北师大版七年级数学下册重难点专题提优训练专题15全等模型专题：全等三角形中的常见解题模型(原卷版+解析)(4大模型)

专题15全等模型专题：全等三角形中的常见解题模型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【模型一四边形中构造全等三角形解题】 1【模型二一线三等角模型】 5【模型三三垂直模型】 12【模型四倍长中线模型】 19【典型例题】【模型一四边形中构造全等三角形解题】例题：（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．(1)若，，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【变式训练】1．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？【模型二一线三等角模型】例题：（2023春·七年级课时练习）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：．【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为．【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．(1)如图1，求证：BD＝CE；(2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．2．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且．(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面问题：①如图1，若，，求证：；②如图2，若，探索三条线段的数量关系，并证明你的结论；(2)如图3，若直线经过的外部，，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．3．（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）问题背景：(1)如图1，已知中，，，直线m经过点A，⊥直线m，⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：．

拓展延伸：(2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．请写出、、三条线段的数量关系，并证明．实际应用：(3)如图3，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标．4．（2022·河南郑州·七年级期末）在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．【模型三三垂直模型】例题：（2023秋·甘肃·八年级统考期末）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，点P在上，已知．(1)求证：；(2)求的长．【变式训练】1．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．2．（2023春·七年级单元测试）在中，，直线经过点C，且于D，于E．(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②．(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．3．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，①求证：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）【模型四倍长中线模型】例题：（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，是的中线，，，求中线的取值范围．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．2．（2023秋·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，交BC于点D．(1)如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD；(2)如图②，若∠BAC＝90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．3．（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期中）佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：(1)为什么？写出推理过程；(2)求出的取值范围；(3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：．4．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）阅读理解在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是______；类比应用如图2，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并说明理由；拓展创新如图3，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．专题15全等模型专题：全等三角形中的常见解题模型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【模型一四边形中构造全等三角形解题】 1【模型二一线三等角模型】 5【模型三三垂直模型】 12【模型四倍长中线模型】 19【典型例题】【模型一四边形中构造全等三角形解题】例题：（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．(1)若，，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC，证明△ACE≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC(1)解：连接AC，如图，在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF（SSS）．∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC证明：∵△ACE≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，∴∠DFC＝∠BEC．∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．【变式训练】1．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．(1)试说明：DE=DF：(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？【答案】(1)见解析；(2)CE+BG=EG，理由见解析；(3)当∠EDG=90°-α时，（2）中结论仍然成立．【解析】【分析】（1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出．（2）猜想、、之间的数量关系为：．首先根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出；然后根据，可得，，再根据，判断出，据此推得，所以，最后根据，判断出即可．（3）根据（2）的证明过程，要使仍然成立，则，即，据此解答即可．(1)证明：，，，，又，，在和中，，．(2)解：如图，连接，猜想、、之间的数量关系为：．证明：在和中，，，，又，，，由（1），可得，，，即，，在和中，，，又，，；(3)解：要使仍然成立，则，即，当时，仍然成立．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．【模型二一线三等角模型】例题：（2023春·七年级课时练习）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：．【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为．【答案】探究：见解析；应用：6【分析】探究：根据，，得出，根据，得出，再根据证明即可；应用：根据全等三角形的性质得出：，进而得出，根据，的面积为9，得出，即可得出答案．【详解】探究证明：∵，，又∵，∴，∵，∴，在和中，∴；应用解：∵，∴，∴，∵，的面积为9，∴，∴与的面积之和为6，故答案为：6．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．(1)如图1，求证：BD＝CE；(2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．【答案】(1)见解析(2)∠EDC，∠BAD，∠B，∠C【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△DCE，可得BD=CE；（2）由全等三角形的性质可得∠B=∠C，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．(1)证明：在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴BD＝CE．(2)解：∵△ABD≌△DCE，∴∠B＝∠C，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定，明确角度的数量关系是解题的关键．2．（2022秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且．(1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面问题：①如图1，若，，求证：；②如图2，若，探索三条线段的数量关系，并证明你的结论；(2)如图3，若直线经过的外部，，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明．【答案】(1)①见解析；②，见解析(2)不成立，，见解析【分析】（1）①利用垂直及互余的关系得到，证明≌即可；②利用三等角模型及互补证明，得到≌即可；（2）利用互补的性质得到，证明≌即可．【详解】（1）①证明：∵，∴，∴，∴，在和中，，∴≌，∴；②解：．证明：∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∴；（2）解：．理由：∵，又∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用三等角模型快速证明三角形全等是解题关键．3．（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）问题背景：(1)如图1，已知中，，，直线m经过点A，⊥直线m，⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：．

拓展延伸：(2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．请写出、、三条线段的数量关系，并证明．实际应用：(3)如图3，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标．【答案】(1)见解析(2)数量关系DE=BD＋CE，理由见解析(3)点B的坐标为【分析】（1）根据等腰三角形性质可以得到，，再用角度等量代换，可以证得，从而证得≌，得到，，用等量代换证得结论．（2）同问题1，也可以证明≌，得到，，用等量代换证得结论DE=BD＋CE；（3）如图，作轴于E，轴于F，由（1）可知，≌，然后根据上述结论可以直接写出B点坐标为．【详解】（1）证明：∵⊥直线m，直线m，∴．∵，∴，∵，∴．∵在和中，，∴≌，∴，，∴，即：．（2）解：数量关系．理由如下：在中，，∵，，∴，在和中，，∴≌，∴，，∴；（3）如图，作轴于E，轴于F，由（1）可知，≌，，∴，，∴，∴点B的坐标为．【点睛】本题考查了三角形全等的运用，利用三角形的全等来解决几何问题，找到对应边，合理利用等量代换是解题的关键．4．（2022·河南郑州·七年级期末）在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由见解析(3)△FBD与△ACE的面积之和为4【解析】【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ABF即可得出结果．(1)解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；(3)解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S△ABD＝S△CAE，设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，∴S△ABC＝BC•h＝12，S△ABF＝BF•h，∵BC＝3BF，∴S△ABF＝4，∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，∴△FBD与△ACE的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．【模型三三垂直模型】例题：（2023秋·甘肃·八年级统考期末）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，点P在上，已知．(1)求证：；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)的长为【分析】（1）根据垂直及各角之间的等量代换得出，再由全等三角形的判定即可证明；（2）由题意得：，再由全等三角形的性质结合图形求解即可．【详解】（1）证明：由题意得：，∴．∴．∵，∴．∴在和中，∴；（2）解：由题意得：，由（1）得，∴．∴，答：的长为．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．【变式训练】1．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD=BE+DE，证明见解析【解析】【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+BE．（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE=AD+DE，所以CD=BE+DE．(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．(2)证明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵

∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由图可知：DE=EA+AD=DC+BE．(3)∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由图可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．2．（2023春·七年级单元测试）在中，，直线经过点C，且于D，于E．(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②．(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析(3)，证明见解析【分析】（1）①由垂直关系可得，则由即可证明；②由的性质及线段和的关系即可证得结论；（2）由垂直可得，则由可证明，由全等三角形的性质及线段差的关系即可证得结论；（3）由垂直可得，则由可证得，由全等三角形的性质及线段的和差关系即可得到三线段间的关系．【详解】（1）如图①∵，∴，∴．又∵，，∴．②∵，∴，，∴．（2）∵，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．（3）当旋转到图3的位置时，所满足的等量关系是（或等）．∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，互余的性质等知识，证明两个三角形全等是问题的关键．3．（2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，①求证：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）【答案】（1）①证明见解析，②EF＝AE+BF；证明见解析；（2）AE＝BF+EF或BF＝AE+EF．【解析】【分析】（1）①根据∠AEC＝∠BFC＝90°，利用同角的余角相等证明∠EAC＝∠FCB即可；②根据AAS证△EAC≌△FCB，推出CE＝BF，AE＝CF即可；（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系即可．【详解】（1）证明：①∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB＝90°，∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，∴∠EAC+∠ECA＝90°，∠ECA+∠FCB＝90°，∴∠EAC＝∠FCB，②EF＝AE+BF；证明：在△EAC和△FCB中，，∴△EAC≌△FCB（AAS），∴CE＝BF，AE＝CF，∴EF＝CE+CF＝AE+BF，即EF＝AE+BF；（2）①当AD＞BD时，如图①，∵∠ACB＝90°，AE⊥l直线，同理可证∠BCF＝∠CAE（同为∠ACD的余角），又∵AC＝BC，BF⊥l直线即∠BFC＝∠AEC＝90°，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CF＝AE，CE＝BF，∵CF＝CE+EF＝BF+EF，∴AE＝BF+EF；②当AD＜BD时，如图②，∵∠ACB＝90°，BF⊥l直线，同理可证∠CBF＝∠ACE（同为∠BCD的余角），又∵AC＝BC，BE⊥l直线，即∠AEC＝∠BFC＝90°．∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CF＝AE，BF＝CE，∵CE＝CF+EF＝AE+EF，∴BF＝AE+EF．【点睛】本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ACE≌△CBF（AAS），利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．【模型四倍长中线模型】例题：（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，是的中线，，，求中线的取值范围．【答案】【分析】延长到，使,证明两边之和大于，两边之差小于，证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得．【详解】解：如图，延长至，使，连接，∵为中点，∴，在和中，∴，∴，在中，，即，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．【答案】(1)，(2)2<CD<8【解析】【分析】（1）把展开，然后根据多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得，即可求解；（2）延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，可得△CDB≌△HAD，从而得到BC=AH=a=6，再根据三角形的三边关系，即可求解．(1)解：∵，根据题意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b∴，解得：；(2)解：如图，延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，∵CD是AB边上的中线，∴BD=AD，在△CDB和△HDA中，∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，∴△CDB≌△HDA（SAS），∴BC=AH=a=6，在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AH，∴10-6<2CD<10+6，∴2<CD<8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，整式乘法和二元一次方程组的应用，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，整式乘法法则，三角形的三边关系是解题的关键．2．（2023秋·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，交BC于点D．(1)如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD；(2)如图②，若∠BAC＝90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AD＝BC，理由见解析【分析】（1）运用“”即可证明△ACD≌△EBD；（2）根据（1）方式作出辅助线，根据全等三角形的性质证明ACBE，然后再证明△BAC≌△ABE即可得出结论．【详解】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS）；（2）AD与BC的数量关系为：AD＝BC，理由如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，如图2所示：同（1）得：△ACD≌△EBD（SAS），∴AC＝BE，∠DAC＝∠DEB