2021年广西玉林市中考数学试卷（含解析版）

2021年广西玉林市中考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上.1．（3分）计算：﹣1+2的结果是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣32．（3分）我市今年中考报名人数接近101000人，将数据101000用科学记数法表示是（）A．10.1×104 B．1.01×105 C．1.01×106 D．0.101×1063．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．三棱柱4．（3分）下列计算正确的是（）A．a5+a5＝a10 B．﹣3（a﹣b）＝﹣3a﹣3b C．（ab）﹣3＝ab﹣3 D．a6÷a2＝a45．（3分）甲、乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，他们的成绩如下表（单位：环）：甲6，7，8，8，9，9乙5，6，x，9，9，10如果两人的比赛成绩的中位数相同，那么乙的第三次成绩x是（）A．6环 B．7环 C．8环 D．9环6．（3分）如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（）A．h1＝h2 B．h1＜h2 C．h1＞h2 D．以上都有可能7．（3分）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题”．下列判断正确的是（）A．两人说的都对 B．小铭说的对，小熹说的反例不存在 C．两人说的都不对 D．小铭说的不对，小熹说的反例存在8．（3分）一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至少有1个白球 B．至少有2个白球 C．至少有1个黑球 D．至少有2个黑球9．（3分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则（）A．x1+x2＜0 B．x1x2＜0 C．x1x2＞﹣1 D．x1x2＜110．（3分）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等b．一组对边平行且相等c．一组邻边相等d．一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是（）A．仅① B．仅③ C．①② D．②③11．（3分）观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用Yn表示，则Y9﹣Y4＝（）A．15×24 B．31×24 C．33×24 D．63×2412．（3分）图（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，点P从点A出发，沿三角形的边以1cm/秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点P运动时，线段AP的长度y（cm）随运动时间x（秒）变化的关系图象，则图（2）中P点的坐标是（）A．（13，4.5） B．（13，4.8） C．（13，5） D．（13，5.5）二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。把答案填在答题卡中的横线上。13．（3分）4的相反数是．14．（3分）8的立方根是．15．（3分）方程＝的解是．16．（3分）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿方向航行．17．（3分）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD＝8，则k的值是．18．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AD，AE，AC，DF，DB，AC与BD交于点M，AE与DF交于点为N，MN与AD交于点O，分别延长AB，DC于点G，设AB＝3．有以下结论：①MN⊥AD②MN＝2③△DAG的重心、内心及外心均是点M④四边形FACD绕点O逆时针旋转30°与四边形ABDE重合则所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共8小题，满分共66分。解答应写出证明过程或演算步理（含相应的文字说明），将解答写在答题卡上。19．（6分）计算：+（4﹣π）0+（﹣1）﹣1﹣6sin30°．20．（6分）先化简再求值：（a﹣2+）÷，其中a使反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限．21．（8分）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．22．（8分）2021年是中国共产党建党100周年华诞．“五一”后某校组织了八年级学生参加建党100周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图：请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）；（2）该校八年级有学生650人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？（3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率．23．（8分）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．24．（8分）某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有A，B两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨，每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉比B焚烧炉多发电50度，A，B焚烧炉每天共发电55000度．（1）求焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉各发电多少度？（2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉的发电量分别增加a%和2a%，则A，B焚烧炉每天共发电至少增加（5+a）%，求a的最小值．25．（10分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．（1）求证：四边形DEBF是菱形：（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．26．（12分）已知抛物线：y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）与x轴交点为A，B（A在B的左侧），顶点为D．（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；（2）若直线y＝﹣x与抛物线交于点M，N，且M，N关于原点对称，求抛物线的解析式；（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D′在直线l：y＝上，设直线l与y轴的交点为O′，原抛物线上的点P平移后的对应点为点Q，若O′P＝O′Q，求点P，Q的坐标．

2021年广西玉林市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上.1．（3分）计算：﹣1+2的结果是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【分析】直接利用有理数加法运算法则：绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值进行计算得出答案．【解答】解：﹣1+2＝1．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数加法，正确掌握运算法则是解题关键．2．（3分）我市今年中考报名人数接近101000人，将数据101000用科学记数法表示是（）A．10.1×104 B．1.01×105 C．1.01×106 D．0.101×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：101000＝1.01×105，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．3．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．三棱柱【分析】该几何体的主视图与左视图、俯视图均为矩形，易得出该几何体的形状．【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个矩形，且三个矩形大小不一，故该几何体是长方体．故选：C．【点评】主要考查的是由三视图判断几何体，涉及三视图的相关知识，解题时要有丰富的空间想象力．4．（3分）下列计算正确的是（）A．a5+a5＝a10 B．﹣3（a﹣b）＝﹣3a﹣3b C．（ab）﹣3＝ab﹣3 D．a6÷a2＝a4【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则、单项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：A、a5+a5＝2a5，故此选项不合题意；B、﹣3（a﹣b）＝﹣3a﹣3b，故此选项不合题意；C、（ab）﹣3＝a﹣3b﹣3，故此选项不合题意；D、a6÷a2＝a4，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的除法运算、单项式乘多项式运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（3分）甲、乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，他们的成绩如下表（单位：环）：甲6，7，8，8，9，9乙5，6，x，9，9，10如果两人的比赛成绩的中位数相同，那么乙的第三次成绩x是（）A．6环 B．7环 C．8环 D．9环【分析】根据中位数的定义，结合表中数据，即可求出答案．【解答】解：根据题意可得甲的中位数是＝8，因为两人的比赛成绩的中位数相同，所以乙的中位数是8，8＝（9+x）÷2，所以x＝7，故选：B．【点评】本题考查了中位数的概念以及中位数的计算问题，解题关键是得出甲的中位数．6．（3分）如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（）A．h1＝h2 B．h1＜h2 C．h1＞h2 D．以上都有可能【分析】分别作出△ABC底边BC上的高为AD即h1，△PQR底边QR上的高为PE即h2，再利用锐角三角函数分别表示出h1和h2即可选出正确答案．【解答】解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高为AD即h1，△PQR底边QR上的高为PE即h2，在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin55°，在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin55°，∴h1＝h2，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形相关知识，本题理解题意构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题的关键．7．（3分）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题”．下列判断正确的是（）A．两人说的都对 B．小铭说的对，小熹说的反例不存在 C．两人说的都不对 D．小铭说的不对，小熹说的反例存在【分析】根据垂径定理判断即可．【解答】解：被直径平分的弦也与直径垂直，这个结论错误，当弦是直径时，不一定满足条件，结论不成立，反例：当弦是直径，且与已知直径的夹角为60°时，结论不成立．故选：D．【点评】本题考查命题与定理，垂径定理等知识，解题的关键是理解垂径定理，属于中考常考题型．8．（3分）一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至少有1个白球 B．至少有2个白球 C．至少有1个黑球 D．至少有2个黑球【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念分别进解答即可得出答案．【解答】解：至少有1个球是白球是必然事件，故本选项符合题意；至少有2个球是白球是随机事件，故本选项不符合题意；至少有1个球是黑球是随机事件，故本选项不符合题意；至少有2个球是黑球是随机事件，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．9．（3分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则（）A．x1+x2＜0 B．x1x2＜0 C．x1x2＞﹣1 D．x1x2＜1【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝m，然后对各选项进行判断．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜1，所以x1+x2＝2，x1x2＝m＜1．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．利用判别式的意义求出m的范围是解决问题的关键．10．（3分）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等b．一组对边平行且相等c．一组邻边相等d．一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是（）A．仅① B．仅③ C．①② D．②③【分析】①由条件a可得到四边形是平行四边形，添加c得到平行四边形是菱形，再添加d得到菱形是正方形，①正确；②由条件b得到四边形是平行四边形，添加d平行四边形是矩形，再添加c矩形是正方形，②正确；③由a和b都可得到四边形是平行四边形，再添加c得到平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，③不正确．【解答】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；故选：C．【点评】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解决问题的关键．11．（3分）观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用Yn表示，则Y9﹣Y4＝（）A．15×24 B．31×24 C．33×24 D．63×24【分析】根据已知图中规律可得：Yn＝1+2+22+23+24+25+26+27+•••+2n﹣1，相减可得结论．【解答】解：由题意得：第1个图：Y1＝1，第2个图：Y2＝3＝1+2，第3个图：Y3＝7＝1+2+22，第4个图：Y4＝15＝1+2+22+23，•••第9个图：Y9＝1+2+22+23+24+25+26+27+28，∴Y9﹣Y4＝24+25+26+27+28＝24（1+2+22+23+24）＝24×（3+4+8+16）＝24×31．故选：B．【点评】本题考查了图形变化类的规律问题，根据图形可知每一个树枝上长着两个小树枝是本题的关键．12．（3分）图（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，点P从点A出发，沿三角形的边以1cm/秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点P运动时，线段AP的长度y（cm）随运动时间x（秒）变化的关系图象，则图（2）中P点的坐标是（）A．（13，4.5） B．（13，4.8） C．（13，5） D．（13，5.5）【分析】图（2）中的图象有三段，正好对应图（1）中的线段AB，BC，AC，所以AB＝8，BC＝10，当x＝13时，则P点为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得此时AP的长度，即图（2）中点P的纵坐标y．【解答】解：由图象可知：AB＝8，BC＝18﹣8＝10，当x＝13时，即点运动了13＞8，∴此时点P在线段BC上，BP＝13﹣8＝5，则P点为BC的中点，又因为∠A＝90°，所以AP＝BC＝5．所以图（2）中P的坐标为（13，5）．故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解题时注意图（2）中的点P的y并不是最小值，另外不要求成图（1）中的点P的坐标．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。把答案填在答题卡中的横线上。13．（3分）4的相反数是﹣4．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：4的相反数是﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．14．（3分）8的立方根是2．【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．【解答】解：8的立方根为2，故答案为：2．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．15．（3分）方程＝的解是x＝．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x＝1，解得：x＝，检验：当x＝时，2（x﹣1）≠0，∴分式方程的解为x＝．故答案为：x＝．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．16．（3分）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿北偏东50°方向航行．【分析】根据题意即可知AP＝12，BP＝16，AB＝20，利用勾股定理的逆定理可推出△APB是直角三角形，由甲船沿北偏西40°方向航行，即可推出乙船的航行方位角．【解答】解：由题意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，∵122+162＝202，∴△APB是直角三角形，∴∠APB＝90°，由题意知∠APN＝40°，∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，即乙船沿北偏东50°方向航行，故答案为：北偏东50°．【点评】本题考查勾股定理的应用以及方位角，熟练掌握勾股定理并能熟练应用以及能正确找出方位角是解题的关键．17．（3分）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD＝8，则k的值是3．【分析】过点A作AE∥y轴，交BC与点E，设点A（a，）则B（﹣a，﹣），可表示出BC和DC的长度，又S△BCD＝＝8，即可求出k的值．【解答】解：过点A作AE∥y轴，交BC与点E，设点A（a，）则B（﹣a，﹣），∴BE＝2a，∵△ABC是等腰三角形，底边BC∥x轴，CD∥y轴，∴BC＝4a，∴点D的横坐标为3a，∴点D的纵坐标为，∴CD＝，∵S△BCD＝＝8，∴，∴k＝3，故答案为3．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，能够利用k表示出BC和CD的长度是解决本题的关键．18．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AD，AE，AC，DF，DB，AC与BD交于点M，AE与DF交于点为N，MN与AD交于点O，分别延长AB，DC于点G，设AB＝3．有以下结论：①MN⊥AD②MN＝2③△DAG的重心、内心及外心均是点M④四边形FACD绕点O逆时针旋转30°与四边形ABDE重合则所有正确结论的序号是①②③．【分析】①正确．证明四边形AMDN是菱形即可．②正确．证明△DMN是等边三角形，求出DM即可．③正确．证明△ADG是等边三角形即可．④错误．应该是四边形FACD绕点O逆时针旋转60°与四边形ABDE重合．【解答】解：如图，连接BE．在△AFN和△DEN中，，∴△AFN≌△DEN（AAS），∴AN＝AN，同法可证AN＝AM，AM＝DM，∴AM＝MD＝DN＝NA，∴四边形AMDN是菱形，故①正确，∵∠EDF＝∠BDC＝30°，∠EDC＝120°，∴∠MDN＝60°，∵DM＝DN，∴△DMN是等边三角形，∴MN＝DM＝＝＝2，故②正确，∵∠DAB＝∠ADC＝60°，∴△ADG是等边三角形，∵DB⊥AG，AC⊥DG，∴点M是△ADG的重心、内心及外心，故③正确，∵∠DOE＝60°，∴四边形FACD绕点O逆时针旋转60°与四边形ABDE重合，故④错误，故答案为：①②③．【点评】本题考查正多边形与圆，三角形的重心，内心，外心，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找特殊四边形或特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题：本大题共8小题，满分共66分。解答应写出证明过程或演算步理（含相应的文字说明），将解答写在答题卡上。19．（6分）计算：+（4﹣π）0+（﹣1）﹣1﹣6sin30°．【分析】直接利用算术平方根以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4+1﹣1﹣6×＝4+1﹣1﹣3＝1．【点评】此题主要考查了算术平方根以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．20．（6分）先化简再求值：（a﹣2+）÷，其中a使反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限．【分析】根据题意得出a＜0，则|a|＝﹣a，然后把分式（a﹣2+）÷进行化简即可求得所求式子的值．【解答】解：反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，∴a＜0，∴|a|＝﹣a，（a﹣2+）÷＝•＝﹣1．【点评】本题考查了反比例函数的性质，分式的化简求值，求得a的符号是分式化简的关键．21．（8分）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．【分析】（1）利用题干中两组平行线找到两角对应相等即可求证△DFC∽△AED；（2）利用题干条件，找到△DFC和△AED的相似比，即可求出的值．【解答】（1）证明：∵DF∥AB，DE∥BC，∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，∴∠DFC＝∠AED，又∵DE∥BC，∴∠DCF＝∠ADE，∴△DFC∽△AED；（2）∵CD＝AC，∴＝由（1）知△DFC和△AED的相似比为：＝，故：＝（）2＝（）2＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理以及利用线段间的比进行转化从而找到相似比是解题的关键．22．（8分）2021年是中国共产党建党100周年华诞．“五一”后某校组织了八年级学生参加建党100周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图：请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）；（2）该校八年级有学生650人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？（3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率．【分析】（1）由“不及格”的学生人数除以所占百分比去抽取的人数，即可解决问题；（2）由该校八年级学生人数乘以成绩未达到“良好”及以上的学生所占的百分比即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，抽到甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）抽取的学生人数为：2÷5%＝40（人），则达到“良好”的学生人数为：40×40%＝16（人），达到“合格”的学生所占的百分比为：10÷40×100%＝25%，达到“优秀”的学生所占的百分比为：12÷40×100%＝30%，将两个统计图补充完整如下：（2）650×（5%+25%）＝195（人），答：估计成绩未达到“良好”及以上的有195人；（3）画树状图如图：共有12种等可能的结果，抽到甲、乙两人的结果有2种，∴抽到甲、乙两人的概率为＝．【点评】此题考查了列表法与树状图法、条形统计图和扇形统计图．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（8分）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．【分析】（1）连结OD，根据已知条件可推出△DOA是等边三角形，利用∠ODA＝∠C即可证明OD∥BC，进而即可知∠DFC＝∠ODF＝90°，即可求证；（2）用含有a和r的式子分别表示出BE和BF的长，根据BF＝2BE列出等式即可找到r与a的数量关系．【解答】（1）证明：连结OD，如图所示：∵∠DAO＝60°，OD＝OA，∴△DOA是等边三角形，∴∠ODA＝∠C＝60°，∴OD∥BC，又∵∠DFC＝90°，∴∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，即DF是⊙O的切线；（2）设半径为r，等边△ABC的边长为a，由（1）可知：AD＝r，则CD＝a﹣r，BE＝a﹣2r在Rt△CFD中，∠C＝60°，CD＝a﹣r，∴CF＝，∴BF＝a﹣，又∵EF是⊙O的切线，∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°，∴BF＝2BE，∴a﹣（a﹣r）＝2（a﹣2r），解得：a＝3r，即r＝，∴⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系为：r＝．【点评】本题考查圆切线的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握圆切线的判定与性质以及等边三角形性质，以及利用已知条件分别表示出BE和BF的长，根据BF＝2BE列出等式是解决本题的关键．24．（8分）某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有A，B两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨，每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉比B焚烧炉多发电50度，A，B焚烧炉每天共发电55000度．（1）求焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉各发电多少度？（2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉的发电量分别增加a%和2a%，则A，B焚烧炉每天共发电至少增加（5+a）%，求a的最小值．【分析】（1）设焚烧1吨垃圾，A焚烧炉发电m度，B焚烧炉发电n度，根据“每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉比B焚烧炉多发电50度，A，B焚烧炉每天共发电55000度”列方程组解答即可；（2）根据题意可得改进工艺后每焚烧一吨垃圾A焚烧炉发电300（1+a%）度，则B焚烧炉发电250（1+2a%）度，根据A，B焚烧炉每天共发电至少增加（5+a）%一元一次不等式即可求解．【解答】解：（1）设焚烧1吨垃圾，A焚烧炉发电m度，B焚烧炉发电n度，根据题意得：，解得，答：焚烧1吨垃圾，A焚烧炉发电300度，B发焚烧炉发电250度；（2）改进工艺后每焚烧一吨垃圾A焚烧炉发电300（1+a%）度，则B焚烧炉发电250（1+2a%）度，依题意有100×300（1+a%）+100×250（1+2a%）≥55000[1+（5+a）%]，整理得5a≥55，解得a≥11，∴a的最小值为11．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，理清数量关系，列出方程组以及相应的不等关系式是解答本题的关键．25．（10分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．（1）求证：四边形DEBF是菱形：（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．【分析】（1）先根据对角线互相平分证得四边形ABCD为平行四边形，再证得△DOF≌△BOE，从而得到DF∥BE，DF＝BE，得到四边形DEBF为平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形从而证得结论；（2）过点F作FG⊥AB于点G，根据勾股定