新人教版高中数学必修四第二章检测

新人教版高中数学必修四第二章检测一．选择题〔共15小题〕1．〔2015•资阳模拟〕向量=+3，=5+3，=﹣3+3，那么〔〕A．A、B、C三点共线B．A、B、D三点共线C．A、C、D三点共线D．B、C、D三点共线2．〔2015•惠州模拟〕假设向量=〔1，2〕，=〔4，5〕，那么=〔〕A．〔5，7〕B．〔﹣3，﹣3〕C．〔3，3〕D．〔﹣5，﹣7〕3．〔2015•惠州模拟〕向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，假设=〔2，0〕，﹣=〔1，﹣〕，那么|×〔+〕|=〔〕A．4B．C．6D．24．〔2015•河南二模〕假设平面向量，满足|3﹣|≤1，那么•的最小值是〔〕A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣5．〔2015•重庆一模〕在边长为2的正△ABC中，P是BC边上的动点，那么〔〕A．有最大值8B．有最小值2C．是定值6D．与P的位置有关6．〔2015•河南二模〕与向量=〔﹣1，+1〕夹角角为的单位向量是〔〕A．〔﹣，〕或〔，〕B．〔﹣，﹣〕或〔，﹣〕C．〔﹣，﹣〕或〔﹣，〕D．〔，〕或〔﹣，〕7．〔2015•开封模拟〕假设||=，||=2，〔﹣〕⊥，那么，的夹角是〔〕A．B．C．D．8．〔2015•泸州模拟〕D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足，那么的值为〔〕A．1B．C．D．29．〔2014•湖南〕在平面直角坐标系中，O为原点，A〔﹣1，0〕，B〔0，〕，C〔3，0〕，动点D满足||=1，那么|++|的取值范围是〔〕A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]10．〔2014•浙江〕记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，那么〔〕A．min{|+|，|﹣|}≤min{||，||}B．min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C．max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2D．max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||211．〔2014•福建〕在以下向量组中，可以把向量=〔3，2〕表示出来的是〔〕A．=〔0，0〕，=〔1，2〕B．=〔﹣1，2〕，=〔5，﹣2〕C．=〔3，5〕，=〔6，10〕D．=〔2，﹣3〕，=〔﹣2，3〕12．〔2014•北京〕向量=〔2，4〕，=〔﹣1，1〕，那么2﹣=〔〕A．〔5，7〕B．〔5，9〕C．〔3，7〕D．〔3，9〕13．〔2014•重庆〕向量=〔k，3〕，=〔1，4〕，=〔2，1〕且〔2﹣3〕⊥，那么实数k=〔〕A．﹣B．0C．3D．14．〔2014•佛山模拟〕向量=〔2，1〕，=10，|+|=，那么||=〔〕A．B．C．5D．2515．〔2014•天津〕菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，假设•=1，•=﹣，那么λ+μ=〔〕A．B．C．D．二．填空题〔共5小题〕16．〔2015•河南二模〕在平面直角坐标系中A点坐标为〔，1〕，B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，那么|+|的最大值是_________．17．〔2015•泸州模拟〕点A〔1，3〕，B〔4，﹣1〕，那么与向量同方向的单位向量为_________．18．〔2015•南充一模〕向量，且，那么x=_________．19．〔2015•资阳模拟〕向量=〔2，1〕，=〔0，﹣1〕．假设〔+λ〕⊥，那么实数λ=_________．20．〔2015•重庆一模〕向量=〔k，3〕，=〔1，4〕，=〔2，1〕，且，那么实数k=_________．三．解答题〔共10小题〕21．〔2015•河南二模〕向量=〔cosA，﹣sinA〕，=〔cosB，sinB〕，•=cos2C，其中A、B、C为△ABC的内角．〔Ⅰ〕求角C的大小；〔Ⅱ〕假设AB=6，且，求AC、BC的长．22．〔2014•陕西〕在直角坐标系xOy中，点A〔1，1〕，B〔2，3〕，C〔3，2〕，点P〔x，y〕在△ABC三边围成的区域〔含边界〕上．〔Ⅰ〕假设++=，求||；〔Ⅱ〕设=m+n〔m，n∈R〕，用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．23．〔2014•山东〕向量=〔m，cos2x〕，=〔sin2x，n〕，函数f〔x〕=•，且y=f〔x〕的图象过点〔，〕和点〔，﹣2〕．〔Ⅰ〕求m，n的值；〔Ⅱ〕将y=f〔x〕的图象向左平移φ〔0＜φ＜π〕个单位后得到函数y=g〔x〕的图象，假设y=g〔x〕图象上的最高点到点〔0，3〕的距离的最小值为1，求y=g〔x〕的单调递增区间．24．〔2014•陕西三模〕如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AB=4AD，BC=2BE．〔Ⅰ〕用向量，表示；〔Ⅱ〕设AB=8，AC=5，A=60°，求线段DE的长．25．〔2014•长葛市三模〕圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x﹣2y+3=0相切，设点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足=+〔1﹣〕，设动点N的轨迹为曲线C．〔I〕求曲线C的方程，〔Ⅱ〕直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．26．〔2014•天津一模〕在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AH⊥BC于H，M为AH的中点，假设=λ+μ，那么λ+μ=_________．27．〔2014•江西模拟〕如图，在以AE=2为直径的半圆周上，B、C，D分别为弧AE的四等分点．〔Ⅰ〕在弧AE上随机取一点P，求满足在上的投影大于的概率；〔Ⅱ〕在以O为起点，再从A，B，C，D，E这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两向量数量积为x，那么x=的概率．28．〔2012•上海〕定义向量=〔a，b〕的“相伴函数”为f〔x〕=asinx+bcosx，函数f〔x〕=asinx+bcosx的“相伴向量”为=〔a，b〕〔其中O为坐标原点〕．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．〔1〕设g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx，求证：g〔x〕∈S；〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx，且h〔x〕∈S，求其“相伴向量”的模；〔3〕M〔a，b〕〔b≠0〕为圆C：〔x﹣2〕2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f〔x〕在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．29．〔2011•江苏〕如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ，〔1〕当θ=90°时，求AM的长；〔2〕当时，求CM的长．30．〔2009•山东〕设m∈R，在平面直角坐标系中，向量a=〔mx，y+1〕，向量b=〔x，y﹣1〕，a⊥b，动点M〔x，y〕的轨迹为E．〔Ⅰ〕求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；〔Ⅱ〕m=．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB〔O为坐标原点〕，并求该圆的方程；〔Ⅲ〕m=．设直线l与圆C：x2+y2=R2〔1＜R＜2〕相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．

新人教版高中数学必修四第二章检测参考答案与试题解析一．选择题〔共15小题〕1．〔2015•资阳模拟〕向量=+3，=5+3，=﹣3+3，那么〔〕A．A、B、C三点共线B．A、B、D三点共线C．A、C、D三点共线D．B、C、D三点共线考点：向量的共线定理．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出．解答：解：∵===，∴A、B、D三点共线．应选：B．点评：此题考查了向量共线定理，属于根底题．2．〔2015•惠州模拟〕假设向量=〔1，2〕，=〔4，5〕，那么=〔〕A．〔5，7〕B．〔﹣3，﹣3〕C．〔3，3〕D．〔﹣5，﹣7〕考点：向量的减法及其几何意义；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的减法运算法那么求解即可．解答：解：∵向量=〔1，2〕，=〔4，5〕，∴==〔1，2〕﹣〔4，5〕=〔﹣3，﹣3〕；应选：B．点评：此题考查向量的减法运算以及减法的几何意义，根本知识的考查．3．〔2015•惠州模拟〕向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，假设=〔2，0〕，﹣=〔1，﹣〕，那么|×〔+〕|=〔〕A．4B．C．6D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积运算和向量的夹角公式可得=．再利用平方关系可得，利用新定义即可得出．解答：解：由题意，那么，∴=6，==2，=2．∴===．即，得，由定义知，应选：D．点评：此题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考查了计算能力，属于根底题．4．〔2015•河南二模〕假设平面向量，满足|3﹣|≤1，那么•的最小值是〔〕A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由平面向量，满足|3﹣|≤1，知9+≤1+6，故9+≥2=6≥﹣6，由此能求出的最小值．解答：解：∵平面向量，满足|3﹣|≤1，∴9+≤1+6，∵9+≥2=6≥﹣6，∴1+6≥﹣6，∴6≥．应选B．点评：此题考查平面向量数量积的求法，是根底题．解题时要认真审题，仔细解答．5．〔2015•重庆一模〕在边长为2的正△ABC中，P是BC边上的动点，那么〔〕A．有最大值8B．有最小值2C．是定值6D．与P的位置有关考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先设=，=，=t，然后用和表示出，再由=+，将=，=t，代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．解答：解：设=，=，=t，那么=﹣=﹣，•=2×2×cos60°=2，=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t，=，∴=〔〔1﹣t〕+t〕•〔+〕=〔1﹣t〕+[〔1﹣t〕+t]+t=〔1﹣t〕×4+2+t×4=6．应选C．点评：此题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以根底题为主，而且经常和三角函数练习起来考查综合题，平时要多注意这方面的练习．6．〔2015•河南二模〕与向量=〔﹣1，+1〕夹角角为的单位向量是〔〕A．〔﹣，〕或〔，〕B．〔﹣，﹣〕或〔，﹣〕C．〔﹣，﹣〕或〔﹣，〕D．〔，〕或〔﹣，〕考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：设出单位向量=〔x，y〕，列出方程组，求出解即可．解答：解：设=〔x，y〕，那么，即，化简得，解得，或，∴=〔﹣，〕，或=〔，〕．应选：A．点评：此题考查了平面向量的应用问题，解题时应设出向量的坐标表示，列方程组求解，是根底题．7．〔2015•开封模拟〕假设||=，||=2，〔﹣〕⊥，那么，的夹角是〔〕A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：向量垂直的充要条件可得〔﹣〕•=0，代入数据计算可得cosθ的值，结合夹角的范围可得答案．解答：解：由题意可得〔﹣〕•=﹣=0，设与的夹角为θ，代入数据可得﹣cosθ=0，即cosθ=，又θ∈[0，π]，故θ=．应选D．点评：此题考查数量积表示两个向量的夹角，涉及向量垂直的充要条件，属根底题．8．〔2015•泸州模拟〕D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足，那么的值为〔〕A．1B．C．D．2考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：由，由向量加法的平行四边形法那么知，PA必为以PB，PC为邻边的平行四边形的对角线，故有P，D，A三点共线，由平行四边形对角线的性质易得．解答：解：因为，所以PA必为以PB，PC为邻边的平行四边形的对角线，因为D为边BC的中点，所以D为边PA的中点，的值为1．应选A．点评：此题考查向量加法的几何意义，由向量的关系得到几何图形中的位置关系，向量关系表示几何关系是向量的重要应用．9．〔2014•湖南〕在平面直角坐标系中，O为原点，A〔﹣1，0〕，B〔0，〕，C〔3，0〕，动点D满足||=1，那么|++|的取值范围是〔〕A．[4，6]B．[﹣1，+1]C．[2，2]D．[﹣1，+1]考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由于动点D满足||=1，C〔3，0〕，可设D〔3+cosθ，sinθ〕〔θ∈[0，2π〕〕．再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵动点D满足||=1，C〔3，0〕，∴可设D〔3+cosθ，sinθ〕〔θ∈[0，2π〕〕．又A〔﹣1，0〕，B〔0，〕，∴++=．∴|++|===，〔其中sinφ=，cosφ=〕∵﹣1≤sin〔θ+φ〕≤1，∴=sin〔θ+φ〕≤=，∴|++|的取值范围是．应选：D．点评：此题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性等根底知识与根本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．10．〔2014•浙江〕记max{x，y}=，min{x，y}=，设，为平面向量，那么〔〕A．min{|+|，|﹣|}≤min{||，||}B．min{|+|，|﹣|}≥min{||，||}C．max{|+|2，|﹣|2}≤||2+||2D．max{|+|2，|﹣|2}≥||2+||2考点：向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：将，平移到同一起点，根据向量加减法的几何意义可知，+和﹣分别表示以，为邻边所做平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断．解答：解：对于选项A，取⊥，那么由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零的相等向量，那么不等式左边min{|+|，|﹣|}=，显然，不等式不成立；对于选项C，取，是非零的相等向量，那么不等式左边max{|+|2，|﹣|2}=|+|2=4，而不等式右边=||2+||2=2，显然不成立．由排除法可知，D选项正确．应选：D．点评：此题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将，，，放在同一个平行四边形中进行比拟判断，在具体解题时，此题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时“排除法”，“确定法”，“特殊值”代入法等也许是一种更快速，更有效的方法．11．〔2014•福建〕在以下向量组中，可以把向量=〔3，2〕表示出来的是〔〕A．=〔0，0〕，=〔1，2〕B．=〔﹣1，2〕，=〔5，﹣2〕C．=〔3，5〕，=〔6，10〕D．=〔2，﹣3〕，=〔﹣2，3〕考点：平面向量的根本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的坐标运算，，计算判别即可．解答：解：根据，选项A：〔3，2〕=λ〔0，0〕+μ〔1，2〕，那么3=μ，2=2μ，无解，应选项A不能；选项B：〔3，2〕=λ〔﹣1，2〕+μ〔5，﹣2〕，那么3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，应选项B能．选项C：〔3，2〕=λ〔3，5〕+μ〔6，10〕，那么3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，应选项C不能．选项D：〔3，2〕=λ〔2，﹣3〕+μ〔﹣2，3〕，那么3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，应选项D不能．应选：B．点评：此题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于根底题．12．〔2014•北京〕向量=〔2，4〕，=〔﹣1，1〕，那么2﹣=〔〕A．〔5，7〕B．〔5，9〕C．〔3，7〕D．〔3，9〕考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．解答：解：由=〔2，4〕，=〔﹣1，1〕，得：2﹣=2〔2，4〕﹣〔﹣1，1〕=〔4，8〕﹣〔﹣1，1〕=〔5，7〕．应选：A．点评：此题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是根底的计算题．13．〔2014•重庆〕向量=〔k，3〕，=〔1，4〕，=〔2，1〕且〔2﹣3〕⊥，那么实数k=〔〕A．﹣B．0C．3D．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．解答：解：∵=〔k，3〕，=〔1，4〕，=〔2，1〕∴2﹣3=〔2k﹣3，﹣6〕，∵〔2﹣3〕⊥，∴〔2﹣3〕•=0'∴2〔2k﹣3〕+1×〔﹣6〕=0，解得，k=3．应选：C．点评：此题考查数量积的坐标表达式，是一个根底题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错．14．〔2014•佛山模拟〕向量=〔2，1〕，=10，|+|=，那么||=〔〕A．B．C．5D．25考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：计算题．分析：根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．解答：解：∵|+|=，||=∴〔+〕2=2+2+2=50，得||=5应选C．点评：此题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．15．〔2014•天津〕菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，假设•=1，•=﹣，那么λ+μ=〔〕A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用两个向量的加减法的法那么，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．解答：解：由题意可得假设•=〔+〕•〔+〕=+++=2×2×cos120°+++λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3①．•=﹣•〔﹣〕==〔1﹣λ〕•〔1﹣μ〕=〔1﹣λ〕•〔1﹣μ〕=〔1﹣λ〕〔1﹣μ〕×2×2×cos120°=〔1﹣λ﹣μ+λμ〕〔﹣2〕=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故答案为：．点评：此题主要考查两个向量的加减法的法那么，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．二．填空题〔共5小题〕16．〔2015•河南二模〕在平面直角坐标系中A点坐标为〔，1〕，B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，那么|+|的最大值是3．考点：向量的模．专题：平面向量及应用．分析：由题意可知向量||=1的模是不变的，当与同向时，|+|的最大，所以|+|的最大值=．解答：解：由题意可知向量||=1的模是不变的，当与同向时，|+|的最大，|+|的最大值===2+1=3．故答案为：3．点评：此题考查了向量共线定理的应用，属于根底题．17．〔2015•泸州模拟〕点A〔1，3〕，B〔4，﹣1〕，那么与向量同方向的单位向量为．考点：单位向量．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由点A、B的坐标算出=〔3，﹣4〕，从而得到||=5，再根据单位向量的定义加以计算，可得答案．解答：解：∵点A〔1，3〕，B〔4，﹣1〕，∴=〔3，﹣4〕，可得||==5，因此，与向量同方向的单位向量为：==〔3，﹣4〕=故答案为：点评：此题给出A、B两点的坐标，求与向量同方向的单位向量．着重考查了向量的坐标运算和单位向量的定义等知识，属于根底题．18．〔2015•南充一模〕向量，且，那么x=0．考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，得•=0，求出x的值即可．解答：解：∵，且，∴，解得x=0．故答案为：0．点评：此题考查了的知识点是利用平面向量的数量积判断两个平面向量的垂直关系，是根底题．19．〔2015•资阳模拟〕向量=〔2，1〕，=〔0，﹣1〕．假设〔+λ〕⊥，那么实数λ=5．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：此题先将向量坐标化，利用两向量垂直得到它们的数量积为零，求出λ的值，得到此题答案．解答：解：∵向量=〔2，1〕，=〔0，﹣1〕，∴．∵〔+λ〕⊥，∴2×2+1×〔1﹣λ〕=0，λ=5．故答案为：5．点评：此题重点考查的是平面向量的数量积，根据两向量垂直得到相关方程，从而求出此题的解．此题难度不大，属于根底题．20．〔2015•重庆一模〕向量=〔k，3〕，=〔1，4〕，=〔2，1〕，且，那么实数k=3．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．解答：解：∵=〔k，3〕，=〔1，4〕，=〔2，1〕，∴2﹣3=〔2k﹣3，﹣6〕，∵，∴〔2﹣3〕•=0∴2〔2k﹣3〕+1×〔﹣6〕=0，解得k=3．故答案为：3．点评：此题考查数量积的坐标表达式，是一个根底题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错．三．解答题〔共10小题〕21．〔2015•河南二模〕向量=〔cosA，﹣sinA〕，=〔cosB，sinB〕，•=cos2C，其中A、B、C为△ABC的内角．〔Ⅰ〕求角C的大小；〔Ⅱ〕假设AB=6，且，求AC、BC的长．考点：数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：〔I〕•=cos2C，由向量数量积公式，结合二倍角的余弦公式化简得2cos2C+cosC﹣1=0，解出cosC=，结合C∈〔0，π〕可得角C的大小；〔II〕由利用向量的数量积公式算出•=36，根据余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcosC=36，化简得AC+BC=12，两式联解即可算出AC、BC的长．解答：解：〔Ⅰ〕∵=〔cosA，﹣sinA〕，=〔cosB，sinB〕，∴•=cos2C，即cosAcosB﹣sinAsinB=cos〔A+B〕=﹣cosC=cos2C，…〔2分〕化简得：2cos2C+cosC﹣1=0，…〔4分〕故cosC=〔cosC=﹣1舍去〕∵C∈〔0，π〕，∴C=．…〔7分〕〔Ⅱ〕∵，∴•cos=36，即•=36．①…〔9分〕由余弦定理得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=36，化简得：AC+BC=12②…〔12分〕联解①②，可得AC=BC=6．…〔14分〕点评：此题给出向量含有三角函数的坐标，在数量积的情况下解三角形ABC．着重考查了向量的数量积公式、解三角形等知识，属于中档题．22．〔2014•陕西〕在直角坐标系xOy中，点A〔1，1〕，B〔2，3〕，C〔3，2〕，点P〔x，y〕在△ABC三边围成的区域〔含边界〕上．〔Ⅰ〕假设++=，求||；〔Ⅱ〕设=m+n〔m，n∈R〕，用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．考点：平面向量的根本定理及其意义；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：〔Ⅰ〕先根据++=，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；〔Ⅱ〕利用向量的坐标运算，先求出，，再根据=m+n，表示出m﹣n=y﹣x，最后结合图形，求出m﹣n的最小值．解答：解：〔Ⅰ〕∵A〔1，1〕，B〔2，3〕，C〔3，2〕，++=，∴〔x﹣1，y﹣1〕+〔x﹣2，y﹣3〕+〔x﹣3，y﹣2〕=0∴3x﹣6=0，3y﹣6=0∴x=2，y=2，即=〔2，2〕∴〔Ⅱ〕∵A〔1，1〕，B〔2，3〕，C〔3，2〕，∴，∵=m+n，∴〔x，y〕=〔m+2n，2m+n〕∴x=m+2n，y=2m+n∴m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B〔2，3〕时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为1．点评：此题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题，23．〔2014•山东〕向量=〔m，cos2x〕，=〔sin2x，n〕，函数f〔x〕=•，且y=f〔x〕的图象过点〔，〕和点〔，﹣2〕．〔Ⅰ〕求m，n的值；〔Ⅱ〕将y=f〔x〕的图象向左平移φ〔0＜φ＜π〕个单位后得到函数y=g〔x〕的图象，假设y=g〔x〕图象上的最高点到点〔0，3〕的距离的最小值为1，求y=g〔x〕的单调递增区间．考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性；函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：平面向量及应用．分析：〔Ⅰ〕由题意可得函数f〔x〕=msin2x+ncos2x，再由y=f〔x〕的图象过点〔，〕和点〔，﹣2〕，解方程组求得m、n的值．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得f〔x〕=2sin〔2x+〕，根据函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律求得g〔x〕=2sin〔2x+2φ+〕的图象，再由函数g〔x〕的一个最高点在y轴上，求得φ=，可得g〔x〕=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x的范围，可得g〔x〕的增区间．解答：解：〔Ⅰ〕由题意可得函数f〔x〕=•=msin2x+ncos2x，再由y=f〔x〕的图象过点〔，〕和点〔，﹣2〕，可得．解得m=，n=1．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得f〔x〕=sin2x+cos2x=2〔sin2x+cos2x〕=2sin〔2x+〕．将y=f〔x〕的图象向左平移φ〔0＜φ＜π〕个单位后，得到函数g〔x〕=2sin[2〔x+φ〕+]=2sin〔2x+2φ+〕的图象，显然函数g〔x〕最高点的纵坐标为2．y=g〔x〕图象上各最高点到点〔0，3〕的距离的最小值为1，故函数g〔x〕的一个最高点在y轴上，∴2φ+=2kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=，故g〔x〕=2sin〔2x+〕=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ，故y=g〔x〕的单调递增区间是[kπ﹣，kπ]，k∈Z．点评：此题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，余弦函数的单调性，表达了转化的数学思想，属于中档题．24．〔2014•陕西三模〕如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AB=4AD，BC=2BE．〔Ⅰ〕用向量，表示；〔Ⅱ〕设AB=8，AC=5，A=60°，求线段DE的长．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：〔I〕利用向量的三角形法那么和向量共线定理即可得出；〔II〕由向量的数量积性质即可得出．解答：解：〔I〕∵===；〔II〕由〔I〕可得===．∴．点评：此题考查了向量的三角形法那么和向量共线定理、向量的数量积性质，属于根底题．25．〔2014•长葛市三模〕圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x﹣2y+3=0相切，设点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满足=+〔1﹣〕，设动点N的轨迹为曲线C．〔I〕求曲线C的方程，〔Ⅱ〕直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：综合题．分析：〔Ⅰ〕A〔x0，y0〕，先求出圆C1的方程，再根据动点N满足+〔1﹣〕，得到关于x0，y0的方程组，解得即可．〔Ⅱ〕设直线l与椭圆交于B〔x1，y1〕，D〔x2，y2〕，联立方程组求出x1，x2，再根据点到直线的距离公式，表示出三角形的面积，利用根本不等式解得即可．解答：解：〔Ⅰ〕设动点N〔x，y〕，A〔x0，y0〕，因为AM⊥x轴于M，所以M〔x0，0〕，设圆C1的方程为x2+y2=r2，由题意得，所以圆C1的程为x2+y2=9．由题意，，所以，所以即将代入圆x2+y2=9，得动点N的轨迹方程．〔Ⅱ〕由题意可设直线l：2x+y+m=0，设直线l与椭圆交于B〔x1，y1〕，D〔x2，y2〕，联立方程得13x2+12mx+3m2﹣9=0，△=144m2﹣13×4〔3m2﹣9〕＞0，解得m2＜39，，又因为点O到直线l的距离，，．〔当且仅当m2=39﹣m2即时取到最大值〕∴△OBD面积的最大值为．点评：此题考查了向量，圆的方程，椭圆的方程，点到直线的距离，根本不等式，是一道综合题，难度有些大，需要认真仔细．26．〔2014•天津一模〕在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AH⊥BC于H，M为AH的中点，假设=λ+μ，那么λ+μ=．考点：平面向量的根本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的加法，将向量用表示出来，便能求出答案．根据条件BH的长度需要求一下．解答：解：如以下图，根据条件可得：BH=1=，∴，∴，∴λ=，μ=，λ+μ=．故答案为：．点评：此题考查向量的加法运算，和平面向量根本定理．要理解平面向量根本定理，应用定理里λ，μ的唯一性．27．〔2014•江西模拟〕如图，在以AE=2为直径的半圆周上，B、C，D分别为弧AE的四等分点．〔Ⅰ〕在弧AE上随机取一点P，求满足在上的投影大于的概率；〔Ⅱ〕在以O为起点，再从A，B，C，D，E这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两向量数量积为x，那么x=的概率．考点：平面向量数量积的含义与物理意义；列举法计算根本领件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：〔1〕根据概率定义，计算即可，〔2〕通过列举法，列出所有满足条件的向的根本领件量，然后观察符合条件的根本领件，计算即可．解答：解：〔Ⅰ〕由题知，那么，∴使得在上的射影大于的概率P=，〔Ⅱ〕以O点为起点，从A，B，C，D，E，这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量所有的根本领件有：，，，，其中数量积x=的有：，．那么．点评：此题主要考查了概率的求法以及向量的有关知识，属于根底题．28．〔2012•上海〕定义向量=〔a，b〕的“相伴函数”为f〔x〕=asinx+bcosx，函数f〔x〕=asinx+bcosx的“相伴向量”为=〔a，b〕〔其中O为坐标原点〕．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．〔1〕设g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx，求证：g〔x〕∈S；〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx，且h〔x〕∈S，求其“相伴向量”的模；〔3〕M〔a，b〕〔b≠0〕为圆C：〔x﹣2〕2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f〔x〕在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．考点：平面向量的综合题；复合三角函数的单调性．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：〔1〕先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；〔2〕先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；〔3〕先根据定义得到函数f〔x〕取得最大值时对应的自变量x0；再结合几何意义求出的范围，最后利用二倍角的正切公式即可得到结论．解答：解：〔1〕g〔x〕=3sin〔x+〕+4sinx=4sinx+3cosx，其‘相伴向量’=〔4，3〕，g〔x〕∈S．〔2〕h〔x〕=cos〔x+α〕+2cosx=〔cosxcosα﹣sinxsinα〕+2cosx=﹣sinαsinx+〔cosα+2〕cosx∴函数h〔x〕的‘相伴向量’=〔﹣sinα，cosα+2〕．那么||==．〔3〕的‘相伴函数’f〔x〕=asinx+bcosx=sin〔x+φ〕，其中cosφ=，sinφ=．当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f〔x〕取到最大值，故x0=2kπ+﹣φ，k∈Z．∴tanx0=tan〔2kπ+﹣φ〕=cotφ=，tan2x0===．为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[﹣，0〕∪〔0，]．令m=，那么tan2x0=，m∈[﹣，0〕∪〔0，}．当﹣≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，∴0＜tan2x0≤；当0＜m≤时，函数tan2x0=单调递减，∴﹣≤tan2x0＜0．综上所述，tan2x0∈[﹣，0〕∪〔0，]．点评：本体主要在新定义下考查平面向量的根本运算性质以及三角函数的有关知识．是对根底知识的综合考查，需要有比拟扎实的根本功．29．〔2011•江苏〕如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ，〔1〕当θ=90°时，求AM的长；〔2〕当时，求CM的长．考点：向量在几何中的应用．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：〔1〕建立如下图的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t〔0≤t≤2〕，通过，求出平面DMN的法向量为，，求出平面A1DN的法向量为，推出〔1〕利用θ=90°求出M的坐标，然后求出AM的长．〔2〕利用cos=以及，求出CM的长．解答：解：建立如下图的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t〔0≤t≤2〕，那么各点的坐标为A〔1，0，0〕，A1〔1，0，2〕，N〔，1，0〕，M〔0，1，t〕；所以=〔，1，0〕.=〔1，0，2〕，=〔0，1，t〕设平面DMN的法向量为=〔x1，y1，z1〕，那么，，即x1+2y1=0，y1+tz1=0，令z1=1，那么y1=﹣t，x1=2t所以=〔2t，﹣t，1〕，设平面A1DN的法向量为=〔x2，y2，z2〕，那么，，即x2+2z2=0，x2+2y2=0，令z2=1那么y2=1，x2=﹣2所以=〔﹣2，1，1〕，〔1〕因为θ=90°，所以解得