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文档简介
2023-2024学年安徽宣城古泉中学十校联考最后数学试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.7的相反数是()A.7 B.-7 C. D.-2.如图,AD是半圆O的直径,AD=12,B,C是半圆O上两点.若,则图中阴影部分的面积是()A.6π B.12π C.18π D.24π3.已知关于x的不等式组﹣1<2x+b<1的解满足0<x<2,则b满足的条件是()A.0<b<2 B.﹣3<b<﹣1 C.﹣3≤b≤﹣1 D.b=﹣1或﹣34.方程x(x-2)+x-2=0的两个根为()A., B.,C., D.,5.等腰三角形一边长等于5,一边长等于10,它的周长是()A.20 B.25 C.20或25 D.156.如图,正方形ABCD的顶点C在正方形AEFG的边AE上,AB=2,AE=,则点G到BE的距离是()A. B. C. D.7.下列二次根式中,是最简二次根式的是()A. B. C. D.8.如图是将正方体切去一个角后形成的几何体,则该几何体的左视图为()A. B. C. D.9.如图,AB∥CD,DB⊥BC,∠2=50°,则∠1的度数是()A.40° B.50° C.60° D.140°10.随机掷一枚均匀的硬币两次,至少有一次正面朝上的概率为()A. B. C. D.11.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC,FC=2,则AB的长为()A.8 B.8 C.4 D.612.如图,在平面直角坐标中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为()A.(3,2) B.(3,1) C.(2,2) D.(4,2)二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.如图,半径为1的半圆形纸片,按如图方式折叠,使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合,则图中阴影部分的面积是________.14.函数y=中,自变量x的取值范围是________.15.分解因式:__________.16.不等式组有2个整数解,则m的取值范围是_____.17.如图,在中,CM平分交AB于点M,过点M作交AC于点N,且MN平分,若,则BC的长为______.18.如图,在2×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转一定角度后,得到△A'B'C',点A'、B'在格点上,则点A走过的路径长为_____(结果保留π)三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)某海域有A、B两个港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港口60海里,有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向的C处,求:(1)∠C=°;(2)此时刻船与B港口之间的距离CB的长(结果保留根号).20.(6分)解不等式组:21.(6分)某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度(图中线段MN的长),直线MN垂直于地面,垂足为点P.在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°,在B处测得点M的仰角为31°,AB=5米,且A、B、P三点在一直线上.请根据以上数据求广告牌的宽MN的长.(参考数据:sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.1,sin31°=0.52,cos31°=0.86,tan31°=0.1.)22.(8分)解不等式组:并把解集在数轴上表示出来.23.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,O为BC边上一点,以OC为半径的圆O,交AB于D点,且AD=AC,延长DO交圆O于E点,连接AE.求证:DE⊥AB;若DB=4,BC=8,求AE的长.24.(10分)已知抛物线过点,,求抛物线的解析式,并求出抛物线的顶点坐标.25.(10分)如图,将连续的奇数1,3,5,7…按如图中的方式排成一个数,用一个十字框框住5个数,这样框出的任意5个数中,四个分支上的数分别用a,b,c,d表示,如图所示.(1)计算:若十字框的中间数为17,则a+b+c+d=______.(2)发现:移动十字框,比较a+b+c+d与中间的数.猜想:十字框中a、b、c、d的和是中间的数的______;(3)验证:设中间的数为x,写出a、b、c、d的和,验证猜想的正确性;(4)应用:设M=a+b+c+d+x,判断M的值能否等于2020,请说明理由.26.(12分)旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法,通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起,从而方便解决问题.已知,△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D、E在边BC上,且∠DAE=α.(1)如图1,当α=60°时,将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置,连接DF,①求∠DAF的度数;②求证:△ADE≌△ADF;(2)如图2,当α=90°时,猜想BD、DE、CE的数量关系,并说明理由;(3)如图3,当α=120°,BD=4,CE=5时,请直接写出DE的长为.27.(12分)计算:2sin60°+|3﹣|+(π﹣2)0﹣()﹣1
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、B【解析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得答案.【详解】7的相反数是−7,故选:B.【点睛】此题考查相反数,解题关键在于掌握其定义.2、A【解析】
根据圆心角与弧的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°,根据扇形面积公式计算即可.【详解】∵,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°.∴阴影部分面积=.故答案为:A.【点睛】本题考查的知识点是扇形面积的计算,解题关键是利用圆心角与弧的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°.3、C【解析】
根据不等式的性质得出x的解集,进而解答即可.【详解】∵-1<2x+b<1∴,∵关于x的不等式组-1<2x+b<1的解满足0<x<2,∴,解得:-3≤b≤-1,故选C.【点睛】此题考查解一元一次不等式组,关键是根据不等式的性质得出x的解集.4、C【解析】
根据因式分解法,可得答案.【详解】解:因式分解,得(x-2)(x+1)=0,
于是,得x-2=0或x+1=0,
解得x1=-1,x2=2,
故选:C.【点睛】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握因式分解法是解题关键.5、B【解析】
题目中没有明确腰和底,故要分情况讨论,再结合三角形的三边关系分析即可.【详解】当5为腰时,三边长为5、5、10,而,此时无法构成三角形;当5为底时,三边长为5、10、10,此时可以构成三角形,它的周长故选B.6、A【解析】
根据平行线的判定,可得AB与GE的关系,根据平行线间的距离相等,可得△BEG与△AEG的关系,根据根据勾股定理,可得AH与BE的关系,再根据勾股定理,可得BE的长,根据三角形的面积公式,可得G到BE的距离.【详解】连接GB、GE,由已知可知∠BAE=45°.又∵GE为正方形AEFG的对角线,∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.∵AE=4,AB与GE间的距离相等,∴GE=8,S△BEG=S△AEG=SAEFG=1.过点B作BH⊥AE于点H,∵AB=2,∴BH=AH=.∴HE=3.∴BE=2.设点G到BE的距离为h.∴S△BEG=•BE•h=×2×h=1.∴h=.即点G到BE的距离为.故选A.【点睛】本题主要考查了几何变换综合题.涉及正方形的性质,全等三角形的判定及性质,等积式及四点共圆周的知识,综合性强.解题的关键是运用等积式及四点共圆的判定及性质求解.7、B【解析】
根据最简二次根式必须满足两个条件:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式判断即可.【详解】A、=4,不符合题意;B、是最简二次根式,符合题意;C、=,不符合题意;D、=,不符合题意;故选B.【点睛】本题考查最简二次根式的定义.最简二次根式必须满足两个条件:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.8、C【解析】看到的棱用实线体现.故选C.9、A【解析】试题分析:根据直角三角形两锐角互余求出∠3,再根据两直线平行,同位角相等解答.解:∵DB⊥BC,∠2=50°,∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣50°=40°,∵AB∥CD,∴∠1=∠3=40°.故选A.10、D【解析】
先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况,再根据概率公式求解.【详解】随机掷一枚均匀的硬币两次,落地后情况如下:至少有一次正面朝上的概率是,故选:D.【点睛】本题考查了随机事件的概率,如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率.11、D【解析】分析:连接OB,根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF,再根据矩形的性质可得OA=OB,根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO,再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°,即∠BAC=30°,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC,再利用勾股定理列式计算即可求出AB.详解:如图,连接OB,∵BE=BF,OE=OF,∴BO⊥EF,∴在Rt△BEO中,∠BEF+∠ABO=90°,由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知:OA=OB=OC,∴∠BAC=∠ABO,又∵∠BEF=2∠BAC,即2∠BAC+∠BAC=90°,解得∠BAC=30°,∴∠FCA=30°,∴∠FBC=30°,∵FC=2,∴BC=2,∴AC=2BC=4,∴AB===6,故选D.点睛:本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半,综合题,但难度不大,(2)作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键.12、A【解析】
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为,∴=,∵BG=6,∴AD=BC=2,∵AD∥BG,∴△OAD∽△OBG,∴=,∴=,解得:OA=1,∴OB=3,∴C点坐标为:(3,2),故选A.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、.【解析】试题解析:如图,连接OM交AB于点C,连接OA、OB,由题意知,OM⊥AB,且OC=MC=1,在RT△AOC中,∵OA=2,OC=1,∴cos∠AOC=,AC=∴∠AOC=60°,AB=2AC=2,∴∠AOB=2∠AOC=120°,则S弓形ABM=S扇形OAB-S△AOB==,S阴影=S半圆-2S弓形ABM=π×22-2()=2.故答案为2.14、x≤1【解析】分析:根据二次根式有意义的条件解答即可.详解:∵二次根式有意义,被开方数为非负数,∴1-x≥0,解得x≤1.故答案为x≤1.点睛:本题考查了二次根式有意义的条件,熟知二次根式有意义,被开方数为非负数是解题的关键.15、a(a-4)2【解析】
首先提取公因式a,进而利用完全平方公式分解因式得出即可.【详解】故答案为:【点睛】本题主要考查因式分解,熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.分解一定要彻底.16、1<m≤2【解析】
首先根据不等式恰好有个整数解求出不等式组的解集为,再确定.【详解】不等式组有个整数解,其整数解有、这个,.故答案为:.【点睛】此题主要考查了解不等式组,关键是正确理解解集的规律:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到.17、1【解析】
根据题意,可以求得∠B的度数,然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长,从而可以求得BC的长.【详解】∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,∴∠ACB=2∠B,NM=NC,∴∠B=30°,∵AN=1,∴MN=2,∴AC=AN+NC=3,∴BC=1,故答案为1.【点睛】本题考查含30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.18、【解析】分析:连接AA′,根据勾股定理求出AC=AC′,及AA′的长,然后根据勾股定理的逆定理得出△ACA′为等腰直角三角形,然后根据弧长公式求解即可.详解:连接AA′,如图所示.∵AC=A′C=,AA′=,∴AC2+A′C2=AA′2,∴△ACA′为等腰直角三角形,∴∠ACA′=90°,∴点A走过的路径长=×2πAC=π.故答案为:π.点睛:本题主要考查了几何变换的类型以及勾股定理及逆定理的运用,弧长公式,解题时注意:在旋转变换下,对应线段相等.解决问题的关键是找出变换的规律,根据弧长公式求解.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1)60;(2)【解析】(1)由平行线的性质以及方向角的定义得出∠FBA=∠EAB=30°,∠FBC=75°,那么∠ABC=45°,又根据方向角的定义得出∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,利用三角形内角和定理求出∠C=60°;(2)作AD⊥BC交BC于点D,解Rt△ABD,得出BD=AD=30,解Rt△ACD,得出CD=10,根据BC=BD+CD即可求解.解:(1)如图所示,∵∠EAB=30°,AE∥BF,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°,∴∠ABC=45°,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∴∠C=60°.故答案为60;(2)如图,作AD⊥BC于D,在Rt△ABD中,∵∠ABD=45°,AB=60,∴AD=BD=30.在Rt△ACD中,∵∠C=60°,AD=30,∴tanC=,∴CD==10,∴BC=BD+CD=30+10.答:该船与B港口之间的距离CB的长为(30+10)海里.20、﹣9<x<1.【解析】
先求每一个不等式的解集,然后找出它们的公共部分,即可得出答案.【详解】解不等式1(x﹣1)<2x,得:x<1,解不等式﹣<1,得:x>﹣9,则原不等式组的解集为﹣9<x<1.【点睛】此题考查了解一元一次不等式组,用到的知识点是解一元一次不等式组的步骤,关键是找出两个不等式解集的公共部分.21、1.8米【解析】
设PA=PN=x,Rt△APM中求得=1.6x,在Rt△BPM中,解得x=3,MN=MP-NP=0.6x=1.8.【详解】在Rt△APN中,∠NAP=45°,∴PA=PN,在Rt△APM中,,设PA=PN=x,∵∠MAP=58°,∴=1.6x,在Rt△BPM中,,∵∠MBP=31°,AB=5,∴,∴x=3,∴MN=MP-NP=0.6x=1.8(米),答:广告牌的宽MN的长为1.8米.【点睛】熟练掌握三角函数的定义并能够灵活运用是解题的关键.22、不等式组的解集为﹣7<x≤1,将解集表示在数轴上表示见解析.【解析】试题分析:先解不等式组中的每一个不等式,再根据大大取较大,小小取较小,大小小大取中间,大大小小无解,把它们的解集用一条不等式表示出来.试题解析:由①得:﹣2x≥﹣2,即x≤1,由②得:4x﹣2<5x+5,即x>﹣7,所以﹣7<x≤1.在数轴上表示为:.考点:解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.点睛:分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.不等式组的解集在数轴上表示的方法:把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.23、(1)详见解析;(2)6【解析】
(1)连接CD,证明即可得到结论;(2)设圆O的半径为r,在Rt△BDO中,运用勾股定理即可求出结论.【详解】(1)证明:连接CD,∵∴∵∴.(2)设圆O的半径为,,设.【点睛】本题综合考查了切线的性质和判定及勾股定理的综合运用.综合性比较强,对于学生的能力要求比较高.24、y=+2x;(-1,-1).【解析】试题分析:首先将两点代入解析式列出关于b和c的二元一次方程组,然后求出b和c的值,然后将抛物线配方成顶点式,求出顶点坐标.试题解析:将点(0,0)和(1,3)代入解析式得:解得:∴抛物线的解析式为y=+2x∴y=+2x=-1∴顶点坐标为(-1,-1).考点:待定系数法求函数解析式.25、(1)68
;(2)4倍;(3)4x,猜想正确,见解析;(4)M的值不能等于1,见解析.【解析】
(1)直接相加即得到答案;(2)根据(1)猜想a+b+c+d=4x;(3)用x表示a、b、c、d,相加后即等于4x;(4)得到方程5x=1,求出的x不符合数表里数的特征,故不能等于1.【详解】(1)5+15+19+29=68,故答案为68;(2)根据(1)猜想a+b+c+d=4x,答案为:4倍;(3)a=x-12,b=x-2,c=x+2,d=x+12,∴a+b+c+d=x-12+x-2+x+2+x+12=4x,∴猜想正确;(4)M=a+b+c+d+x=4x+x=5x,若M=5x=1,解得:x=404,但整个数表所有的数都为奇数,故不成立,∴M的值不能等于1.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用.当解得方程的解后,要观察是否满足题目和实际要求再进行取舍.26、(1)①30°②见解析(2)BD2+CE2=DE2(3)【解析】
(1)①利用旋转的性质得出∠FAB=∠CAE,再用角的和即可得出结论;②利用SAS判断出△ADE≌△ADF,即可得出结论;(2)先判断出BF=CE,∠ABF=∠ACB,再判断出∠DBF=90°,即可得出结论;(3)同(2)的方法判断出∠DBF=60°,再用含30度角的直角三角形求出BM,FM,最后用勾股定理即可得出结论.【详解】解:(1)①由旋转得,∠
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