2023年山东省聊城市文苑中学数学高二第二学期期末调研模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.双曲线3-与=1的焦点坐标是

169

A.(±√7,0)B.(0,±√7)C.(±5,0)D.(0,+5)

2./(一。,0)为双曲线£-4=13>0/>0)的左焦点，圆0：/+y2=¢2与双曲线的两条渐进线在第一、二象限分

ab

别交于A，B两点，若AELOB,则双曲线的离心率为()

A.2B.更C.√3D.

23

3.在某项测试中，测量结果与服从正态分布N(Lb2)(cr>o),若p(0<g<l)=0.4,则P(0<J<2)=()

A.().4B.0.8C.0.6D.0.21

4.在AABC中，角A，B,C所对的边分别为b,c,且Sine'+2SinCCOS5=sinA,CW(Oa=娓,

CoSB=,，则b=()

3

512

A.2B.-C.—D.4

35

5.已知随机变量J服从正态分布N(l,σ∙2),且P(j<0)=P(J>α-3),贝M=()

A.-2B.2C.5D.6

9

6.若随机变量X满足XB(n,p),且£X=3,DX=一，则。=()

4

13ɪ2

A.B.C.D.-

4423

7.某人考试，共有5题，至少解对4题为及格，若他解一道题正确的概率为0.6,则他及格的概率为()

8811053242

A.-----B.C.D.-----

1256253125625

„2、,2

8.某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为。、b,则双曲线二+与=1的离心率e〉&的概率是()

a~b~

A.—B.-C.—D.—

64336

9.已知X与y之间的一组数据：则y与X的线性回归方程为y=bx+a必过()

X0123

y1357

A.(1.5,4)点B.(1.5,0)点C.(1,2)点D.(2,2)点

10∙命题、，.三二，二一且，，:三.的否定形式是()

b∙v*εVW.∕(4C**¾OQ>≡

c∙a⅝6≡∙.∏⅜)eιraf(⅜)>%

d

∙3⅜eJΓ.∏⅝)e>n9

'x-y≤0

11.设x,J满足约束条件(2x+y-2≤0,若k>0,且Z=X—2)，的最大值为6,则上=()

kx-y+2≥G

12.下列函数中，值域为R的偶函数是()

A.y=x2+]B.y=ex-e~xC.>=∣g∣X∣D.y=疗

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数/(X)=Iog/--+5x+6)的单调减区间是.

2

14.湖面上浮着一个球,湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24cm,深为8cm的空穴，则这球的半径为,

15.已知向量α与/,的夹角为60。，何=2,忖=3,贝!l∣3a-2q=.

16.在体积为9的斜三棱柱ABC-ABG中，S是GC上的一点，S-ABC的体积为2,则三棱锥S-ABG的体积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=xlnx-g∕n/-x(∕"∈R).

(1)若函数F(X)在(O,+A)上是减函数，求实数加的取值范围；

(2)若函数/(x)在(0,+Co)上存在两个极值点芭，x2,且用<马，证明：∣nχ+lnw>2.

18.(12分)(1)用分析法证明：√3+√7<2√5;

(2)用数学归纳法证明：1X4+2X7+L+〃(3〃+l)=〃(〃+l)2("eN*).

19.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCr)是边长为2的菱形，POL平面ABC

(1)证明：PELCDi

(2)求二面角A-PE-C的余弦值.

[

X=3----1

2

20.(12分)在平面直角坐标系xθy中，直线/的参数方程为∖L(/为参数).在极坐标系(与直角坐标系xθy

匕√2

y=√5+——t

.2

取相同的长度单位，且以原点。为极点，以X轴正半轴为极轴)中，圆C的极坐标方程为0=2逐Sine∙

(1)求直线/的普通方程和圆C的直角坐标方程；

⑵设圆C与直线/交于A,B两点,若点P的坐标为(3,逐)，求I~4∣+∣PB∣∙

21.(12分)已知关于X的不等式|x—3|+|x—2∣<..

(1)当α=3时，解不等式；

(2)如果不等式的解集为空集，求实数，，的取值范围.

22.(10分)已知椭圆三+/=1(α>b>0)的一个顶点为A(0,l),离心率为白，过点8(0,—2)及左焦点耳的直

线交椭圆于C,。两点，右焦点设为死.

(1)求椭圆的方程;

⑵求ACOK的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

分析：由题意求出。乃，则C=必万，可得焦点坐标

22______

详解：由双曲线「一2~=1,可得Q=4,0=3,.∙.C=J^T^=5,

169

22

故双曲线三—匕=1的焦点坐标是（±5,0）

169

选C.

点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题.

2,A

【解析】

画出图形，判断渐近线的倾斜角然后求解双曲线的离心率即可.

【详解】

22

点F(-c∖O)为双曲线I—马=l(α>0,b>0)的左焦点,

ab

圆。：χ2+y2=c2与双曲线的两条渐进线在第一、二象限分别交于A,B两点,

且AFLO3,

如图：可得渐近线的倾斜角为60或120，

可得2=百，b2=3a2,所以C?=4/,可得e=2=2,

ClQ

故选：A

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质，解题的关键是画出图形得出渐近线的倾斜角，属于基础题.

3、B

【解析】

根据已知条件,求出正态分布曲线的对称轴为X=I,根据对称性可求出P(l≤⅞<2)的值,进而可求P(0<ξ<2)

【详解】

解：测量结果与服从正态分布2V(l,σ2)(σ>O).∙.正态分布曲线的对称轴为X=1

P(0<4<1)=0.4.∙.P(l≤⅞<2)=P(0<⅞<1)=0.4

.∙.P(0<g<2)=P(0<4<l)+P(l≤J<2)=04+0.4=0.8

故选:B.

【点睛】

本题考查了正态分布中概率问题的求解.在解此类问题时,结合正态分布曲线图像进行求解,其关键是找到曲线的对称轴.

4、C

【解析】

先利用正弦定理解出c,再利用COSB的余弦定理解出》

【详解】

3

sinC+2sinCcosB=sinAoc+2ccosB-a=>c=~46

299ʌ54,∕73r71144

b1~—cι~+c~-2cιccos8r=t6x+-----2,o×—，6x——-----

255325

12

所以〃=M

【点睛】

本题考查正余弦定理的简单应用，属于基础题.

5、C

【解析】

由题意结合正态分布的对称性得到关于«的方程，解方程即可求得实数α的值.

【详解】

随机变量J服从正态分布N(1,b2),则正态分布的图象关于直线X=I对称,

结合叫<。)=砥>，，一3)有「=1‘解得："5∙

本题选择C选项.

【点睛】

关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：

①熟记P[μ~σ<X<μ÷σ),P(μ-2σ<X<μ+2σ),P(μ—3>σ<X<μ+3σ)⅛¾.

②充分利用正态曲线的对称性和曲线与X轴之间面积为1.

6^A

【解析】

根据二项分布的数学期望和方差求解.

【详解】

np=3〃=12

由题意得:、9解得:

切(zλl—p)=：

4

故选A.

【点睛】

本题考查二项分布的数学期望和方差求解，属于基础题.

7、C

【解析】

由题，得他及格的情况包含答对4题和5题，根据独立重复试验的概率公式，即可得到本题答案.

【详解】

由题，得他及格的情况包括答对4题和5题,

所以对应的概率P=C；X(|)4×∣+(∣)51053

3125

故选：C

【点睛】

本题主要考查独立重复试验的概率问题，属基础题.

8、A

【解析】

由题意知本题是一个古典概型,

试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a,b,共有6x6=36种结果

满足条件的事件是e=S=W+'>亚

aa

Λb>√5a,符合b>√^a的情况有：当a=l时，有b=3,4,5,6四种情况;

当b=2时，有a=5,6两种情况,

总共有6种情况.

.∙.概率为

6

故选A

9、A

【解析】

由题意：J=θ+1+2+3=1^,^1+3+5+7=4,回归方程过样本中心点，即回归方程过点(1.5,4).

本题选择A选项.

10、D

【解析】

根据全称命题的否定是特称命题，可知命题且,，的否定形式是二i.ʃ,二•，或

f(⅜)>%

故选D.

考点：命题的否定

11、B

【解析】

分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解代入目标函数得答

案.

详解：由约束条件作出可行域如图:

化目标函数Z=X_2y为y=Z,

由图可知，当直线V=LX-过B时，直线在y轴上的截距最小，即Z最大,

-22

x-y=O2____2_^1

联立,解得8

kx-y+2=0T≡I,l≡lJ

2424

6,解得々=彳.

∖-kk-∖3

故选：B.

点睛：线性规划中的参数问题及其求解思路

(1)线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取

值范围的问题.

(2)求解策略：解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意,

然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值.

12、C

【解析】

试题分析：A中，函数为偶函数，但yNl,不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且

*R,满足条件；D中，函数为偶函数，但y≥0,不满足条件，故选C.

考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、

【解析】

根据对数型复合函数单调区间的求法，求得/(χ)的单调减区间.

【详解】

由一Y+5χ+6>0得f-5χ—6=(x-6)(x+l)<0,解得—l<χ<6,所以/(力的定义域为(—1,6),由于

y=-∕+5χ+6的开口向下，对称轴为x=g；y=l°g∣x在(O,+")上递减.根据复合函数单调性同增异减可知，

/(x)的单调减区间为1—1,0.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查对数型复合函数单调区间的求法，属于基础题.

14、13；

【解析】

设球的半径为Rcm,得到截面圆的半径为12cm,球心距为d=(R-8)cm,再由W=/+/,列出方程，即可求解.

【详解】

设球的半径为RC加，将球取出，留下空穴的直径为24cm,深8cm,

则截面圆的半径为12cm,球心距为。=(尺-8)0n,

又由F=/+1,即R?=122+(K-8)2,化简得208—16R=0,

解得R=13∙

故答案为：13.

【点睛】

本题主要考查了球的几何特征，其中解答中根据球的半径，截面圆的半径，以及球心距构造直角三角形，利用勾股定

理列出方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

15、6.

【解析】

求出(3a-2份2即得解.

【详解】

由题意，向量”力的夹角为60,忖=2,忖=3,

所以(3α-2∕√=9a-∖2ab+4b=9×22-12×2×3cos60+4×32=36>

所以∣3:-2,=6.

故答案为：6

【点睛】

本题主要考查向量模的计算，考查向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

16、1

【解析】

由已知棱柱体积与棱锥体积可得S到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S到上底面距离与棱锥高的关系，则答

案可求.

【详解】

设三棱柱ABC-ABlG的底面积为高为h,

9

则S%=9,S'=-,

h

119

再设S到底面ABC的距离为〃'，则:S'"=2,得一丁》=2,

33h

,,h'2

所ce以丁=；，

h3

则S到上底面AB1C1的距离为g,

所以三棱锥S-ABIG的体积为gs'f∕7=,9=l.

故答案为L

【点睛】

本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为

v=gs底♦%,本题是中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(DlL+∞);⑵见解析.

e

【解析】

InX

分析：(1)由题意得出/(%)=lnx—尔〈。在定义域(0,+8)上恒成立，即加2(一)ιmχ,

X

设〃(X)=也，则"(X)=EΞ,由此利用导数求得函数单调性与最值，即可求解；

XX

(2)由(1)知/(X)=InX-尔，由函数/O)在(0,+8)上存在两个极值点的，x2,推导出

(五+l)∙ln%

2er

.∙.Inxl+Inx2=ʌɪ-----旦，设f=F(°』)，则InF+lnjc2=('+DJ*r,要证］∏x∣+In/〉2,只需证

%

lnr-Z2≥12<0,构造函数g«)=Inr-也二2,利用导数求得函数的单调性与最值，即可作出求解.

r+1r+1

详解：(1)；/(x)=XInX-;/nr，-x(m∈R)在(0,+∞)上是减函数，

.∙./'(x)=lnx-如≤0在定义域(0,+∞)上恒成立，

(InxA

：.m≥∖——，

IXJmax

设〃(X)=也，则〃,(x)=JF,

由"(x)>0,得x∈(0,e),由〃'(x)<0,得x>e,

.∙.函数MX)在(0,e)上递增，在(e,+s)上递减,

.∖h(x∖=h(e∖=-,Λm≥-.

—max''ee

故实数〃？的取值范围是p+∞j.

证明：(2)由(1)知/(X)=InX-侬,

V函数/(%)在(0,+∞)上存在两个极值点玉，々，且玉<々，

IwCT_ιwc∖=0

bιx2-Jwc2=0

1ΠΛ+Iax

m=I2

x+x.Inx+Inx_Inx-InX

则V12191)

Inx-Inx…X1+XXJ-X

m=1222

%一%2

XIlXl

-L1+1∙ln'

.∙.Inxl+Inx2==十二∙∖n-=I*2J/

^西一工2⅞ɪɪ

设，=%£(。」)，WilInx1+Inx2=ŋ,

X2t-∖

要证Iarl+1ΠΛ2>2,

L-(r+l)∙lnfr_2(I)“T2(I)

只需证ʌ---------->2,只需证Inf-------»只需证Inr——-------<0»

t-∖t+∖r+1

构造函数g(。=In一止D,则g't)=1—：AT=勺2>0，

v,t+lt(r+l)^r(∕+l)^

：.g(f)=lnr—*?在f∈(0,l)上递增，

g(r)<g⑴=0，即g(f)=ln-2"；)<0,

,

..Inx1+Iruc2>2.

点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能

力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用

导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与

有解问题，同时注意数形结合思想的应用.

18、(1)见解析:(2)见解析.

【解析】

(1)利用分析法逐步平方得出21<25成立，可证明出原不等式成立；

(2)先验证〃=1时等式成立，然后假设当”=女(A∈N*)时等式成立，可得出

Ix4+2x7+L+左(3女+1)=N女+Ip,然后再等式两边同时加上(%+l)(3Z+4),并在所得等式右边提公因式，化

简后可得出所证等式在〃=Z+1时成立，由归纳原理得知所证不等式成立.

【详解】

(1)要证明8+√7<2岔成立，只需证明(百+J7)2<Q括了成立，

即证明10+2jΣI<20成立，只需证明历<5成立，即证明21<25成立，

因为21<25显然成立，所以原不等式成立，即6+√7<2后；

(2)①当"=1时，3〃+1=4,等式左边=1x4=4,右边=lχ2^=4,等式成立；

②设当〃=Z时，等式成立，即lχ4+2χ7+L+々(3Z+l)=Jt(Z+l)2,

则当〃=2+1时，

l×4+2×7+3×10+L+”(3女+1)+(女+1)(3左+4)=左(左+1)2+(%+1)(3々+4)

=(⅛+l)(F+fe+3⅛+4)=(⅛+l)(⅛+l+l)2,

即〃=Z+1成立，

综上所述，Ix4+2x7++n(3n+l)=n(n+l)2.

【点睛】

本题考查分析法与数学归纳法证明不等式以及等式问题，证明时要熟悉这两种方法证明的基本步骤与原理，考查逻辑

推理能力，属于中等题.

19、(1)见解析；(2)—YM.

4

【解析】

(1)证明。EJPDLAB,再证明ABJ_平面BC>E,即可证明PE_LC£>；

(2)以。为原点建立空间直角坐标系，再求平面APE以及平面PCE的法向量，再求两个平面法向量夹角的余弦值,

结合图像即可求得二面角A—PE—C的余弦值.

【详解】

(1)证明：连接。E,BD.

因为四边形ABC。是菱形且ND43=60°,E为AB的中点，所以JDK_L43.

因为PDL平面ABCD,所以Pz)J_AB,

又DECPD=D,所以ABL平面PDE,

则Ae_LP£.

因为ABUCD,所以PE_LCD.

(2)以。为原点建立空间直角坐标系。-砂(其中。为AC与BD的交点)，如图所示，则P(-1,0,26),

A(θ,-√3,θ),C(θ,√3,θ).

I22J

设平面APE'的法向量为〃=(不，乂,Z∣),

贝!∣AP∙"=0,AEn=0,

-玉+ʌ/ɜʃi+2>∕3z∣-0

1,

即］+√3-A

令Ai=百，得〃=(百,Tl).

设平面PCE的法向量为〃2=(&,%，22)，

则PCm=0，CEm=Q>

x2+∖∣3y2-2∖fiz2-O

令为2=3百，得，〃=(36,1,2).

„,.n∙m10√i(j

所以CoS〈〃,〃?〉=r^7=

IrtIImI√5×√324

由图可知二面角A—PE—C为钝角，

故二面角A—PE-C的余弦值为-巫

4

【点睛】

本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想

象转化分析推理能力.

20、(D直线/的普通方程为/=一尢+3+石；圆。的直角坐标方程为丁+。，_6)2=5；(2)3√2∙

【解析】

(1)由直线的参数方程消去参数可直接得到普通方程；由极坐标与直角坐标的互化公式，可直接得到圆的直角坐标方

程；

(2)将直线参数方程代入圆的直角坐标方程，结合韦达定理，根据参数的方法，即可求出结果.

【详解】

[R也

x=3------1

由直线/的参数方程为参数)得直线[的普通方程为

(1)2(tJ=-Λ+3+√5

y=小+当

V2

222

由O=2后sin凡得%+ʃ-2√5y=0,即圆C的直角坐标方程为√+(y-√5)=5.

⑵将直线/的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3-立√y+(Yl√)2=5,

22

即产一301+4=0，

由于A=(3√2)2-4×4>0>0,

故可设乙，L是上述方程的两个实根，

t∖+t=3Λ∕Σ

所以1

牝=4

又直线/过点P(3,6),

⅜IB4∣+1Pδ∣=Ir,I+1z21=η+r2=3√2.

【点睛】

本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.

21、(1)(Λ∣1<Λ<4};(2)α≤l.

【解析】

试题分析：⑴当α=3时，不等式∣x-3∣+∣x-2∣<α变为,一2|+上一3<3。由绝对值的意义，按绝对值号内的

x—3,%—2的正负，分三种情况讨论：当x<2时，不等式变为2-x+3-X(3.∙∙M1.∙.1<X<2;当2≤xW3时，不

等式变为x-2+3-x<3.∙.l<3,恒成立，所以2≤x≤3符合不等式；当x>3时，不等式变为

X-2+X-3<3.∙.2X-5<3.∙.Λ<4.∙.3<Λ<4O取三种情况的并集，可得原不等式的解集。(2)解法一：构造函数

y=|x—2|+归一3|与y=α,原不等式的解集为空集，y=∣x-2∣+∣x-3∣的最小值比大于或等于。，作出

丁=卜一2|+,一3|与丁=。的图象.只须y=∣x-2∣+∣x-3］的图象在>的图象的上方，或V=。与y=l重合，

α≤l.解法二：构造函数y=∣x-2∣+∣x-3∣,讨论绝对值号内式子得正负去掉绝对值可得，ʃ=∣x-2∣+∣x-3∣

-2x-5(x≥3)

=«l(2<x≤3),求每一段函数的值域，可得函数的最小值］x-2|+|x—3|］皿=1,。小于等于函数的最小值1.解法

5-2x(x<2)

三，由不等式∣α∣+Q∣≥∣α-勿可得∣x-2∣+∣x—3∣≥∣x—2r+3∣=l,当且仅当(X-2)(x-3)≤0时，上式取等号，

.∙.a≤↑.

试题解析：解：⑴原不等式变为∣x-2∣+∣x-3∣<3.