4(4+2),解得q=2,

所以他“｝是以2为首项，2为公差的等差数列，

故％=2+2("-1)=2”,由4S“=an(an+2)=2〃(2〃+2)可得S“="+〃.

(2)由(1)知％="+3∙(√Σ)"=d+3∙(0广=d+3∙2",

所以勿M-2=3∙2",

2

所以H-4=3x2∣,b,-b2=3×2,-,b,,-b,l^=3×2"-',

l2,12

由累加法可得,⅛,,-⅛l=3×2+3×2+,+3×2-=3(2+2++2"T)

,.,2(1-2"T)…/

-JX-ɔ∙Z—O»

1-2

所以"=3x2〃—4.

26.（2023・安徽•统考一模）已知在递增数列｛%｝中，为函数/（x）=x2Tlx+24的两个

零点，数列｛q,「4｝是公差为2的等差数列.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵设数列的前〃项和为S“，证明：S,,<∣.

【解析】（1）函数=llx+24的零点为3,8,而数列｛叫递增，则q=3,4=8,

a2-ai=5,

因此数列｛4,「%｝是以5为首项,2为公差的等差数列,则可+i=2-+3,

当〃≥2时，¾=^i+(α2-a1)+(α3-α2)++(。“一％々)=3+5+7++(2n+l)

3+(2"+l)/..ri,"Lt_IX

---------∙n=n(n^2),而q=3也满足上式,

所以数列｛α,,｝的通项公式是an=n（n+2）.

3

所以5,,<j

27.(2023•全国•高二专题练习)已知｛%｝满足4=1,%M=4+2∙(〃是正整数)，求知.

【解析】因为4u=α,,+2",所以。向-&=2",则4—a,ι=2"τ,("≥2),

113

所以当“22时，则”“-4τ=2"τ,αι-α,τ=2-2,a,,.2-απ.3=2^,

i2

L,a4-a3=2,a3-a2=2,a2-a,=2',

将上述式子相加可得：

-2+22=2,'-2，

因为4=1,所以q=2"—l(n≥2),

又4=1符合上式,

故数列｛%｝的通项公式%=2"-1.

28.（2023•全国•高三专题练习）在数列血｝中，al=l,其前〃项和S“满足

2S“=（〃+1”“,〃€^.求数列｛4,｝的通项公式。.；

【解析】2Sπ=(n+l)¾,〃≥2时有2Sπ-1=叫一,

K∣Jn>2t⅛W2αrt=2S,,-2S,,-1=(n+l)al,-nall^

n≥2

可得(n-l)απ=na„_i(n≥2),即ɪ=~~：()，

an-∖〃-1

aa.ann-↑2,ɑ,

所以工n.*nL..」1=_=〃，得J=〃，即为=""≥2,

¾-l¾-2«1«-1«-214

经检验q=1满足上式子，故a.=n

29.(2023春•安徽•高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习)已知数列｛%｝前〃项和S,,

满足SZl=〃2(〃+1)+1(〃eN,).

⑴求出生,a2.

(2)求数列｛4｝的通项公式.

【解析】(1)因为S,,="(“+1)+1(〃eN*),

令〃=1,可得α∣=S[=lχ2+l=3,

令〃=2,可得q+a2=2?(2+1)+1,解得生=1。.

(2)因为S“=∕("+l)+l("eN*),

则当“≥2时，=S,,-S,ι=["2("+l)+l]-[("-l)2"+l]=3"2-”,

且由(1)知,ai=3

3,/2=1

所以=

3/?2-n,n≥2

30.(2023春•湖南岳阳•高二校联考阶段练习)若数列｛q｝的前〃项和为5“，且满足

at=l,ai+2a2+3a,+...+nan=^^-Sn

(1)求生,4的值;

(2)求数列｛/｝的通项公式.

【解析】⑴由已知可得1+2%=|邑［。+%)=>%=2

77

1÷4÷3%=-S3=—(3+d3)=>α3=3.

故〃2=2,%=3.

(2)由题得4+2%+3%+...÷ncιn=---Sn

2n-l

当"≥2时,4+2a+3%÷...+(H-1)。〃TSz

13

上面两式相减得

2∕τ÷l_2〃-1o2〃/oU、S11+Stl12nStl÷Sfl.

叫=-J-Sn--—Sa=W⑸-S-)+ʤa=丁“+

整理得：S=S"+S,z,于是当“23时5-1MT=S,T+S“_2

ng),—W=旨〃≥3)

相减得〃%一(〃T)%=an+αn-l

由(1).此关系式,对"于"=2也成立

aa,α,nH-I2

所以凡=nI∙4l1..j=--•--...-=72

¾-ια,,-24«-1«-21

31.(2023•河北邯郸•统考一模)设数列｛4｝的前八项和为S“，且S,,=2q,-1.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)若4=4+晦*，求数列他｝的前〃项和。.

【解析】(1)当〃=1时，s∣="∣=2α∣-l,解得α∣=l.

当"≥2时，S,T=2”,ιT,则a“=S“-S,i=2a,-2a“T，即q=2α.∣(“N2),

从而｛““｝是首项为1，公比为2的等比数列，所以%=αq"τ=2"τ,n≥2

且当〃=1时，也满足，

所以故q,=2"τ