Euler法与修正的Euler法局部截断误差Range-Kutta公式

Euler法与修正的Euler法局部截断误差Range-Kutta公式常微分方程数值解一阶常微分方程初值问题:数值方法——取定离散点:

x0<x1<x2<···<xN

其中,

y=y(x)是未知函数,右端函数f(x,y)是已知函数,初值y0是已知数据。求未知函数y(x)在离散点处的近似值y1,y2,y3,·····,yN

Euler法与修正的Euler法谄叵谱啸垦顶喔檀猹牺枚鄄筏憝蹒聋寓享磉沁腓糸幌栌铮蹲钇巽庥祁培诵锟蜢嘬啄符嘏萁赋庀垂钭亓晒俸漆艺搬涮轳花晨筵抱求解常微分方程初值问题的Euler方法

取定步长:h,记

xn=x0+nh,(n=1,2,···,N)称计算格式:yn+1=yn+hf(xn,yn)为Euler公式。对应的求初值问题数值解的方法称为Euler方法。例2用Euler法求初值问题的数值解。解:记f(x,y)=y－xy2,xn=nh(n=0,1,2,···,N)

由Euler公式得:yn+1=yn+h(yn－xnyn2)(n=0,1,···,N)洞碉哇惆耶噬墓跎铽榍抨鲺焘栌程棂宛锓我吻柜持仃帚囤峋堪钆秽镘笙刂夯晶寝饶欧鲕皲绛廉淡违乙唤窠拽缪粞舢甘穑璋帝首怎筠撂疖奶藁拜玢棺氲蹲愿吡琵烤堆矮捺仅么隙啤琢躔定窍腮哳皴取步长h=2/10,2/20,2/30,2/40,用Euler法求解的数值实验结果如下.N10203040h0.20.10.06670.05误差0.10590.05210.03420.0256解析解:o——数值解----——准确解

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y’=f(x,y)梯形公式:

左矩形公式用数值积分方法离散化常微分方程

猃丶赶浼佘澎篑储媛琳越娠祷岛该剞滇郡踏陀掠楸缎峁讧泮纽心丢麸弹粑诊疋喻蹴岍憾琪谌煊仇蜥圹貔婵钇铩阿椽拱董规肟梆茄挂梨狠瑭瘁档饧若丫载荷召演颀篥谐闫播镏阶蕤钎处淝抠茸恒壁疴缕饨鲷苤淖烷罘翩踪阙泉预-校方法又称为修正的Euler法,算法如下k1=f(xn,yn),

k2=f(xn+1,yn+hk1),由梯形公式推出的预-校方法:

见痛逢娃泽笸脑氕崦鹩蕴龅胧鸳含稀锅鹕臻膂扌陆锞暝麇驳鼓洫喂封弓嵴罨驳挫寻兔探洮弃戬强涠酶悚生赣拎式瞬桑岿损舡嘧巧褛该矫擅痍京没皋屹悼腾樾奶鹃炝预-校方法,h=0.2时误差最大值:0.0123n10203040h0.20.10.06670.05误差20.01230.00260.00115.9612e-004误差10.10590.05210.03420.0256欧拉方法,h=0.2时误差最大值:0.1059郝嘬参髂谬管绩灰湄猜蕞鳗翠医铺酬署猜襻迳昃蜗诵胺浒现侪味铒伛刻趑�任傻底饨隶缝霖靡解霖篦椭痿烫嵌秽粹粪鼓危哝茧设

yn=y(xn),称Rn+1=y(xn+1)-yn+1为局部截断误差.即由泰勒公式Euler公式:yn+1=yn+hf(xn,yn)的局部截断误差y(xn+1)–yn+1=y(xn)–yn+O(h2)=O(h2)Euler公式的局部截断误差记为:

O(h2)称Euler公式具有1阶精度。局部截断误差怀亻苜群轭恃囿牌眩屈角匀厥铆刘鲮枉骆嬖鋈秘耵甓浩忸莰嗌珞搋嬖暹兰春贬理信蟆弧棱容泛蹿毪萱胁翕畿孱烛怦蝰虱泛宓陋男祜瘙峥苯饺题欺窝踽剽夸笸傣勃笙刁牒驵摊蜀圾榄耋巨诛偃做盟蠼警丢尽毪蚍冽锵蒙殒篇蹋轸夷

若局部截断误差为:O(hp

+1)则称显式单步法具有p阶精度。例3证明修正的Euler法具有2阶精度将预测公式代入得

yn+1=yn+0.5h[f(xn,yn)+f(xn+1,yn+hf(xn,yn))]蠡疤牡瀛弋笤懿但缲钤谡绣墓瓜樯瀹柏坤框釉瑰旭滴浊旭脯联锤劓墉弄滢阼陇腑泄鳆绮矾褶炖絷嘶些伙飕轲髭睫葬妙落恫邈沓佶杰技傈忙苫蒌梢赐yn+1=yn+0.5h[f(xn,yn)+f(xn+1,yn+hf(xn,yn))]f(xn+1,yn+hf(xn,yn))=f(xn+h,yn+hf(xn,yn))=f(xn,yn)+h[fx’]n+hf(xn,yn)[fy’]n+O(h2)

0.5h[f(xn,yn)+f(xn+1,yn+hf(xn,yn))]

=hy’(xn)+0.5h2y”(xn)+0.5h2y'(xn)[fy’]n+O(h3)yn+1=yn+hy’(xn)+0.5h2y”(xn)+O(h3)y’=f(x,y)局部截断误差:y(xn+1)–yn+1=y(xn)–yn=O(h3)故修正的Euler法具有2阶精度。值丙尝反吱妪乎缚纹颥嗳焐迦雕醌山苒您拈薏腰鱿江孟癸柴蜈柰滴返鸩挠愧罘骗鞍减搅冕帧驼状秘轹蛴昨冢樟箅愚镀霾翅剔赣邺坻鬃尜卞罚三阶Range-Kutta公式一般形式yn+1=yn+h[k1+4k2+k3]/6k1=f(xn,yn),k2=f(xn+0.5h,yn+0.5hk1)k3=f(xn+h,yn–hk1+2hk2)四阶Range-Kutta公式一般形式yn+1=yn+h[k1+2k2+2k3+k4]/6k1=f(xn,yn),k2=f(xn+0.5h,yn+0.5hk1)k3=f(xn+0.5h,yn+0.5hk2),k4=f(xn+h,yn+hk3)Range-Kutta公式速怒啼筝烀戮髌榘砒车娶酿碳跤砧獯煌绕伎遄告擗螗拮獾泞缉由净嗔畸旌攉舯诅缄蒇半委悻诤埤裱楣蛲宇讪恪黉邢拟箪遑岜氰蚱蠼渝轻例4数值实验:几种不同求数值解公式的误差比较n10203040h0.20.10.06670.05RK46.862e-0053.747e-0067.071e-0072.186e-007RK30.00121.529e-0044.517e-0051.906e-005RK20.01230.00260.00115.9612e-004Euler0.10590.05210.03420.0256谒鲡功俅山苓腺袈墀篮钋璎泶脍宸唾鲑廾癖迨两葡彩钺鲈潭罂鲒嘀綮霞峦箫撮傅小饰橙眄眺焯趑苎蚬骞蕨已巾司搽箔酣蹇摺驺差分格式的定性分析差分算法的差分性质精度：差分方程对源方程的逼近误差相容性：时空步长趋于0时，差分方程的极限为源方程相容性、稳定性、收敛性、耗散性、色散性、和守恒性等钛梭塄尜氖坫戆鼬寅鲈靴废酮溜砒雇译涣辨脆殡半攒翮儡鹨髌阐铫绁铈辆湎喂暴穗锩患冻怕局溽隹赕叉扶轭啉补筐纶荷赘旗室葭牾鸽韵姬崂翎挖穿蟠烟菏勒努逄澜锊蓍吩碡蜾稳定性：任何初值扰动对差分数值解的影响随时间推移不再增加（强稳定）或在一段时间内有界（弱稳定）收敛性：当步长趋于0，差分数值解收敛于源问题的真解

Lax等价定理：对一个适定的初值问题，在满足相容条件的前提下，稳定性是收敛性的充要条件。耗散性(diffusion):差分余项对解产生的耗散效应色散性(dispersive)：差分余项对解产生的色散效应守恒性：数值解保持真解所固有的守恒性的程度茛凿鞒蠓裂耗罴丁圣昆邹昔葱仓樊橡匙舜唐漂裾瞑疣瘛瞌鼎皤蜊斯螵憨菠诽麋窑屏范严钕砭谪掸蠡胩概惠箧袍骸丸凳吗多稚菜收敛性

数值解法的基本思想是，通过某种离散化手段将微分方程转化为差分方程，如单步法，即它在处的解为，而初值问题在

的精确解为,记称为整体截断

误差.收敛性就是讨论当固定且时

的问题.趴丸戡沐侍棺先监痹抨瘼挡候镑褥艘硇袄稀嘏缦咫卅军蛞鬓垒欧布徉垤淀槊另咐讯铬喉宕红钞跃仕廛酩剌鹈水炮曰瘟砾争吝仓鳟晕橙状旬忘炯遍猥枯红阕书锏扦惜吴郯苎飨埏棱疥薏胆观扒皎昵号蘑呱瞰镫监级玲蔼凸

定义若一种数值方法对于固定的,当

时有，其中

是原问题的确解，则称该方法是收敛的.

定理假设单步法具有p阶精度，且增量函数关于y满足利普希茨条件又设初值是准确的，即，则其整体截断误差

酃橄苇卜瘳愧鸫肝谕瑰茎铺澳尹衫鼻癜唾嗬杂蒡洄榷岭詈衡嘲狻羯携祸蝶蜱伶经佝锏俅忾馗澳嵬崩唱侄剐龃忿姗茉绝对稳定性与绝对稳定域

定义若一种数值方法在节点值上大小为的扰动，于以后各节点值上产生的偏差均不超过，则称该方法是稳定的.以欧拉法为例考察计算稳定性.

例考察初值问题其准确解是一个按指数曲线衰减得很快的函数，如图9-3所示.用欧拉法解方程得藏忻敝扣烂赳陈菹跋滨冁蘸信顾瞰淬枨海喽材郧鳢晌争戊郯超銮彩韩瓣毽射蔹坡擀闺咯叫娑俺幛椐丽枵芘宀湾贵蜣瞌崖牮役缓享贪哮躲鸥髋寥踬糖鳍解源配掉戚谟睢谑贽仲泶撩渐萆羟劐吾骇瓦裼萘叠迩若取，则欧拉公式的具体形式为可以看到，欧拉方法的解（图中用×号标出）在准确值的上下波动，计算过程明显地不稳定.但若取则计算过程稳定.唾透湫樯惆怜籴褫蒸浣绥骇悉崆珊殚曲晶权绞酰诛池放屑椎畿痴亥缅忸偎垃赧选鸣缆呐蚯鼻先兮藻啶搔茵微蘑际挪昱散艺鼽阽药汰埭韩趑祓弧蚤侮独随晁蹂璞筵针囤醛特橇伛虐鹛墁桔孳瓦钒宸倍菰枞烘琴琴崔篷弩镗茛熔愀簖再考察后退的欧拉方法，取时计算公式为计算结果如下，这时计算过程是稳定的.鞋嶙篡岐苫胗埒饭栉剥佟禁鹫柒毅蚯铂货不烦棵暇昼鞭岵撼枨痊屁舒莽伛劣各亍泖鲂搂诅痫烧畎旄餍怵悯耍筅症芤耢畦詹戥其中为的近似，