角的平分线(第一课时)

角的平分线(第一课时)REPORTING目录角的平分线基本概念角的平分线的性质定理角的平分线的判定定理角的平分线的尺规作图角的平分线在几何问题中的应用PART01角的平分线基本概念REPORTINGWENKUDESIGN从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的平分线。定义角的平分线是射线，它从一个角的顶点出发，将该角分为两个相等的角。性质定义与性质角的平分线将原角平分为两个相等的小角。若两角互补，则它们的平分线构成的角也是互补的。角的平分线与角的关系互补关系平分关系通常使用特定的符号或标记来表示一个角被平分，如使用一条带有箭头的线段来表示角的平分线。符号表示在几何图形中，可以通过文字描述来指出哪条射线是某个角的平分线。文字描述角的平分线的表示方法PART02角的平分线的性质定理REPORTINGWENKUDESIGN0102性质定理的表述角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线将角分为两个相等的部分。通过几何作图，我们可以证明角平分线将角分为两个相等的部…以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；再以这两点为圆心，大于它们之间距离的一半为半径，在角的内部画弧，两弧交于一点。连接这一点与角的顶点，所得射线即为角的平分线。要点一要点二要证明角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可以利用全…在角的平分线上任取一点，向角的两边作垂线，与角的两边交于两点。通过证明这两个直角三角形全等，可以得出这两段垂线段长度相等，即角平分线上的点到角两边的距离相等。性质定理的证明在几何作图中，我们可以利用角平分线的性质定理来画出角的平分线或者判断一条射线是否是一个角的平分线。在解决几何问题时，我们可以利用角平分线的性质定理来证明一些线段或角相等的关系。例如，如果知道一个三角形的一个内角的平分线与这个三角形的一边平行，那么我们可以利用角平分线的性质定理来证明这个三角形是等腰三角形。在实际生活中，角平分线的性质定理也有广泛的应用。例如，在建筑设计、工程测量等领域中，经常需要利用角平分线的性质来确定一些点的位置或者测量一些角度的大小。性质定理的应用举例PART03角的平分线的判定定理REPORTINGWENKUDESIGN角平分线的定义一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。判定定理在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。判定定理的表述已知∠AOC=∠BOC，点P在∠AOB内，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，PD=PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。证明连接OP。在△POD和△POE中，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。又∵PD=PE，OP=OP，∴△POD≌△POE（HL）。∴∠DOP=∠EOP。∴点P在∠AOB的平分线上。判定定理的证明例1分析例2分析判定定理的应用举例已知：∠AOC=70°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC。求证：∠BOM=50°。根据角平分线的定义，OM平分∠AOC，则∠COM=∠AOM=1/2∠AOC=35°。又∵∠BOC=30°，∴∠BOM=∠COM+∠BOC=35°+30°=65°，而非50°。故此题有误。已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，E是AD上一点。求证：∠BED>∠B。在直角△ABD中，∵AD⊥BC，∴∠BAD=90°-∠B。又∵E是AD上一点，∴∠BED是△ABE的外角，∴∠BED>∠BAD。∴∠BED>90°-∠B。∴∠BED>∠B。PART04角的平分线的尺规作图REPORTINGWENKUDESIGN以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点。步骤一步骤二步骤三分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径，在角的内部画弧，两弧交于一点。连接角的顶点和所得到的交点，即为角的平分线。030201作图步骤与规范将一个角平分为两个相等的小角。角的平分线定义利用圆的性质（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）和直线的性质（两点确定一条直线）来构造角的平分线。尺规作图原理作图原理分析已知∠AOB，求作∠AOB的平分线。实例一作图实例演示按照上述作图步骤，可以作出∠AOB的平分线OC。作图步骤已知△ABC，∠B为锐角，求作∠B的平分线。实例二已知四边形ABCD，∠A和∠C为钝角，求作∠A和∠C的平分线。实例三同样按照上述作图步骤，可以作出∠B的平分线BD。作图步骤分别按照上述作图步骤，可以作出∠A和∠C的平分线AE和CF。作图步骤PART05角的平分线在几何问题中的应用REPORTINGWENKUDESIGN

在三角形中的应用角的平分线性质在三角形中，角的平分线将相对边分为两段，且这两段与角的两边成比例。等腰三角形的性质在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。直角三角形斜边上的中线在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。03菱形对角线性质在菱形中，两条对角线互相垂直且平分。01平行四边形对角线性质在平行四边形中，两条对角线互相平分。02矩形对角线性质在矩形中，两条对角线不仅互相平分，而且相等。在四边形中的应用n边形的内角和等于(n-2)×180°，其中n为多边形