山东省潍坊市龙城中学高二数学理联考试题含解析

山东省潍坊市龙城中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的离心率为3．若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为，则抛物线C2的方程为（）A．x2=33y B．x2=33y C．x2=8y D．x2=16y参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可知：双曲线渐近线为bx±ay=0，e==3，则c=3a，焦点（0，），到bx±ay=0的距离d===，求得p，即可求得抛物线C2的方程．【解答】解：由题意可得双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线为y=±x，化为一般式可得bx±ay=0，离心率e===3，解得：b=2a，c=3a，又抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点为（0，），故焦点到bx±ay=0的距离d===，∴p===4，∴抛物线C2的方程为：x2=8y故选C．2.下图是计算函数y＝的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是()A．y＝ln(－x)，y＝0，y＝2xB．y＝ln(－x)，y＝2x，y＝0C．y＝0，y＝2x，y＝ln(－x)D．y＝0，y＝ln(－x)，y＝2x参考答案：B3.已知双曲线的焦距为10，点在C的一条渐近线上，则C的方程为（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】先求出渐近线的方程为，代入后可得关系，结合可得的值，从而得到双曲线的方程.【详解】双曲线的渐近线的方程为，代入可得，又且，所以，故双曲线的方程为，选A.【点睛】求双曲线的方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.前者可根据题设条件得到关于基本量的方程组，解方程组后可得双曲线的方程，后者可利用定义（第一定义、第二定义等）得到基本量的大小，然后直接得到双曲线的方程.4.在△ABC中，若，则其面积等于

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是（）

A.(1)(2)

B.（2）（3）

C.(3)(4)

D.(1)(4)参考答案：D6.下列函数中最小正周期是的函数是（A）（B）（C）

（D）参考答案：【知识点】三角函数的最小正周期【答案解析】C解析：解：A、B选项由化一公式可知最小正周期为2π，C选项把绝对值内的三角函数化成一个角，再结合其图象可知最小正周期为π，D选项可验证为其一个周期，综上可知选C.【思路点拨】求三角函数的最小正周期常用方法有公式法和图象法，公式法就是把三角函数利用三角公式化成一个角的三角函数，再利用公式计算，当化成一个角的三角函数不方便时，如绝对值函数，可用图象观察判断.7.若关于x的不等式mx+2＞0的解集是{x|x＜2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2参考答案：A【考点】其他不等式的解法．【分析】根据题意、一元一次不等式与一元一次方程的关系，列出方程求出m的值．【解答】解：∵不等式mx+2＞0的解集是{x|x＜2}，∴方程mx+2=0的解是2，则2m+2=0，解得m=﹣1，故选：A．8.已知：p：x＜k，q：≤1，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是A. B. C.（－∞，—1） D.参考答案：D9.若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表： 年龄x6789身高y118126136144由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8x+，预测该学生10岁时的身高为（） A．154 B．153 C．152 D．151参考答案：B【考点】线性回归方程． 【专题】概率与统计． 【分析】先计算样本中心点，进而可求线性回归方程，由此可预测该学生10岁时的身高． 【解答】解：由题意，=7.5，=131 代入线性回归直线方程为，131=8.8×7.5+，可得=65， ∴ ∴x=10时，=153 故选B． 【点评】本题考查回归分析的运用，考查学生的计算能力，确定线性回归直线方程是关键，属于基础题． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于

．参考答案：12.已知函数，若，则实数a的取值范围是_____．参考答案：由题意知，解得，故实数的取值范围是，故答案为.13.在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意可得△P1P2B∽△AD1B，设出P1B=x，则P1P2=x，P2到平面AA1B1B的距离为x，求出四面体的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．【解答】解：由题意在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，△P1P2B∽△AD1B，设P1B=x，x∈（0，1），则P1P2=x，P2到平面AA1B1B的距离为x，所以四面体P1P2AB1的体积为V=××1×x×（1﹣x）=（x﹣x2），当x=时，体积取得最大值：．故答案是：．14.若执行如下图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝4，x4＝8，则输出的数等于________．参考答案：15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，，异面直线AE与BD1所成角的余弦值是

；若，则x=

．参考答案：，如图建立空间坐标系，设正方体棱长为4易得：，，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值是由可得：即，∴故答案为：，

16.圆和圆相内切，若，且，则的最小值为

_________

．参考答案：917.设为实数，若复数，则a＋b＝

．参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.实数列满足：，，．证明不等式参考答案：证明：

首先，用数学归纳法证明：．时，命题显然成立．假设命题对成立，即有．设，则是减函数，于是,

，即命题对n＋1也成立．原命题等价于．设，则是凸函数，即对，有．事实上，等价于，．所以，由Jenson不等式可得，即

．另一方面，由题设及Cauchy不等式，可得，所以

，故

，从而原命题得证．19.在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，∠BAC=θ，a=4．（1）求bc的最大值；

（2）求函数的值域．参考答案：【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）由题意可得bc?cosθ=8，代入余弦定理可得b2+c2=32，由基本不等式可得b2+c2≥2bc，进而可得bc的最大值；（2）结合（1）可得cosθ≥，进而可得θ的范围，由三角函数的知识可得所求．【解答】解：（1）∵=bc?cosθ=8，由余弦定理可得16=b2+c2﹣2bc?cosθ=b2+c2﹣16，∴b2+c2=32，又b2+c2≥2bc，∴bc≤16，即bc的最大值为16，当且仅当b=c=4，θ=时取得最大值；（2）结合（1）得，=bc≤16，∴cosθ≥，又0＜θ＜π，∴0＜θ≤，∴=2sin（2θ+）﹣1∵0＜θ≤，∴＜2θ+≤，∴sin（2θ+）≤1，当2θ+=，即θ=时，f（θ）min=2×，当2θ+=，即θ=时，f（θ）max=2×1﹣1=1，∴函数f（θ）的值域为[0，1]20.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=4，S5=30．数列{bn}满足b1=0，bn=2bn﹣1+1，（n∈N，n≥2），①求数列{an}的通项公式；②设Cn=bn+1，求证：{Cn}是等比数列，且{bn}的通项公式；③设数列{dn}满足，求{dn}的前n项和为Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比关系的确定；数列递推式．【分析】①等差数列{an}中，依题意，解关于首项a1与公差d的方程组，即可求得数列{an}的通项公式；②可求得=2（n≥2，n∈N），c1=b1+1=1，从而可确定{cn}是以1为首项，2为公比的等比数列，继而可得{bn}的通项公式；③通过裂项法可求得dn=（﹣）+2n﹣1﹣1，再利用分组求和、公式法求和即可求得{dn}的前n项和为Tn．【解答】解：①由a2=a1+d=4，S5=5a1+d=30得：a1=2，d=2，∴an=2+2（n﹣1）=2n…②∵bn=2bn﹣1+1，cn=bn+1，∴===2（n≥2，n∈N）∴{cn}是以2为公比的等比数列．又∵c1=b1+1=1，∴cn=bn+1=1×2n﹣1=2n﹣1，∴bn=2n﹣1﹣1…③∵dn=+bn=+2n﹣1﹣1=（﹣）+2n﹣1﹣1，∴Tn=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]+（1+2+22+…+2n﹣1）﹣n=（1﹣）+﹣n=2n﹣n﹣21.已知函数的图象与x轴相切，且切点在x轴的正半轴上.（1）求曲线与轴，直线及x轴围成图形的面积S；（2）若函数在上的极小值不大于，求m的取值范围.参考答案：（1）；（2）试题分析：（1）先求导，求出函数的极值点，即可求出的值，再根据定积分的几何意义即可求出面积；（2）先求导，得到，分类讨论，判断函数的极小值，求出极小值，得到关于的不等式解得即可.试题解析：（1）∵∴令得，由题意可得，解得故，.（2）∵∴，当时，无极值；当，即时，令得；令得或∴在处取得极小值.当，即时，在上无极小值，故当时，在上有极