大学高等数学第六册第三章第七、八节

大学高等数学第六册第三章第七、八节目录CONTENCT引言第七节：微分中值定理与导数的应用第八节：不定积分习题与解答总结与回顾01引言第七节第八节主题概述介绍了多元函数微积分的基本概念，包括多元函数的极限、连续性、偏导数等。进一步探讨了多元函数微积分的应用，包括极值问题、条件极值问题、方向导数与梯度等。010203理解多元函数的基本概念和性质，掌握多元函数的极限、连续性和可微性的判定方法。掌握多元函数的极值问题、条件极值问题的求解方法，理解方向导数与梯度的概念及其应用。通过实例和习题加深对多元函数微积分的理解，提高解决实际问题的能力。学习目标02第七节：微分中值定理与导数的应用罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理微分中值定理若函数$f(x)$在闭区间$a,b$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，则存在$cin(a,b)$，使得$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。若函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$a,b$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，且$g'(x)neq0$，则存在$cin(a,b)$，使得$frac{f'(c)}{g'(c)}=frac{f(g(b))-f(g(a))}{g(b)-g(a)}$。若函数$f(x)$在闭区间$a,b$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，且$f(a)=f(b)$，则存在$cin(a,b)$，使得$f'(c)=0$。导数表示函数图像在某点的切线斜率。若函数在某点的导数大于0，则函数在该点附近单调递增；若导数小于0，则单调递减。极值点处一阶导数为0，拐点处二阶导数为0。导数的几何意义导数的经济意义导数可以用来研究经济函数的单调性、极值和最值，从而为经济决策提供依据。导数在经济分析中可以用来研究需求、供给、成本等函数的弹性，从而分析价格变动对经济主体的影响。导数可以用来分析经济函数的边际变化，从而帮助决策者了解经济变量的变化趋势和最优配置。03第八节：不定积分80%80%100%不定积分的概念与性质不定积分是微分的逆运算，即求一个函数的原函数或不定积分。不定积分具有线性性质、积分常数性质和积分区间可加性等。不定积分在几何上表示曲线下的面积，即函数图像与x轴之间的面积。定义性质几何意义01020304直接积分法换元积分法分部积分法三角函数的不定积分不定积分的计算方法通过将两个函数的乘积进行分部积分，将一个函数的不定积分转化为另一个函数的不定积分。通过换元将复杂函数的不定积分转化为基本初等函数的不定积分。利用基本初等函数的积分公式和性质，直接求出不定积分。利用三角函数的性质和公式，求出三角函数的不定积分。曲线下的面积不定积分在几何上表示曲线下的面积，即函数图像与x轴之间的面积。微元法通过微元法，将曲线下的面积分割成无数个小矩形，每个小矩形的面积近似为函数值与分割区间的乘积，累加所有小矩形的面积即可得到整个曲线下面的面积。不定积分的几何意义04习题与解答题目1求函数$f(x)=x^3-3x^2+4$的单调区间。题目2求函数$f(x)=x^2-2lnx$的极值点。题目3求函数$f(x)=frac{1}{x}-lnx$的零点。题目4求函数$f(x)=frac{1}{x}+x^2$在区间$(0,+infty)$内的最小值。第七节习题与解答第八节习题与解答求函数$f(x)=x^3-3x^2+4$的凹凸区间和拐点。题目1求函数$f(x)=frac{1}{x}-lnx$的极值。题目3求函数$f(x)=frac{1}{x}+x^2$在区间$(0,+infty)$内的最大值。题目4求函数$f(x)=x^2-2lnx$的渐近线。题目205总结与回顾本章重点回顾010203极值的定义与判定方法条件极值问题及其解法第七节：多元函数的极值与最值最值的概念及其求法曲线的曲率计算公式第八节：曲线的曲率与曲率圆本章重点回顾曲率圆及其性质曲率圆在几何和工程中的应用本章重点回顾学习建议与展望学习建议深入理解极值和最值的定义及判定方法，通过例题和习题加深理解。掌握曲率与曲率圆的计算和应用，理解其在几何和工程中的意