（聚焦典型）高三数学一轮复习《立体几何中的向量方法(一)平行与垂直的证明》理 新人教B版

[第43讲立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直的证明](时间：45分钟分值：100分)eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．[2013·海口二模]平面α经过三点A(－1，0，1)，B(1，1，2)，C(2，－1，0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是()A．a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，－1))B．a＝(6，－2，－2)C．a＝(4，2，2)D．a＝(－1，1，4)2．[2013·乌鲁木齐二模]若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的可能是()A．a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)3．[2013·哈尔滨三模]若平面π1，π2互相垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是()A．n1＝(1，2，1)，n2＝(－3，1，1)B．n1＝(1，1，2)，n1＝(－2，1，1)C．n1＝(1，1，1)，n2＝(－1，2，1)D．n1＝(1，2，1)，n1＝(0，－2，－2)4．a，b是两个非零向量，α，β是两个平面，下列命题正确的是()A．a∥b的必要条件是a，b是共面向量B．a，b是共面向量，则a∥bC．a∥α，b∥β，则α∥βD．a∥α，bα，则a，b不是共面向量eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．[2013·郑州三模]已知点A，B，C∈平面α，点P∉平面α，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0且eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0是eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．[2013·合肥三模]如图K43－1，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))′＋eq\o(BD,\s\up6(→))，则|eq\o(BP,\s\up6(→))|2的值为()图K43－1A.eq\f(3,2)B．2C.eq\f(10－\r(2),4)D.eq\f(9,4)7．[2013·南宁三模]二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq\r(17)，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．60°D．120°8．已知二面角α－l－β的大小为120°，点B，C在棱l上，A∈α，D∈β，AB⊥l，CD⊥l，AB＝2，BC＝1，CD＝3，则AD的长为()A.eq\r(14)B.eq\r(13)C．2eq\r(2)D．2eq\r(5)9．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．若|a|＝eq\r(3)，且a分别与eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))垂直，则向量a的坐标为()A．(1，1，1)B．(－1，－1，－1)C．(1，1，1)或(－1，－1，－1)D．(1，－1，1)或(－1，1，－1)10．[2013·银川三模]在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝AD＝3，CD＝6.则直线PD与BC所成的角的大小为________．11．[2013·长春模拟]在直角坐标系xOy中，设A(－2，3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时|AB|＝2eq\r(11)，则θ的大小为________．图K43－212．[2013·南京三模]如图K43－2，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2，AD＝eq\r(2)，则二面角C－AS－D的余弦值为________．13．如图K43－3，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________图K43－314．(10分)[2013·太原三模]已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法证明：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.15．(13分)如图K43－4，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD.(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；(2)设E是棱PD上一点，且PE＝eq\f(1,3)PD，求异面直线AE与PB所成的角的余弦值．图K43－4eq\a\vs4\al\co1(难点突破)16．(12分)如图K43－5，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)证明在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE.

课时作业(四十三)【基础热身】1．D[解析]设平面α的法向量为n，则n⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，n⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，n⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所有与eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→)))平行的向量或可用eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))线性表示的向量都与n垂直，故选D.2．D[解析]欲使l∥α，应有n⊥a，∴n·a＝0，故选D.3．A[解析]两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项A中的两个向量垂直．4．A[解析]选项B中，a，b共面不一定平行；选项C中更不可能；选项D，空间任意两个向量都共面，故a，b共面．【能力提升】5．A[解析]由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,\o(AP,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))＝0))得eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，亦即eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，反之，若eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，则eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝0，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，未必等于0.6．D[解析]由题意，翻折后AC′＝AB＝BC′，∴∠ABC′＝60°，∴|eq\o(BP,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(BA,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))′＋\o(BD,\s\up6(→))))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)|eq\o(BA,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,4)|eq\o(BC,\s\up6(→))′|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))′－eq\o(BC,\s\up6(→))′·eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＋2－eq\f(1,2)×1×1×cos60°－1×eq\r(2)cos45°＋1×eq\r(2)×cos45°＝eq\f(9,4).7．C[解析]由条件知，eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)).∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝116＋96cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝(2eq\r(17))2，∴cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝－eq\f(1,2)，∴〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝120°，所以二面角的大小为60°.8．D[解析]由条件知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝60°，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝4＋1＋9＋2×2×3×cos60°＝20，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2eq\r(5).9．C[解析]设a＝(x，y，z)，由条件知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－3，2)，∵a⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，a⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，|a|＝eq\r(3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x－y＋3z＝0，,x－3y＋2z＝0，,x2＋y2＋z2＝3，))将选项代入检验知选C.10．60°[解析]以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，3)，B(3，0，0)，D(0，3，0)，C(6，3，0)．eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0，3，－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3，3，0)，所以cos〈eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(PD,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(PD,\s\up6(→))|·|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(9,3\r(2)×3\r(2))＝eq\f(1,2)，即〈eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝60°，于是直线PD与BC所成的角等于60°.11．120°[解析]作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))，∵|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|eq\o(DB,\s\up6(→))|cos(180°－θ)＝－6cosθ，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))2＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DB,\s\up6(→))|2＋2(eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴(2eq\r(11))2＝32＋52＋22＋2(0－0－6cosθ)，∴cosθ＝－eq\f(1,2).由于0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.12.eq\f(\r(10),5)[解析]如图，以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz.则D(0，0，0)，A(eq\r(2)，0，0)，B(eq\r(2)，eq\r(2)，0)，C(0，eq\r(2)，0)，S(0，0，2)，得eq\o(SA,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0，－2)，eq\o(SC,\s\up6(→))＝(0，eq\r(2)，－2)．设平面ACS的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(SA,\s\up6(→))＝0，,n·\o(SC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(2)x－2z＝0，,\r(2)y－2z＝0.))取z＝eq\r(2)，得n＝(2，2，eq\r(2))．易知平面ASD的一个法向量为eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0，eq\r(2)，0)．设二面角C－AS－D的大小为θ，则|cosθ|＝eq\f(|n·\o(DC,\s\up6(→))|,|n|·|\o(DC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(10),5).结合图形知二面角C－AS－D的余弦值为eq\f(\r(10),5).13．1[解析]以D1为原点，直线D1A1，D1C1，D1D为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，B设DF＝t，CE＝k，则D1F＝1－t，∴F(0，0，1－t)，E(k，1，1)，要使B1E⊥平面ABF，易知AB⊥B1E，故只要B1E⊥AF∵eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－1，0，－t)，eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(k－1，0，1)，∴eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(B1E,\s\up6(→))＝1－k－t＝0，∴k＋t＝1，即CE＋DF＝1.14．证明：(1)如图，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))，由共面向量定理知：E，F，G，H四点共面．(2)∵eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，且E，H，B，D四点不共线，∴EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.15．解：如下图，建立空间直角坐标系A－xyz.∵PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°角，∴∠PBA＝60°.取AB＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，eq\r(3))，D(0，2，0)．(1)∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0，0，eq\r(3))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝－1＋1＋0＝0，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0.∴AC⊥CD，AP⊥CD，∴CD⊥平面PAC.又CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC.(2)∵eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PD,\s\up6(→))，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)，\f(2\r(3),3)))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)，\f(2\r(3),3))).又eq