（聚焦典型）高三数学一轮复习《函数模型及其应用》理 新人教B版

[第12讲函数模型及其应用](时间：35分钟分值：80分)eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．某种细胞，每15分钟分裂一次(1→2)，这种细胞由1个分裂成4096个需经过()A．12hB．4hC．3hD．2h2．某沙漠地区的某时段气温与时间的函数关系是f(t)＝－t2＋24t－101(4≤t≤18)，则该沙漠地区在该时段的最大温差是()A．54B．58C．64D．683．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为()A．800mB．900mC．1000mD．1200m4．已知A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1h后再以50km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(heq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系可用图象表示是()图K12－16．某商品1月份降价10%，此后受市场因素影响，价格连续上涨三次，使目前售价与1月份降价前相同，则连续上涨三次的价格平均回升率为()A.eq\r(3,\f(10,9))－1B.eq\r(3,\f(10,9))＋1C．2eq\r(\f(10,9))－1D.eq\f(3\r(3),3)7．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月运送货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1，y2A．5km处B．4km处C．3km处D．2km处8．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A．y＝100xB．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100log2x＋1009．用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应为________10．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为l1＝5.06x－0.15x2和l2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．11．[2013·北京朝阳区二模]一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________________________________________________________________________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)12．(13分)有时可用函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.1＋15ln\f(a,a－x)（x≤6），,\f(x－4.4,x－4)（x>6），))描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增加量f(x＋1)－f(x)总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115，121]，(121，127]，(127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．eq\a\vs4\al\co1(难点突破)13．(12分)[2013·泉州四校联考]省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,x2＋1)－a))＋2a＋eq\f(2,3)，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)．(1)令t＝eq\f(x,x2＋1)，x∈[0，24]．求t的取值范围．(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标．

课时作业(十二)【基础热身】1．C[解析]212＝4096，分裂了12次．2．C[解析]当t＝12时，f(t)max＝43，当t＝4时，f(t)min＝－21，最大温差为43－(－21)＝64.3．A[解析]设这个广场的长为xm，则宽为eq\f(40000,x)，所以其周长为l＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(40000,x)))≥800，当且仅当x＝200时取等号．4．x＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60t（0≤t≤25），,150（2.5<t≤3.5），,150－50（t－3.5）（3.5<t≤6.5）))[解析]当0≤t≤2.5时，x＝60t；当2.5<t≤3.5时，x＝150；当3.5<t≤6.5时，x＝150－50(t－3.5)．【能力提升】5．A[解析]由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A；后三年产量保持不变，总产量直线上升．故选A.6．A[解析](1－0.1)(1＋x)3＝1⇒x＝eq\r(3,\f(10,9))－1.7．A[解析]设仓库建在离车站xkm，则y1＝eq\f(k1,x)，y2＝k2x，根据给出的初始数据可得k1＝20，k2＝0.8，两项费用之和y＝eq\f(20,x)＋0.8x≥8，等号当且仅当x＝5时成立．8．C[解析]根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．9．长3m，宽1.5m[解析]设窗的长与宽分别为x，2x＋4y＝12，S＝xy＝(6－2y)y＝－2y2＋6y(0<y<3)，当x＝3，y＝1.5时，面积最大．10．45.6[解析]设甲地销量为x辆，则乙地销量为15－x辆，总利润为y(单位：万元)，则y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)(0≤x≤15，x∈N)，函数y＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)的对称轴为x＝10.2.∵x∈N，故x＝10时y最大，最大值为45.6万元．11．y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0<x≤20，x∈N*，,160－x，x>20，x∈N*))16[解析]只要把成本减去即可，成本为x＋100，故得函数关系式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0<x≤20，x∈N*，,160－x，x>20，x∈N*.))当0<x≤20时，x＝16时函数值最大，最大值为156；当x>20时y<140，故年产量为16件时，年利润最大．12．解：(1)证明：当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝eq\f(0.4,（x－3）（x－4）).而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)>0，故f(x＋1)－f(x)单调递减，∴当x≥7时，掌握程度的增加量f(x＋1)－f(x)总是下降．(2)由题意可知0.1＋15lneq\f(a,a－6)＝0.85，整理得eq\f(a,a－6)＝e0.05，解得a＝eq\f(e0.05,e0.05－1)×6＝20.50×6＝123.0，123.0∈(121，127]．由此可知，该学科是乙学科．【难点突破】13．解：(1)当x＝0时，t＝0；当0<x≤24时，x＋eq\f(1,x)≥2(当x＝1时取等号)，∴t＝eq\f(x,x2＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，即t的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).(2)当a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，记g(t)＝|t－a|＋2a＋eq\f(2,3)，则g(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－t＋3a＋\f(2,3)，0≤t≤a，,t＋a＋\f(2,3)，a<t≤\f(1,2).))∵g(t)在[0，a]上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,2)))上单调递增，且g(0)＝3a＋eq\f(2,3)，geq\f(1,2)＝a＋e