（聚焦典型）高三数学一轮复习《基本不等式》理 新人教B版

[第36讲基本不等式](时间：45分钟分值：100分)eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．已知直角三角形的面积等于50，则两直角边的和的最小值是()A．25B．20C．16D．102．[2013·青岛模拟]已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则eq\f(1,ab)的最小值为()A.eq\f(1,4)B．4C.eq\f(1,2)D．23．[2013·福建卷]下列不等式一定成立的是()A．lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))＞lgx(x＞0)B．sinx＋eq\f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.eq\f(1,x2＋1)＞1(x∈R)4．[2013·郑州质检]设a>0，b>0，若eq\r(3)是3a与3b的等比中项，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．已知函数g(x)＝2x，且有g(a)g(b)＝2，若a>0且b>0，则ab的最大值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C．2D．46．下列函数中，最小值为2的函数是()A．y＝eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))B．y＝eq\f(x2＋1,x)C．y＝x(2eq\r(2)－x)(0<x<2eq\r(2))D．y＝eq\f(x2＋2,\r(x2＋1))7．[2013·福州质检]设a>0，若关于x的不等式x＋eq\f(a,x－1)≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为()A．16B．9C．4D．28．已知向量a＝(x，－1)，b＝(y－1，1)，x，y∈R＋，若a∥b，则t＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)的最小值是()A．4B．5C．6D．89．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为eq\f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件10．公差为d，各项均为正整数的等差数列中，若a1＝1，an＝51，则n＋d的最小值等于________．11．[2013·宁波质检]已知点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，则2m＋4n的最小值为________12．已知不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤1，,x＋y＋2≥0，,kx－y≥0))表示的平面区域为Ω，其中k≥0，则当Ω的面积最小时的k为________．13．[2013·兴化二模]已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值为________．14．(10分)已知a，b，c都是正实数，且满足log9(9a＋b)＝log3eq\r(ab)，求使4a＋b≥c恒成立的c的取值范围．15．(13分)[2013·烟台一调]某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x张(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．eq\a\vs4\al\co1(难点突破)16．(12分)[2013·江苏卷]如图K36－1，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1km，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2km，试问它的横坐标a图K36－1)

课时作业(三十六)【基础热身】1．B[解析]设两直角边长为a，b，则eq\f(1,2)ab＝50，即ab＝100，∴a＋b≥2eq\r(ab)＝20，当且仅当a＝b＝10时，a＋b有最小值，最小值为20，故选B.2．C[解析]因为a>0，b>0，则eq\f(1,ab)＝eq\f(4,4ab)＝eq\f(2a＋b,4ab)＝eq\f(1,2b)＋eq\f(1,4a)≥2eq\r(\f(1,2b)·\f(1,4a))，即eq\f(1,ab)≥eq\f(1,2).当且仅当b＝2a，即a＝1，b＝2时，等号成立，故选3．C[解析]对于A选项，当x＝eq\f(1,2)时，lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))＝lgx；所以A不一定正确；B选项，需要满足当sinx>0时，不等式成立，所以B也不正确；C选项显然正确；D不正确，∵x2＋1≥1，∴0<eq\f(1,x2＋1)≤1，所以正确的是C.4．4[解析]由eq\r(3)是3a与3b的等比中项，得3a·3b＝(eq\r(3))2，即a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，等号成立，即eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为4.【能力提升】5．B[解析]∵2a2b＝2a＋b＝2，∴a＋b＝1，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，故选B.6．D[解析]这是用基本不等式求最值的问题，选项A中等号成立时的方程eq\r(x2＋2)＝eq\f(1,\r(x2＋2))无解；选项B中，x<0时，函数没有最小值；选项C中函数没有最小值；所以只有选项D正确，故选D.7．C[解析]由x∈(1，＋∞)，得x－1>0，∴x－1＋eq\f(a,x－1)≥2eq\r(a)，当且仅当x－1＝eq\f(a,x－1)，即x＝1＋eq\r(a)时，等号成立，则2eq\r(a)≥4，即a≥4，故选C.8．B[解析]由已知可得x＋y＝1，利用基本不等式可得t＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)＝1＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,x)＝1＋eq\f(x＋y,xy)＝1＋eq\f(1,xy)≥1＋eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))\s\up12(2))＝5.故选B.9．B[解析]若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是eq\f(800,x)，仓储费用是eq\f(x,8)，总的费用是eq\f(800,x)＋eq\f(x,8)≥2eq\r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20，当且仅当eq\f(800,x)＝eq\f(x,8)时取等号，得x＝80，故选B.10．16[解析]由an＝51，得a1＋(n－1)d＝51，即(n－1)d＝50，∴n＋d＝n－1＋d＋1≥2eq\r(（n－1）d)＋1＝10eq\r(2)＋1，当且仅当n－1＝d时，等号成立，又数列各项为整数，则公差也是整数，故d＝5，n＝11时，n＋d有最小值，最小值等于16.11．2eq\r(2)[解析]由点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，得m＋2n＝1，∴2m＋4n≥2eq\r(2m·22n)＝2eq\r(2m＋2n)＝2eq\r(2)，当且仅当m＝2n＝eq\f(1,2)时，等号成立，故2m＋4n的最小值为2eq\r(2).12．1[解析]Ω表示的是三角形，其顶点坐标分别为(1，k)，(1，－3)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k＋1)，－\f(2k,k＋1)))，则面积S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k＋1)＋1))(k＋3)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k＋1)＋1))[(k＋1)＋2]＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋\f(4,k＋1)＋（k＋1）))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋2\r(\f(4,k＋1)·（k＋1）)))＝4，当且仅当eq\f(4,k＋1)＝k＋1，即k＝1时等号成立．13．7[解析]由f(m)＋f(2n)＝3，得log2(m－2)＋log2(2n－2)＝3，即(m－2)(n－1)＝4(m>2，n>1)，∴m＋n＝(m－2)＋(n－1)＋3≥2eq\r(（m－2）（n－1）)＋3＝7，当且仅当m－2＝n－1，即m＝4，n＝3时，等号成立，故m＋n的最小值为7.14．解：因为a，b都是正实数，log9(9a＋b)＝log3eq\r(ab)，则log3(9a＋b)＝log3(ab)，得9a＋b＝ab，即eq\f(9,b)＋eq\f(1,a)＝1，∴4a＋b＝(4a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,b)＋\f(1,a)))＝13＋eq\f(36a,b)＋eq\f(b,a)≥13＋2eq\r(\f(36a,b)·\f(b,a))＝25，即4a＋b≥25，当且仅当eq\f(36a,b)＝eq\f(b,a)，即b＝6a时等号成立．而c>0，所以要使4a＋b≥c恒成立，c的取值范围为0<c15．解：(1)设题中比例系数为k，若每批购入x张，则共需分eq\f(36,x)批，每批价值为20x元，由题意f(x)＝eq\f(36,x)·4＋k·20x.由f(4)＝52得k＝eq\f(16,80)＝eq\f(1,5)，∴f(x)＝eq\f(144,x)＋4x(0<x≤36，x∈N*)．(2)由(1)知f(x)＝eq\f(144,x)＋4x(0<x≤36，x∈N*)，∴f(x)≥2eq\r(\f(144,x)×4x)＝48(元)，当且仅当eq\f(144,x)＝4x，即x＝6时，上式等号成立．故每批购入6张书桌，可以使资金够用．【难点突破】16．解：(1)令y＝0，得k