八年级数学上册章节重点复习考点讲义(北师大版)专题01勾股定理的证明综合题(原卷版+解析)

专题01勾股定理的证明（综合题）易错点拨易错点拨知识点：勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．易错题专训易错题专训一．选择题1．（2022春•龙凤区期中）如图，在四边形ABDE中，AB∥DE，AB⊥BD，点C是边BD上一点，BC＝DE＝a，CD＝AB＝b，AC＝CE＝c．下列结论：①△ABC≌△CDE；②∠ACE＝90°；③四边形ABDE的面积是（a+b）2；④（a+b）2﹣c2＝2×ab；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（）A．5 B．4 C．3 D．22．（2022秋•杏花岭区校级月考）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．3．（2022春•威县期末）课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（）A．①行，②不行 B．①不行，②行 C．①，②都行 D．①，②都不行4．（2022•大观区校级开学）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是（）A．144 B．49 C．64 D．255．（2022春•交城县期中）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，如图所示四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（）A． B． C． D．6．（2022春•邕宁区期末）下面图形能够验证勾股定理的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个7．（2022•邯郸三模）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学分别设计了方案：甲：如图，用四个全等的直角三角形拼成，其中四边形ABDE和四边形CFGH均是正方形，通过用两种方法表示正方形ABDE的面积来进行证明；乙：两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，通过用两种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明．对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（）A．甲、乙均对 B．甲对、乙不对 C．甲不对，乙对 D．甲、乙均不对8．（2023秋•无锡期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝18，则S2的值是（）A． B．6 C．5 D．9．（2020春•海陵区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（）A．8 B．6 C．4 D．3二．填空题10．（2023秋•漳州期末）如图所示的四边形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知四边形ABCD的面积为64，四边形EFGH的面积为9，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y）；下列四个结论：①x2+y2＝64；②x﹣y＝3；③x+y＝；④2xy+9＝64．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）11．（2023秋•皇姑区期末）把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为．12．（2023秋•迎泽区校级月考）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼接而成．如图，若直角三角形的短直角边长为2，小正方形的面积为4，则大正方形边长为．13．曾任美国总统的加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明．如图，这就是他用两个全等的直角三角形拼出的图形．上面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两种表示方法．既可以表示为，又可以表示为．对比两种表示方法可得．化简，可得a2+b2＝c2．他的这个证明也就成了数学史上的一段佳话．三．解答题14．（2023秋•东坡区期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．15．（2023春•利辛县期中）如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：a2+b2＝c2．16．（2023春•滑县期末）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．请你开动脑筋，用它们拼出正方形图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠．（1）请你画出拼成的这个图形的示意图；（2）利用（1）中画出的图形证明勾股定理．17．（2023秋•汝州市期中）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积；（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝．18．（2022春•大观区校级期末）如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．19．（2023秋•武汉月考）2000多年来，人们对直角三角形三边之间的关系的探究颇感兴趣，古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探究它，研究它的证明，新的证法不断出现．下面给出几种探究方法（由若干个全等的直角三角形拼成如图图形），试用面积法选择其中一种推导直角三角形的三边a、b、c之间的数量关系（1）三边a、b、c之间的数量关系为；（2）理由：．20．（2018•保定二模）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）∴a2+b2＝c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．专题01勾股定理的证明（综合题）易错点拨易错点拨知识点：勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．易错题专训易错题专训一．选择题1．（2022春•龙凤区期中）如图，在四边形ABDE中，AB∥DE，AB⊥BD，点C是边BD上一点，BC＝DE＝a，CD＝AB＝b，AC＝CE＝c．下列结论：①△ABC≌△CDE；②∠ACE＝90°；③四边形ABDE的面积是（a+b）2；④（a+b）2﹣c2＝2×ab；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2解：∵AB∥DE，AB⊥BD，∴DE⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°．在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（SAS），∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E．∵∠A+∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠ACB＝90°．∵∠DCE+∠ACB+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°，故①②正确；∵AB∥DE，AB⊥BD，∴四边形ABDE的面积是；故③错误；∵梯形ABDE的面积﹣直角三角形ACE的面积＝两个直角三角形的面积，∴，∴a2+b2＝c2，（a+b）2≠c2，∵梯形ABDE的面积−直角三角形ACE的面积＝两个直角三角形的面积，∴12（a+b）2−12c2＝2×12ab，∴a2+b2＝c2，所以勾股定理成立，④正确故①②④⑤都正确，③错误．故选：B．2．（2022秋•杏花岭区校级月考）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．解：选项A中：（a+b）（a+b）×＝ab×2+c2，化简得：a2+b2＝c2，故选项A不符合题意；选项B中：（a+b）2＝ab×4+c2，化简得：a2+b2＝c2，故选项B不符合题意；选项C中：c＝ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2，故选项C不符合题意；选项D中：（a+b）2＝ab×2+a2+b2，即（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项D符合题意；故选：D．3．（2022春•威县期末）课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（）A．①行，②不行 B．①不行，②行 C．①，②都行 D．①，②都不行解：由图①可得，（a+b）2＝ab×4+c2，化简，得：a2+b2＝c2，故图①可以证明勾股定理；根据图②中的条件，无法证明勾股定理；故选：A．4．（2022•大观区校级开学）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是（）A．144 B．49 C．64 D．25解：由题意可得：小正方形的边长＝﹣5＝7，∴小正方形的面积为7×7＝49，故选：B．5．（2022春•交城县期中）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，如图所示四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（）A． B． C． D．解：A．根据图形可知：＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，∵，∴a2+b2＝c2；故A选项不符合题意；B．不能用于证明勾股定理，故B选项符合题意；C．根据图形可知：S大正方形＝4×ab+c2＝2ab+c2，S大正方形＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴2ab+c2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝c2，故C选项不符合题意；D．根据图形可知：S大正方形＝c2，S大正方形＝（b+b+a）×b+（a+b+a）×a﹣2×ab＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故D选项不符合题意，故选：B．6．（2022春•邕宁区期末）下面图形能够验证勾股定理的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理．第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．第三个图形：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理．第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积＝两个直角三角形的面积的和，即（b﹣）（a+）＝ab+cc，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理，∴能够验证勾股定理的有4个．故选：A．7．（2022•邯郸三模）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学分别设计了方案：甲：如图，用四个全等的直角三角形拼成，其中四边形ABDE和四边形CFGH均是正方形，通过用两种方法表示正方形ABDE的面积来进行证明；乙：两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，通过用两种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明．对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（）A．甲、乙均对 B．甲对、乙不对 C．甲不对，乙对 D．甲、乙均不对甲：证明：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，设AC＝b，BC＝a，AB＝c．由图可知S正方形ABDE＝4S△ABC+S正方形FCHG∵S正方形ABDE＝c2，S△ABC＝ab，正方形FCHG边长为a﹣b，∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2．故甲对；乙：证明：∵四边形ACBE的面积＝S△ACB+S△ABE＝AB•DG+AB•EG＝AB•（DG+EG）＝AB•DE＝c2，四边形ACBE的面积＝S四边形ACFE+S△EFB＝×（AC+EF）•CF+BF•EF＝（b+a）b+（a﹣b）•a＝b2+ab+a2﹣ab＝a2+b2，∴c2＝a2+b2，即a2+b2＝c2．故乙对，故选：A．8．（2023秋•无锡期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝18，则S2的值是（）A． B．6 C．5 D．解：设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，∵S1+S2+S3＝18，∴（a+b）2+（a2+b2）+（a﹣b）2＝18，∴a2+2ab+b2+a2+b2+a2﹣2ab+b2＝18，∴3（a2+b2）＝18，∴a2+b2＝6，∴S2＝a2+b2＝6，故选：B．9．（2020春•海陵区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（）A．8 B．6 C．4 D．3解：由题意可得，，∴小正方形的面积＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝16﹣12＝4，故选：C．二．填空题10．（2023秋•漳州期末）如图所示的四边形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知四边形ABCD的面积为64，四边形EFGH的面积为9，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y）；下列四个结论：①x2+y2＝64；②x﹣y＝3；③x+y＝；④2xy+9＝64．其中正确的是①②③④．（写出所有正确结论的序号）解：∵△ABC为直角三角形，∴根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝64，故①正确；由图可知，x﹣y＝CE＝＝3，故本②正确；由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为4××xy+9＝64，即2xy+9＝64；故本④正确；由2xy+9＝64可得2xy＝55①，又∵x2+y2＝64②，∴①+②得，x2+2xy+y2＝64+55，整理得，（x+y）2＝119，x+y＝，故③正确．∴正确结论有①②③④．故答案为：①②③④．11．（2023秋•皇姑区期末）把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为4．解：6﹣4＝2，2×2＝4．故图2中小正方形ABCD的面积为4．故答案为：4．12．（2023秋•迎泽区校级月考）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼接而成．如图，若直角三角形的短直角边长为2，小正方形的面积为4，则大正方形边长为2．解：∵小正方形的面积为4，∴小正方形的边长为2，∴直角三角形的长直角边为：2+2＝4，∴斜边＝＝，即大正方形的边长为，故答案为：．13．曾任美国总统的加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明．如图，这就是他用两个全等的直角三角形拼出的图形．上面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两种表示方法．既可以表示为（a+b）•（a+b），又可以表示为（ab×2+c2）．对比两种表示方法可得（a+b）•（a+b）＝ab×2+c2．化简，可得a2+b2＝c2．他的这个证明也就成了数学史上的一段佳话．解：由题可知梯形面积为（a+b）（a+b）；此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即（ab×2+c2）．因此（a+b）（a+b）＝（ab×2+c2）即a2+b2＝c2．三．解答题14．（2023秋•东坡区期末）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．证明：∵两个全等的直角三角形如图摆放，∴∠EBA＝∠CED，∵∠EBA+∠BEA＝90°，∴∠BEA+∠CED＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BCE是直角三角形，用两种方法求梯形的面积：S梯形ABCD＝2×ab+c2，S梯形ABCD＝（a+b）2，∴2×ab+c2＝（a+b）2，化简得a2+b2＝c2．15．（2023春•利辛县期中）如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：a2+b2＝c2．证明：∵四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，∴S正方形ABCD＝（a+b）2，S正方形EFGH＝c2，S△BEF＝×ab，∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BEF，∴（a+b）2＝c2+4××ab，∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2．16．（2023春•滑县期末）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．请你开动脑筋，用它们拼出正方形图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠．（1）请你画出拼成的这个图形的示意图；（2）利用（1）中画出的图形证明勾股定理．解：（1）（答案不唯一）如图；（2）证明：∵大正方形的面积可表示为（a+b）2，大正方形的面积也可表示为：c2+4×ab，∴（a+b）2＝c2+4×ab，即a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．17．（2023秋•汝州市期中）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c．（1）结合图①，求证：a2+b2＝c2；（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积；（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝6．证明：（1），，即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，∴a2+b2＝c2；（2）∵AB+BC＝24÷4＝6，设AH＝BC＝x，则AB＝6﹣x，在Rt△HOG中，由勾股定理得，OH2+OG2＝GH2，即32+（3+x）2＝（6﹣x）2，解得：x＝1，∴；（3）设正方形EFGH面积为x，设其他八个全等的三角形面积为y，∵S1+S2+S3＝18，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝18，∴x+4y＝6，∴S2＝6．故答案为：6．18．（2022春•大观区校级期末）如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，