人教版九年级数学下册同步讲义 第1课 反比例函数（原卷版+解析）

第1课反比例函数目标导航目标导航课程标准1.理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2.能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3.会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．4.会解决一次函数和反比例函数有关的问题．知识精讲知识精讲知识点01反比例函数的定义一般地，形如EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.要点诠释：(1)在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4，函数的取值范围是.故函数图象与EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4无交点.(2)()可以写成EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4()的形式，自变量的指数是，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4这一条件.(3)()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.知识点02确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4或EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4，即可求出的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：(1)设所求的反比例函数为：()；(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入关系式，得到关于待定系数的方程；(3)解方程求出待定系数的值； (4)把求得的值代回所设的函数关系式中.知识点03反比例函数的图象和性质

1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4个分支，这两个分支分别位于第EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4象限或第EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.要点诠释：(1)若点()在反比例函数的图象上，则点(EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4对称；(2)在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．2、画反比例函数的图象的基本步骤：(1)列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对(或三对以上)互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；(2)描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；(3)连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；(4)反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．3、反比例函数的性质(1)如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4象限，在每个象限内，值随值的增大而EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4；(2)如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4象限，在每个象限内，值随值的增大而EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.知识点04比例系数K的几何意义过双曲线()上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为EMBEDEquation.3EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4.过双曲线()上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为EMBEDEquation.3EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4.要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.能力拓展能力拓展考法01反比例函数定义【典例1】当为何值时是反比例函数？考法02确定反比例函数解析式【典例2】正比例函数y=2x与双曲线的一个交点坐标为A(2，m)．(1)求出点A的坐标；(2)求反比例函数关系式．【即学即练1】已知，与成正比例，与成反比例，且当＝1时，＝7；当＝2时，＝8．(1)与之间的函数关系式；(2)自变量的取值范围；(3)当＝4时，的值．考法03反比例函数的图象和性质【典例3】正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是()A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【即学即练2】已知四个函数y=﹣x+1，y=2x﹣1，y=﹣，y=，其中y随x的增大而减小的有()个．A.4B.3C.2D.1考法04反比例函数综合如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M(2，)，N(－1，－4)两点.(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．【即学即练3】如图所示，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A(3，2)．(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．(2)根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？(3)M()是反比例函数图象上的一动点，其中0＜＜3，过点M作直线MB∥轴，交轴于点B；过点A作直线AC∥轴交轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．分层提分分层提分题组A基础过关练1.在反比例函数的图象上有两点A，B，当时，有，则的取值范围是()A．B．C．D．2.如图所示的图象上的函数关系式只能是()．A.B.C.D.3.已知，点P()在反比例函数的图像上，则直线不经过的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.在函数(为常数)的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是().A．<<B．<<C．<<D．<<5.如图，直线x=t(t＞0)与反比例函数y=(x＞0)、y=(x＞0)的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为() A.2 B.3C.4 D.56.如图，点A、C为反比例函数y=图象上的点，过点A、C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为时，k的值为()A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣6题组B能力提升练7.如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是____________________(用“＜”连接).8.如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为(1，2)，点B与点D在反比例函数(＞0)的图象上，则点C的坐标为_________．9.已知y1与x成正比例(比例系数为k1)，y2与x成反比例(比例系数为k2)，若函数y=y1+y2的图象经过点(1，2)，(2，)，则8k1+5k2的值为．10.已知A()，B()都在图象上．若，则的值为_________．11.如图，正比例函数的图象与反比例函数(＞0)的图象交于点A，若取1，2，3…20，对应的Rt△AOB的面积分别为，则＝________.12.如图所示，点，，在x轴上，且，分别过点，，作轴的平行线，与反比例函数＝(＞0)的图象分别交于点，，,分别过点，，作轴的平行线，分别于轴交于点，，,连接，，,那么图中阴影部分的面积之和为____________.题组C培优拔尖练13.已知反比例函数的图象经过点P(2，﹣3)．(1)求该函数的解析式；(2)若将点P沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴方向平移n(n＞0)个单位得到点P′，使点P′恰好在该函数的图象上，求n的值和点P沿y轴平移的方向．14.如图所示，已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M(，)(在A点左侧)是双曲线上的动点．过点B作BD∥轴交于x轴于点D．过N(0，－)作NC∥轴交双曲线于点E，交BD于点C．(1)若点D坐标是(－8，0)，求A、B两点坐标及的值．(2)若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．15.如图，已知点A(﹣8，n)，B(3，﹣8)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积，(3)求方程kx+b﹣=0的解(请直接写出答案)；(4)求不等式kx+b﹣＞0的解集(请直接写出答案)．第1课反比例函数目标导航目标导航课程标准1.理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2.能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3.会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．4.会解决一次函数和反比例函数有关的问题．知识精讲知识精讲知识点01反比例函数的定义一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.要点诠释：(1)在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.(2)()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.(3)()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.知识点02确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：(1)设所求的反比例函数为：()；(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入关系式，得到关于待定系数的方程；(3)解方程求出待定系数的值； (4)把求得的值代回所设的函数关系式中.知识点03反比例函数的图象和性质

1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.要点诠释：(1)若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；(2)在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．2、画反比例函数的图象的基本步骤：(1)列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对(或三对以上)互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；(2)描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；(3)连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；(4)反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．3、反比例函数的性质(1)如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；(2)如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.知识点04比例系数K的几何意义过双曲线()上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.过双曲线()上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.能力拓展能力拓展考法01反比例函数定义【典例1】当为何值时是反比例函数？【思路点拨】根据反比例函数解析式，也可以写成的形式，后一种表达方法中的次数为-1，由此可知函数是反比例函数，要具备的两个条件为且，二者必须同时满足，缺一不可．【答案与解析】解：令由①得，＝±1，由②得，≠1．综上，＝－1，即＝－1时，是反比例函数．【总结升华】反比例函数解析式的三种形式：①；②；③．考法02确定反比例函数解析式【典例2】正比例函数y=2x与双曲线的一个交点坐标为A(2，m)．(1)求出点A的坐标；(2)求反比例函数关系式．【答案与解析】解：(1)将A点坐标是(2，m)代入正比例y=2x中，得：m=4，则A(2，4)；(2)将A(2，4)代入反比例解析式中，得：4=，即k=8，则反比例函数解析式y=．【总结升华】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【即学即练1】已知，与成正比例，与成反比例，且当＝1时，＝7；当＝2时，＝8．(1)与之间的函数关系式；(2)自变量的取值范围；(3)当＝4时，的值．【答案】解：(1)∵与成正比例，∴设．∵与成反比例，∴设．∴．把与分别代入上式，得∴所以与的函数解析式为．(2)自变量的取值范围是≠0．(3)当＝4时，．考法03反比例函数的图象和性质【典例3】正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是()A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【思路点拨】由正、反比例函数的对称性结合点B的横坐标，即可得出点A的横坐标，再根据两函数图象的上下关系结合交点的横坐标，即可得出结论．【答案】B．【解析】解：∵正比例和反比例均关于原点O对称，且点B的横坐标为﹣2，∴点A的横坐标为2．观察函数图象，发现：当x＜﹣2或0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数的性质以及正比例函数的性质，解题的关键是求出点A的横坐标．本题属于基础题，难度不大，根据正、反比例的对称性求出点A的横坐标，再根据两函数的上下位置关系结合交点坐标即可求出不等式的解集．【即学即练2】已知四个函数y=﹣x+1，y=2x﹣1，y=﹣，y=，其中y随x的增大而减小的有()个．A.4B.3C.2D.1【答案】D；提示：解：y=﹣x+1中k=﹣1＜0，所以y随x的增大而减小，正确；y=2x﹣1中k=2＞0，所以y随x的增大而增大，故本选项，错误；y=﹣是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错误；y=是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错误．故选D．考法04反比例函数综合【典例4】如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M(2，)，N(－1，－4)两点.(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．【思路点拨】(1)由点N的坐标为(－1，－4)，根据待定系数法可求反比例函数的关系式．从而求出点M的坐标．再根据M、N的坐标，用待定系数法可求出一次函数的关系式；(2)结合图象位置和两交点的坐标，可得到使反比例函数大于一次函数的值的的取值范围．【答案与解析】解：(1)设反比例函数的关系式为．由N(－1，－4)，得，∴＝4．∴反比例函数的关系式为．∵点M(2，)在双曲线上，∴．∴点M(2，2)．设一次函数的关系式为，由M(2，2)、N(－1，－4)，得解得∴一次函数的关系式为．(2)由图象可知，当＜－1或0＜＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值．【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．也考查了待定系数法确定函数解析式以及观察函数图象的能力．【即学即练3】如图所示，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A(3，2)．(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．(2)根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？(3)M()是反比例函数图象上的一动点，其中0＜＜3，过点M作直线MB∥轴，交轴于点B；过点A作直线AC∥轴交轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．【答案】解：(1)将A(3，2)分别代入，中，得，3＝2．∴＝6，．∴反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式为．(2)观察图象，在第一象限内，当0＜＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值．(3)BM＝DM．理由：∵，∴，即OC·OB＝12．∵OC＝3，∴OB＝4，即＝4．∴．∴，．∴MB＝MD．分层提分分层提分题组A基础过关练1.在反比例函数的图象上有两点A，B，当时，有，则的取值范围是()A．B．C．D．【答案】C；【解析】由题意画出图象，只能在一、三象限，故.2.如图所示的图象上的函数关系式只能是()．A.B.C.D.【答案】D；【解析】画出的图象，再把轴下方的图象翻折上去.3.已知，点P()在反比例函数的图像上，则直线不经过的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C；【解析】由题意，故＞0，直线经过一、二、四象限.4.在函数(为常数)的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是().A．<<B．<<C．<<D．<<【答案】D；【解析】，故图象在二、四象限，画出图象，比较大小得D答案.5.如图，直线x=t(t＞0)与反比例函数y=(x＞0)、y=(x＞0)的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为() A.2 B.3C.4 D.5【答案】D；【解析】解：由题意得，点C的坐标(t，﹣)，点B的坐标(t，)，BC=+，则(+)×t=3，解得k=5，故选：D．6.如图，点A、C为反比例函数y=图象上的点，过点A、C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为时，k的值为()A．4 B．6 C．﹣4 D．﹣6【答案】C．【解析】设点C的坐标为(m，)，则点E(m，)，A(m，)，∵S△AEC=BD•AE=(m﹣m)•(﹣)=﹣k=，∴k=﹣4．题组B能力提升练7.如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是____________________(用“＜”连接).【答案】；8.如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为(1，2)，点B与点D在反比例函数(＞0)的图象上，则点C的坐标为_________．【答案】(3，6)；【解析】由题意B点的坐标为(1，6)，D点的坐标为(3，2)，因为ABCD是矩形，故C点的坐标为(3，6).9.已知y1与x成正比例(比例系数为k1)，y2与x成反比例(比例系数为k2)，若函数y=y1+y2的图象经过点(1，2)，(2，)，则8k1+5k2的值为．【答案】9；【解析】设y1=k1x，y2=，则y=y1+y2=k1x+，将(1，2)、(2，)代入得：，解得：∴8k1+5k2==9．故答案为9．10.已知A()，B()都在图象上．若，则的值为_________．【答案】－12；【解析】由题意所以，因为，所以＝－12.11.如图，正比例函数的图象与反比例函数(＞0)的图象交于点A，若取1，2，3…20，对应的Rt△AOB的面积分别为，则＝________.【答案】105；【解析】△AOB的面积始终为，故＝.12.如图所示，点，，在x轴上，且，分别过点，，作轴的平行线，与反比例函数＝(＞0)的图象分别交于点，，,分别过点，，作轴的平行线，分别于轴交于点，，,连接，，,那么图中阴影部分的面积之和为____________.【答案】；【解析】()第一个阴影部分面积等于4；()，用待定系数法求出直线的解析式，再求出与的交点坐标为()，第二个阴影面积为＝1；()，求出直线的解析式，再求出与的交点坐标为()，第三个阴影部分面积为，