2021年广西柳州市中考数学试卷（含解析版）

2021年广西柳州市中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1．（3分）在实数3，，0，﹣2中，最大的数为（）A．3 B． C．0 D．﹣22．（3分）如下摆放的几何体中，主视图为圆的是（）A． B． C． D．3．（3分）柳州市大力发展新能源汽车业，仅今年二月宏光MINIEV销量就达17000辆，用科学记数法将数据17000表示（）A．0.17×105 B．17×103 C．1.7×104 D．1.7×1054．（3分）以下四个标志，每个标志都有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形是（）A．节能 B．绿色环保 C．永洁环保 D．绿色食品5．（3分）以下调查中，最适合用来全面调查的是（）A．调查柳江流域水质情况 B．了解全国中学生的心理健康状况 C．了解全班学生的身高情况 D．调查春节联欢晚会收视率6．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD的面积为（）A．9 B．10 C．11 D．127．（3分）如图，有4张形状大小质地均相同的卡片，正面印有速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶四种不同的图案，背面完全相同，现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的概率是（）A． B． C． D．8．（3分）下列计算正确的是（）A．＝ B．3＝3 C．＝ D．29．（3分）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分以及方差S2如表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是（）甲乙丙919191S262454A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定10．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．k＞0 B．b＝2 C．y随x的增大而增大 D．x＝3时，y＝011．（3分）往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（）A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm12．（3分）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A′，则此时线段CA扫过的图形的面积为（）A．4 B．6 C． D．二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．)13．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是°．14．（3分）因式分解：x2﹣1＝．15．（3分）如图，在数轴上表示x的取值范围是．16．（3分）若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是．（写出一个即可）17．（3分）在x轴，y轴上分别截取OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为（a，2），则a的值是．18．（3分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点M在以C（2，0）为圆心，半径为1的⊙C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为，则k的值是．三、解答題(本大题共8小题,共66分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．（6分）计算：|﹣3|﹣+1．（6分）解分式方程：＝．21．（8分）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．证明：在△DEC和△ABC中，，∴△DEC≌△ABC（SAS），∴．22．（8分）如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元．（1）求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？（2）小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱？23．（8分）为迎接中国共产党建党100周年，某校开展了以“不忘初心，缅怀先烈”为主题的读书活动，学校政教处对本校七年级学生五月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：（1）补全下面图1的统计图；（2）本次所抽取学生五月份“读书量”的众数为；（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，五月份“读书量”不少于4本的学生人数．24．（10分）在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；（2）求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．25．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝AB＝1，DC＝，以A为圆心，AD为半径作圆，延长CD交⊙A于点F，延长DA交⊙A于点E，连结BF，交DE于点G．（1）求证：BC为⊙A的切线；（2）求cos∠EDF的值；（3）求线段BG的长．26．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D的坐标；（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值．

2021年广西柳州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1．（3分）在实数3，，0，﹣2中，最大的数为（）A．3 B． C．0 D．﹣2【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数可得答案．【解答】解：∵﹣2是负数，∴﹣2＜0，∵0＜＜3，∴﹣2＜0＜＜3，∴最大的数是3．故选：A．【点评】此题主要考查了实数的大小比较，关键是掌握实数比较大小的法则．2．（3分）如下摆放的几何体中，主视图为圆的是（）A． B． C． D．【分析】找出从正面看，主视图为圆的几何体即可．【解答】解：A．三棱锥的主视图为三角形，三角形的内部有一条纵向的实线，故本选不合题意；B．三棱柱的主视图为矩形，矩形中间有一条纵向的虚线，故本选不合题意；C．长方体的主视图为矩形，故本选不合题意；D．球的主视图为圆，故本选项符合题意；故选：D．【点评】考查简单几何体的三视图，明确各个几何体的三视图的形状是正确判断的前提．3．（3分）柳州市大力发展新能源汽车业，仅今年二月宏光MINIEV销量就达17000辆，用科学记数法将数据17000表示（）A．0.17×105 B．17×103 C．1.7×104 D．1.7×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．【解答】解：17000＝1.7×104，故选：C．【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）以下四个标志，每个标志都有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形是（）A．节能 B．绿色环保 C．永洁环保 D．绿色食品【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．5．（3分）以下调查中，最适合用来全面调查的是（）A．调查柳江流域水质情况 B．了解全国中学生的心理健康状况 C．了解全班学生的身高情况 D．调查春节联欢晚会收视率【分析】根据全面调查的意义，结合具体问题情境逐项进行判断即可．【解答】解：A、调查柳江流域水质情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；B、了解全国中学生的心理健康状况，适合抽样调查，故本选项不合题意；C、了解全班学生的身高情况，适合普查，故本选项符合题意；D、调查春节联欢晚会收视率，适合抽样调查，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．6．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD的面积为（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】根据菱形的性质可得△AOD≌△COD≌△COB≌△AOB，再根据菱形面积公式得菱形面积，即可得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝BC＝AB，AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝∠AOB＝90°，∴Rt△AOD≌Rt△COD≌Rt△BOC≌Rt△AOB（HL），即四个三角形的面积相等，∵在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝40．∴△AOD的面积为：40＝10．故选：B．【点评】此题考查了菱形的性质．掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解决此题关键．7．（3分）如图，有4张形状大小质地均相同的卡片，正面印有速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶四种不同的图案，背面完全相同，现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的概率是（）A． B． C． D．【分析】先找出冰壶项目图案的张数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵有4张形状、大小、质地均相同的卡片，冰壶项目图案的有1张，∴从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的概率是；故选：A．【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．（3分）下列计算正确的是（）A．＝ B．3＝3 C．＝ D．2【分析】根据二次根式的加减运算以及乘法运算即可求出答案．【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意．B、3与不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意．C、原式＝，故C符合题意．D、﹣2与2不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．9．（3分）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分以及方差S2如表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是（）甲乙丙919191S262454A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．【解答】解：∵s甲2＝6，s乙2＝24，s丙2＝54，且平均数相等，∴s甲2＜s乙2＜s丙2，∴这三名同学数学成绩最稳定的是甲．故选：A．【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．10．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．k＞0 B．b＝2 C．y随x的增大而增大 D．x＝3时，y＝0【分析】根据一次函数的性质结合图象即可的出结论．【解答】解：观察一次函数图象发现，图象过第一、二、四象限，∴k＜0，A错误；∴函数值y随x的增大而减小，C错误；∵图象与y轴的交点为（0，2）∴b＝2，B正确；∵图象与x轴的交点为（4，0）∴x＝4时，y＝0，D错误．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．11．（3分）往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（）A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝24cm，∴BD＝AB＝12（cm），∵OB＝OC＝13cm，在Rt△OBD中，OD＝＝＝5（cm），∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），即水的最大深度为8cm，故选：B．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．12．（3分）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A′，则此时线段CA扫过的图形的面积为（）A．4 B．6 C． D．【分析】求线段CA扫过的图形的面积，即求扇形ACA′的面积．【解答】解：由题意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A′BC＝90°．由旋转的性质，得A′C＝AC＝4．在Rt△A1BC中，cos∠ACA′＝＝．∴∠ACA′＝60°．∴扇形ACA′的面积为＝π．即线段CA扫过的图形的面积为π．故选：D．【点评】此题考查了扇形面积的计算和解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．)13．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是60°．【分析】根据对顶角相等求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等求解即可．【解答】解：如图，∵∠1＝60°，∴∠3＝∠1＝60°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝60°．故答案为：60．【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及对顶角相等是解题的关键．14．（3分）因式分解：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．故答案为：（x+1）（x﹣1）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．15．（3分）如图，在数轴上表示x的取值范围是x＞2．【分析】根据“小于向左，大于向右及边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”求解可得．【解答】解：在数轴上表示x的取值范围是x＞2．故答案为：x＞2．【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．16．（3分）若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是5（答案不唯一）．（写出一个即可）【分析】根据三角形三边关系定理得出4﹣3＜a＜4+3，求出即可．【解答】解：由三角形三边关系定理得：4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7，即符合的整数a的值可以是5（答案不唯一），故答案为：5（答案不唯一）．【点评】本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．17．（3分）在x轴，y轴上分别截取OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为（a，2），则a的值是2或﹣2．【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，结合点P在第一、二象限，即可求出a的值．【解答】解：∵OA＝OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，∴点P在∠BOA的角平分线上，∴点P到x轴和y轴的距离相等，即|a|＝2，又∵点P的坐标为（a，2），2＞0，∴点P在第一、二象限，∴a＝±2，故答案为2或﹣2．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．18．（3分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点M在以C（2，0）为圆心，半径为1的⊙C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为，则k的值是．【分析】由反比例函数性质可以得到，A，B两点关于原点O对称，所以O是线段AB的中点，又N是线段AM的中点，所以ON是△ABM的中位线，当ON取得最大值时，BM也取得最大值，由于M在⊙C上运动，所以当B，C，M三点共线时，BM最大值为3，此时BC＝2，根据BC＝2列出方程即可求解．【解答】解：联立，∴，∴，∴A（），B（），∴A与B关于原点O对称，∴O是线段AB的中点，∵N是线段AM的中点，连接BM，则ON∥BM，且ON＝，∵ON的最大值为，∴BM的最大值为3，∵M在⊙C上运动，∴当B，C，M三点共线时，BM最大，此时BC＝BM﹣CM＝2，∴（，∴k＝0或，∵k＞0，∴，故答案为：．【点评】此题是反比例和一次函数的交点问题，考查了点到圆上一点的最值问题，对此类模型结论要非常熟悉才可解决问题．三、解答題(本大题共8小题,共66分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．（6分）计算：|﹣3|﹣+1．【分析】先计算绝对值及开方运算，再计算加减法即可．【解答】解：原式＝3﹣3+1＝1．【点评】此题考查的是开方运算及绝对值的性质，掌握其运算法则是解决此题关键．20．（6分）解分式方程：＝．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x+3＝2x，解得：x＝3，检验：当x＝3时，x（x+3）≠0，∴分式方程的解为x＝3．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21．（8分）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．证明：在△DEC和△ABC中，，∴△DEC≌△ABC（SAS），∴DE＝AB．【分析】利用“边角边”证明△DEC和△ABC全等，再根据全等三角形对应边相等可得到DE＝AB．【解答】证明：在△DEC和△ABC中，，∴△DEC≌△ABC（SAS），∴DE＝AB．故答案为：CA，∠DCE＝∠ABC，CB，DE＝AB．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．22．（8分）如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元．（1）求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？（2）小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱？【分析】（1）设A品牌螺蛳粉每箱售价为x元，B品牌螺蛳粉每箱售价为y元，根据“购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买A品牌螺蛳粉m箱，则购买B品牌螺蛳粉（100﹣m）箱，根据总价＝单价×数量，结合总价不超过9200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设A品牌螺蛳粉每箱售价为x元，B品牌螺蛳粉每箱售价为y元，依题意得：，解得：．答：A品牌螺蛳粉每箱售价为100元，B品牌螺蛳粉每箱售价为80元．（2）设购买A品牌螺蛳粉m箱，则购买B品牌螺蛳粉（100﹣m）箱，依题意得：100m+80（100﹣m）≤9200，解得：m≤60．答：A品牌螺蛳粉最多购买60箱．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（8分）为迎接中国共产党建党100周年，某校开展了以“不忘初心，缅怀先烈”为主题的读书活动，学校政教处对本校七年级学生五月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：（1）补全下面图1的统计图；（2）本次所抽取学生五月份“读书量”的众数为3；（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，五月份“读书量”不少于4本的学生人数．【分析】（1）根据“读书量”2本的人数和所占的百分比求出抽样调查的学生总数，再乘以“读书量”4本人数所占的百分比求出读4本的人数，从而补全统计图；（2）根据众数的定义求出本次所抽取学生五月份“读书量”的众数即可；（3）用七年级的总人数乘以样本中五月份“读书量”不少于4本的学生人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）抽样调查的学生总数为：＝50（人），“读书量”4本的人数所占的百分比是1﹣10%﹣10%﹣20%﹣40%＝20%，“读书量”4本的人数有：50×20%＝10（人），补全图1的统计图如下，（2）根据统计图可知众数为3，故答案为：3；（3）根据题意得，1200×（10%+20%）＝360（人），答：估计该校七年级学生中，五月份“读书量”不少于4本的学生有360人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．（10分）在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；（2）求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．【分析】（1）作PC⊥AB于C，则∠PCA＝∠PCB＝90°，由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠BPC＝45°，由直角三角形的性质得出PC＝PA＝60海里，△BCP是等腰直角三角形，得出PB＝PC＝60海里即可；（2）求出救助船A、B所用的时间，即可得出结论．【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：则∠PCA＝∠PCB＝90°，由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠CBP＝45°，在Rt△ACP中，∵∠CAP＝30°，∠PCA＝90°，∴PC＝PA＝60海里，在Rt△BCP中，∵∠PCB＝90°，∠CBP＝45°，sin∠CBP＝，∴PB＝＝＝60（海里），答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60海里；（2）∵PA＝120海里，PB＝60海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，∴救助船A所用的时间为＝3（小时），救助船B所用的时间为＝2（小时），∵3＞2，∴救助船B先到达．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用、方向角、直角三角形的性质；正确作出辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．25．（10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝AB＝1，DC＝，以A为圆心，AD为半径作圆，延长CD交⊙A于点F，延长DA交⊙A于点E，连结BF，交DE于点G．（1）求证：BC为⊙A的切线；（2）求cos∠EDF的值；（3）求线段BG的长．【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补求出∠ABC＝90°，再用AB＝AD，即可得出结论；（2）过点D作DH⊥BC于H，判断出四边形ABHD为矩形，得出BH＝DH＝AB＝1，再利用勾股定理求出CH＝2，进而求出cosC＝，再判断出∠EDF＝∠C，即可得出结论；（3）过点A作AM⊥DF于M，则DF＝2DM，∠AMD＝90°，利用三角函数求出DM＝，进而得出DF，再判断出△DFG∽△CFB，得出，进而求出DG＝，最后用勾股定理求解，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，∵AD∥BC，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝90°，∵AB＝AD，∴BC为⊙A的切线；（2）解：如图1，过点D作DH⊥BC于H，∴∠DHB＝90°，由（1）知，∠BAD＝∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠BAD＝∠BHD＝90°，∴四边形ABHD为矩形，∵AB＝AD＝1，∴矩形ABHD是正方形，∴BH＝DH＝AB＝1，在Rt△DHC中，CD＝，根据勾股定理得，CH＝＝2，∴cosC＝＝＝，∵AD∥BC，∴∠EDF＝∠C，∴cos∠EDF＝cosC＝；（3）如图2，过点A作AM⊥DF于M，则DF＝2DM，∠AMD＝90°，在Rt△AMD中，AD＝1，cos∠EDF＝，∴DM＝AD•cos∠EDF＝1×＝，∴DF＝2DM＝，∴CF＝DF+CD＝+＝，∵AD∥BC，∴△DFG∽△CFB，∴，由（1）知，BC＝1+2＝3，∴＝，∴DG＝，∴AG＝DG﹣AD＝，在Rt△BAG中，BG＝＝＝．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，正方形的判定和性质，