函数与极限第二节

函数与极限第二节函数的概念与性质极限的概念与性质导数的概念与性质函数的单调性与极值习题与答案contents目录01函数的概念与性质函数是数学上的一个概念，它描述了两个集合之间的关系。设$A$、$B$是两个非空集合，如果存在一个法则使得对集合$A$中的任意元素$x$，通过这个法则，都能唯一确定集合$B$中的一个元素$y$与之对应，则称这个关系为从集合$A$到集合$B$的一个函数，记作$y=f(x)$。函数的定义函数可以通过解析式、表格、图象等方式来表示。解析式表示法是一种常见的表示方法，它通过数学表达式来表示函数的关系。表格表示法通过列出输入值和对应的输出值来表示函数关系。图象表示法则通过绘制函数的曲线图来表示函数关系。函数的表示函数的定义与表示函数的性质函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量可以取的值的集合，值域是指因变量可以取的值的集合。单调性如果对于任意$x_1<x_2$都有$f(x_1)leqf(x_2)$（或$f(x_1)geqf(x_2)$），则称函数在区间内单调递增（或递减）。奇偶性如果对于所有$x$都有$f(-x)=f(x)$（或$f(-x)=-f(x)$），则称函数为偶函数（或奇函数）。有界性如果存在一个正数M，使得对于所有x，都有|f(x)|≤M，则称函数有界。一元函数与多元函数根据自变量的个数，函数可以分为一元函数和多元函数。一元函数只有一个自变量，而多元函数则有多个自变量。连续函数与离散函数根据函数的取值方式，函数可以分为连续函数和离散函数。连续函数是指函数的取值在定义域内是连续不断的，而离散函数则是指函数的取值在定义域内是离散的。可微函数与不可微函数根据函数的导数是否存在，函数可以分为可微函数和不可微函数。可微函数是指函数的导数在定义域内都存在的函数，而不可微函数则是指函数的导数在定义域内不存在的函数。函数的分类02极限的概念与性质极限的描述性定义当自变量趋近于某一特定值时，函数值无限接近于某一特定数，这个特定数就是函数的极限。极限的精确定义对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正数$delta$，当$0<|x-x_0|<delta$时，有$|f(x)-L|<varepsilon$，其中$L$是函数的极限。极限的定义唯一性对于任意给定的函数，其极限值是唯一的。有界性函数的极限值所在的区间是有界的。局部有界性在自变量趋近于极限点的过程中，函数值是局部有界的。保序性在自变量趋近于极限点的过程中，函数值的相对大小关系保持不变。极限的性质在自变量趋近于某一特定值时，函数值趋近于0。在自变量趋近于某一特定值时，函数值趋近于无穷大。无穷小量与无穷大量无穷大量无穷小量03导数的概念与性质导数的定义与几何意义导数的定义导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数值的增量与自变量增量的比值在增量趋于0时的极限。几何意义导数在几何上表示函数图像上某一点处的切线的斜率。基本初等函数的导数对于常数、幂函数、指数函数、三角函数等基本初等函数，可以推导出其导数公式。导数的四则运算导数的四则运算法则是导数计算的基础，包括加、减、乘、除运算的导数公式。复合函数的导数复合函数的导数可以通过链式法则进行计算，即求内层函数的导数再乘以外层函数的导数。导数的计算通过求函数的导数，可以判断函数的单调性，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。单调性判断导数可以用来研究函数的极值和最值问题，当导数由正变负或由负变正时，函数在此点取得极值；而函数的最值可能在极值点或端点处取得。极值与最值通过求二阶导数，可以判断曲线的凹凸性，如果二阶导数大于0，则曲线为凹；如果二阶导数小于0，则曲线为凸。曲线的凹凸性导数的应用04函数的单调性与极值03单调性的判断方法导数法、切线斜率法、差分法等。01单调递增对于任意$x_1<x_2$，如果$f(x_1)<f(x_2)$，则函数在区间内单调递增。02单调递减对于任意$x_1<x_2$，如果$f(x_1)>f(x_2)$，则函数在区间内单调递减。单调性的判断极值定义函数在某点的值大于或小于其邻近点的值，称为函数在该点的极值。极值条件一阶导数等于零，且二阶导数不为零。极值计算求导数，令其一阶导数等于零，解得可能的极值点，再判断二阶导数确定是否为极值点。极值的定义与计算030201利用极值寻找最优解，如最大利润、最小成本等。优化问题在物理现象中，极值常常用来描述某一物理量的最大或最小值。物理问题在经济学中，极值可以用来分析经济变量的变化趋势和拐点。经济问题极值的应用05习题与答案习题010203(1)$lim_{xto0}frac{sinx}{x}$(2)$lim_{xto0}frac{tanx}{x}$1、求下列极限习题(3)$lim_{xto0}frac{sinx-x}{x^{3}}$(4)$lim_{xtoinfty}frac{x^{2}}{x^{4}+1}$2、求下列函数的导数(2)$f(x)=sqrt{x}$(1)$f(x)=x^{2}$习题(3)$f(x)=lnx$(4)$f(x)=e^{x}$习题答案011、求下列极限02(1)$lim_{xto0}frac{sinx}{x}=1$(2)$lim_{xto0}frac{tanx}{x}=1$03(3)$lim_{xto0}frac{sinx-x}{x^{3}}=-frac{1}{6}$(4)$lim_{xtoinfty}frac{x^{2}}{x^{4}+1}=0$答案0102032、求下列函数的导数(1)$f^{prime}(x)=2x$