与角平分线有关的三角形内角和问题（提升题）-2022-2023学年下学期七年级数学期中复习练习【苏科版-江苏省期中真题】

24与角平分线有关的三角形内角和问题（提升题A2022-2023

学年下学期七年级数学期中复习高频考点专题练习【苏科版-

江苏省期中真题】

一、单选题

1.（2022春•江苏苏州•七年级苏州市振华中学校校考期中）如图，在AABC中，E为BC

延长线上一点，/ABC与NACE的平分线相交于点D,NO=15。,则/A的度数为（）

C.20°D.22.5°

二、填空题

2.（2022春・江苏南京•七年级南京市第十三中学校考期中）在AABC中，NABC与

NACB的平分线相交于点P,若NP=125。,则NA=°

3.（2022春.江苏盐城.七年级校联考期中）如图，/ABC中，NA=30。，NB=70。,

CE平分NACB,CD_LAB于D,DFJ_CE于F,则NCDF=°

4.（2022春・江苏扬州•七年级校联考期中）如图，ABJ.BC,AE平分/84。交8C于

点、E,AEVDE,Zl+Z2=90o,M、N分别是54,CZ）延长线上的点，NEAM和NEDN

的平分线交于点厂.下列结论：①4?〃。；②ZAE8+ZAOC=180。；

ZADC-,④N尸为定值.其中结论正确的有一

）3FNl

BEC

三、解答题

5.（2022春・江苏泰州•七年级统考期中）如图，ZAOB=n,C、£＞两点分别是边OA、

OB上的定点，NACE=gzACO,NFDO=gNCQO,射线CE的反向延长线与射线。F

相交于点F.

(1)若〃=60,NCoO=75,求/F的度数;

(2)若〃=75,则/尸=

（3）随着〃的变化，NAoB与N尸数量关系会发生变化吗？如不变，请求出NAOB与/尸

的数量关系，并说明理由.

6.（2022春•江苏扬州•七年级校联考期中）如图,Nl=NBCE,Z2+Z3=180o.

（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由;

(2)若CA平分∕BCE,AB于点F,Zl=72°,求NBAC的度数.

7.（2022春•江苏盐城•七年级校联考期中）（1）数学课上老师提出如下问题:

如图，直线OMLON,垂足为0,三角板的直角顶点C落在NMON的内部，三角板的

另两

条直角边分别与OMOM交于点。和点B.

试卷第2页，共6页

①填空：ZOBC+ZODC=；

②若DE平分NoDC,8F平分NCBM（如图1）,试说明。ELBF.

请你完成上述问题.

图1图2

（2）课后小明和小红对问题进行了进一步研究，若把。E平分N。。C改为。G分别平

分/0。C的外角，其他条件不变（如图2）,他们发现BF与Z）G的位置关系发生了变化,

请你判断BF与OG的位置关系，并说明理由.

8.（2022春.江苏扬州•七年级校考期中）已知NMON=40。，OE平分NMoN,点A,B,

C分别是射线。M,0E,ON上的动点（A,B,C不与点。重合），连接AB,连AC交

射线OE于点。，设NBAC=α.

图1图2备用图

（1）如图1,若A8〃ON,

①/A3。的度数是；

②当NBAo=NAB。时，/OAC的度数是：

当/BAQ=NBZM时，NoAC的度数是；

（2）在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美

四边形”，如图2,ABLOM,延长AB交射线ON于点尸，当四边形。CF8为“完美四

边形''时，求α的值.

9.（2022春・江苏常州♦七年级校考期中）如图，在AABC中，BE是AABC角平分线，

点。是AB上的一点，且满足NoEB=/DBE.

A

(1)。E与BC平行吗？请说明理由；

(2)若NC=50。，ZA=450,求NOE8的度数.

10.(2022春•江苏宿迁•七年级校考期中)在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，

且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富

自己的问题解决经验.

【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一

内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半.

【结论探究】

(1)如图1,在AABC中，点E是AABC内角NACB平分线CE与外角NA8。的平分线

BE的交点，则有/E=gNA请给出证明过程.

请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：

【简单应用】

(2)如图2,在AABC中，ZABC=40o.延长BA至G,延长AC至“，已知NBAC、ZCAG

的角平分线与NBCH的角平分线及其反向延长线交于E、F,求/F的度数；

【变式拓展】

(3)如图3,四边形ABe。的内角/BCD与外角/ABG的平分线形成如图所示形状.

①已知N4=150。，ZD=80o,求NE+N尸的度数；

②直接写出/E+NF与/A+NQ的关系.

11.(2022春•江苏淮安•七年级淮安市洪泽实验中学校联考期中)如图，在AABC中，

AD是BC边上的高，ZB=30o,∕ACB=l(Xr,AE平分NBAC,求/EAD的度数.

试卷第4页，共6页

A

12.(2022春•江苏连云港•七年级校考期中)如图，在ΔA3C中，ZB=30%ZC>ZB,

AE平分-84C,交BC边于点E.

(1)如图1,过点A作AQ工BC于。，若已知NC=50。，求NEAZ)的度数；

(2)如图2,过点A作AO上8C于。，若AO恰好又平分/E4C,求/C的度数;

(3)如图3,C尸平分AAfiC的外角NBCG,交AE的延长线于点尸，作ED_LBC于。,

设NACB=”。，试求NoFE-NAFC的值.(用含有”的代数式表示)

(4)如图4,在图3的基础上分别作/3AE和/8CT的角平分线，交于点《，作

Fa_LBC于。一设NAC3=〃。，试直接写出N-NAZC的值.(用含有"的代数

式表示)

A

图4

13.（2022秋•江苏南通•八年级统考期中）如图，在AABC中，AD是高，AE、BF是角

平分线，它们相交于点O,ZBAC=50o,ZC=70o,求:NDAC和/BOA的度数.

试卷第6页，共6页

参考答案:

I.A

【分析】由三角形的外角的性质可得？ACE?4彳及8C,ECD=?CBD?。,再结合角平分

线的性质进行等量代换可得？CBO?Dg(?A?ABC)g(?A2?CBQ),从而可得答案.

【详解】解：/A8C与/ACE的平分线相交于点。，

\?CBD-↑τABC,ECD=-IACE,

22

Q?ACE?A彳^BC,ECD=?CBD1D,

\?CBD?£>!(?A?ABC)ɪ(?A2?CBD),

∖IDLA

2

Q?D15?,

.-.ZA=30°.

故选A

【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练的利用三角形

的外角的性质结合等量代换得到ND=JNA是解本题的关键.

2.70

【分析】依据BP、C尸分别平分NABC、ZACB,可得NPBC=TNABC,NPCB=TN4CB,

再根据三角形内角和定理，即可求得∕ABC+NACB=110。，即可求得/A的度数.

【详解】解：BP、CP分别平分NABC、ZACB,

•.NPBC=gNABC,ZPCB=yZACB,

NPBC+NPCB=I80°-NP=I80°-125。=55。，

.∙.NPBC+/PCB=；ZABC+ɪZACB=55o,

.∙.ZABC+ZACB=WO0,

ZA=I80o-(ZABC+ZAcB)=I80o-Il0。=70。，

故答案为：70.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，能正确运用定理进行推理是解此题

的关键.

3.70°.

答案第1页，共16页

【分析】首先根据三角形的内角和定理求得/ACB的度数，以及NBCD的度数，根据角的

平分线的定义求得/BCE的度数，则/ECD可以求解，然后在ACDF中，利用内角和定理

即可求得NCDF的度数.

【详解】解：∙.∙NA=30°,ZB=70o,

，ZACB=180o-ZA-ZB=80o.

：CE平分/ACB,

Λ/ACE=；ZACB=40o.

VCDlAB于D,

ZCDA=90o,

ZACD=180o-ZA-ZCDA=60o.

ΛZECD=ZACD-ZACE=20o.

VDF±CE,

.∙.ZCFD=90o,

ZCDF=180o-ZCFD-ZDCF=70o

三角形内角和定理、三角形的角平分线、中线和高

点评：本题是基础题，考查了三角形的内角和等于180。以及角平分线的定义，准确识别图

形是解题的关键.

4.①③④

【分析】先根据/W上8C,AE平分/54。交BC于点E,AE±DE,Zl+Z2=90o,ZEAM

和N的平分线交于点F,由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论.

【详解】ABLBC,AELDE,

:.Zl+ZΛEB=90o,ZDEC+ZAEB=90°,

.-.Zl=ZDfC,

又Nl+N2=90°,

.∙.ZDEC+Z2=90o,

NC=90。，

ZB+ZC=180°,

ΛAB//CD,故①正确；

,ZADN=ΛBAD,

答案第2页，共16页

,∙,ZADC+NAZW=180°,

.∙.ZBAD+ZADC=180o,

又NAEB≠NBAD,

ZAEB+ZADC≠↑S00,故②错误；

Z4+Z3=90o,Z2+Zl≈90o,而N3=N1,

.∙.Z2=Z4,

.∙.EQ平分/ADC,故③正确；

,.∙Zl+Z2=90o,

二ZEAM+AEDN=36()°-90°=270°.

,.∙ZEAM和ZEDN的平分线交于点F,

.∙.NEAF+NEDF=ɪ×270°=135°.

∙.,AElDE,

：.N3+N4=90°,

二ZFAD+ZFDA=135°-90。=45°,

ZF=180°-(ZFAD+ΛFDA)=180-45°=135°,故④正确.

BEC

故答案为：①③④

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角

平分线的定义，熟知三角形的内角和等于180。是解答此题的关键.

5.(1)40°

(2)50°

(3)不会发生变化，ZF=jZAOB,理由见解析

【分析】(1)首先利用三角形内角和定理求出NOCD=45。，接着利用邻补角的定义求出

ZACD=135°,最后利用已知条件和三角形内角和定理即可求出NF；

答案第3页，共16页

(2)利用和(1)的思路即可解决问题；

(3)不会发生变化.设NAOB=X,ZCDO=y,首先利用三角形内角和定理得到

ZOCD=l80o-x-y,然后利用邻补角定义得到N4CD=x+y,最后利用已知条件和三角形内角

和定理即可得到NF=(户(ZAOB.

(1)

在C中，ZAOB+ZCDO+NOCD=180°

又Y/408=60。，NCDo=75。

：.NoCD=45。

9：ZOCD+ZACD=ISOo

：.ZACD=135°

∙.∙ZACE=ɪZACD

3

2

，NECD=-ZACD=90o

3

•：NECD+ZFCD=180°

：.ZFCD=90°

∖9ZFDO=-ZCDO

3

2

・・・ZCDF=-NeoO=50。

3

VZF+ZFCD+ZCDF=180°

ΛZF=40°

(2)

若〃二75。，则NF=50。；

・・・在AOOC中，ZAOB+ZCDO+ZOCD=180°,

又・・・NAO3=75。，ΛCDO=x,

ΛZOCZ>105o-x,

YNOCO+NACO=I80。，

・・・ZACD=75o+x,

,.∙ZACE=-ZACD

3f

222

ΛZECD=4ZACD=7(750+X)=50O+^X,

333

答案第4页，共16页

VZECD+ZFCD=180o,

2

ΛZFCD=130O--Λ:,

t:ZFDO=-ZCDO

39

22

：.ZCDF=-ZCDO=-X

339

VZF÷ZFCZ)+ZCDF=180o,

・・・NF=50。；

故答案为:50。；

(3)

不会发生变化

设AAOB=X,ZCDO=y

在C中，ZAOB+ZCDO+ZOCD=ISOo

ΛZOCD=180o-χ-γ

φ.∙ZOCD+ZACD=180°

.*.NACO=X+y

・・・ZACE=-ZACD

3

22

：.AECD==-AACD==-(X+y)

33z

VZECD+ZFCD=180°

2

：.ZFCD=ISOo--(x+y)

'：ZFDO=-ZCDO

3

2

：.ZCDF=-y

9：ZF+ZFCD+ZCDF=180°

...Z八F=-2x

3

2

ΛZF=-ZAOB

3

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，同时利用了角的平分线定义及三等分线的性

质，综合性比较强.

6.(1)平行，理由见解析

答案第5页，共16页

(2)540

【分析】（1）由N1=∕3CE,可得到直线AD与EC平行，可得到N2与/4间的关系，再由

Z2+Z3=l80。判断AC与EF的位置关系；

（2）由（1）的结论及垂直可得到/B4C的度数，再由平行线及角平分线的性质得到N2的

度数，利用角的和差的关系得出结论.

【详解】（1）解：AC//EF.理由：

Zl=NBCE,

.∖AD//CE,

.∙.Z2=Z4.

Z2+Z3=180o,

.∙.Z4+Z3=180o.

.∙.EF//AC.

（2）解：AD//EC,C4平分NBCE,

.∙.ZACD=N4=N2.

Zl=72°,

又Nl=ZBCE=ZACD+N4

.∙.N2=36°.

,EF//AC,

EF_LAB于F,

.-.ZBAC=ZF=fXr.

：.ABAD=ABAC-Z2=54°.

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质及垂直的性质，综合性较强，解

题的关键是掌握平行线的性质和判定.

7.（1）①180。；②见解析；（2）BF//DG,理由见解析.

【分析】（1）①根据四边形的性质，可得答案；②如图1：延长OE交BF于G,根据补角

的性质，可得NCB例=NOoC,进而完成解答；

（2）如图2：连接80,根据直角三角形的性质可得NQBC+NBQC=90。，根据补角的性质

可得ZNDC+ZCBM=180°,然后再根据角的和差可得∕O8C+NBZ）C+∕GOC+NF8C=180。,

根据平行线的判定即可解答.

答案第6页，共16页

【详解】解：(1①由四边形内角的性质，得NOBC+/OZ)C=I80.

故答案为：180。.

②如图1：延长OE交B尸于G,

,.∙ZODC+ZOBC=ZCBM+NOBC=I80。，

.∙.ZCBM=ZODC,ɪNCBM=NEBG=gZODC=ZEDC.

'：NBEG=NDEC,

：.∕BGE=NDCE=90°

M

图1

(2)平行，理由如下:

图2

・・・ZBCD=90o,

.∙.NDBC+NBDC=90。

*：ZODC=ZCBMf

NNOC+NOOC=I80。,

NNQC+NCBM=180。,

答案第7页，共16页

NGDC+NFBC=gZNDC+NCBM=90°

.∙.ZDBC+ZBDC+ZGDC+ZFBC=180°,

即/OBF+/BDG=I80°

J.DGHBF.

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理等知识点，利用补角的性质得出

∕NDC+NCBM=180。是解答本题关键.

8.(1X1)20°；②120°,60°；

(2)30°或75°或15°

【分析】(1)①利用角平分线的定义求出NBoM根据平行线的性质可得出答案；

②当N8AZ>NAB。时，利用三角形内角和定理求出N54O,进而可得NaAC的度数；

当NBAZ>∕BD4时，求出NBD4,然后根据三角形外角的性质即可求出NOAC的度数；

(2)分三种情况进行讨论：①当NBDC=2∕8FC时，②当点C在尸左边，ZDBF=2ZDCF

时，③当点C在尸右边，NDBF=2NDCF时,分别根据三角形外角的性质以及三角形内角

和定理求解即可.

(1)

解：①∙.∙∕MON=4()o,OE平分NMON,

：.ZAOB=ZBON=20o,

•：ON,

：.NAB。=NBoN=20°；

②当∕∙R4O=NA8。时，

,.∙ZABO=ZAOB=20o,

：./BAo=20°,NBAo=I80°—20°—20°=140°,

o

：.ZOAC^ZBAO-ZBAD=∖20i

当/8AQ=NBQA时，

∙.∙ZAfiO=20°,

ΛZBAD=ZBDA=80°,

,.∙乙408=20。，

.∙.ZOAC^ZBDA-ZAOB=60o;

答案第8页，共16页

故答案为：①20。；②120。，60°；

(2)

解：①当N8DC=2N8FC时，如图,

9

：ABLOMfNMoN=40。,

ΛZBFC=50o,

，NBDC=2NBFC=100。,

,.βZABO=ZBFC+ZBON=50°+20°=70°,

.*.NBAC=ZBDC-ZABO=100o-70o=30o,

.∖a=30o;

②当点C在尸左边，NDBb=2NOC/时，

t

∖AB.LOMfNAoB=20。，NMoN=40。,

/.ZDBF=ZAOB+ZOAB=20o+90°=110o,NBbC=50。,

・・・ZDCF=ɪNDBF=55。,

：.ZBAC=∖SOo-ZBFC-ZACF=180o-50o-55o=75°,

Λα=75o;

③当点。在F右边，NQ3F=2NOCF时，

uo

：ABLOMfZAOB=20,NMoN=40。,

答案第9页，共16页

*OOOO

..ZDBF=ZABO=90-ZAOB=90-20=109NA尸0=50。，

ΛZDCF=ɪZDBF=35o,ZAFC=130o,

ΛZBAC=180o-ZDCF-ZAFC=180o-35o-130o=15o,

∙∖α=15°；

综上所述，当四边形Ob8为“完美四边形”时，α的值是30。或75。或15。.

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形

的内角和等于180。，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.本题利用角平分

线的定义求出ZABO的度数是关键，注意分类讨论思想的运用.

9.（∖）DE//BC,理由见解析；

⑵/。EB=42.5tj.

【分析】（1）根据角平分线的定义可得NOBE=NEBC,从而求出NOEB=NEBC,再利用

内错角相等，两直线平行证明即可；

（2）先根据三角形的内角和等于180。求出再用角平分线定义求出NOBE即可得解.

【详解】（1）解：DE//BC.

理由：：BE是MBC的角平分线，

LNDBE=NEBC,

•：/DEB=/DBE,

.∙*NDEB=NEBC,

：.DE//BC-,

（2）：在“8C中，ZA+ZAfiC+ZC=180°,

ZABC=180°-ZA-ZC=180o-45o-50o=85°,

：BE是MBC的角平分线，

.∖ZDBE=NEBC=ɪZABC=42.5o,

二NDEB=NDBE=42.5°.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定，角平分线的定义，熟知内错角相

等，两直线平行；三角形的内角和等于180。是解题的关键.

10.⑴见解析

(2)70°

答案第10页，共16页

(3)①205°®2(ΛEBF+ZAEF)=ΛBAD+ZADC+180°

【分析】(1)根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案

(2)先推导出ZAEC=gZABC=20。,再推导出∕E4C+∕E4C=90。，进而可以求解

(3)①延长BA,CO交于点M,延长CE、BF交于点N,可得NN=g∕M,进而即可求解;

②根据NN=g∕M,结合角平分线的意义及三角形内角和定理，即可得到结论

(1)

解：ZEBC+NEBD=18/

又因为在“EBC中，

ZEBC+ZE+NECB=180°

.∙.ZEBC+ZEBD=ZEBC+ZE+ZECB

.∙.ZEBD=ZE+ZECB

同理可得：ZABD=ZA+ZACB

又因为BE和CE分别是4BZ)和，ACB的角平分线

.∙.NEBD=ɪZABD,NECB=ɪZACS

22

:.-ZABD=ΛE+-ZACB

22

即NE=；ZABD-gZAC8=g(ZABD-ZACB)

.-.ZE=-ZA

2

(2)

解：ZABC=40°

.-.ZAEC=-ZABC=20°

2

VZBAC.NCAG的角平分线与/8CH的角平分线及其反向延长线交于乐F,

:.ZE4C+ZFAC=^(ZABC+ZCAG)

2x180。

2

=90。

.∙.ZF=180°-90°-20°=70°

答案第Il页，共16页

(3)

'：BF、CE平分ZABG,ZDCB

；./N='NM

2

NBAD=150o,ZADC=80o

.∙.ZM=180o-(180o-l50o)-(ɪ80o-80o)=50o

.∙.Z∕V=25o

ZAEF+NBFE=360o-(180o-25o)=205o

②ZAEF+ABFE=360o-(180°-Z7V)=180°+ZN

ZBAD+N4f)C=180°+NM

又ZTV=-J-ZM

2

.∙.ZAEF+ZBFE-180o=ɪ(ZBAZ)+ZADC-180°)

即：2(NEB尸+ZA£F)=Nfi4Z)+ZADC+180°

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三

角形外角的性质，是解题关键.

11.ZEAD=35o.

【分析】根据垂直的定义得到∕D=90。，根据邻补角的定义得到/ACD=180O-100o=80。，根

据三角形的内角和得到NBAC=50。，根据角平分线的定义得到ZCAE=g/BAC=25。，于是

得到结论.

【详解】；AD_LBC,

.∙.ZD=90o,

答案第12页，共16页

VZACB=IOOO,

ΛZACD=180o-100o=80o,

：•ZCAD=90o-80o=10o,

・・・ZB=30o,

/.ZBAD=90o-30o=60o,

/.ZBAC=50o,

YAE平分NBAC,

二NCAE=LNBAC=25°,

2

.,.NEAD=NCAE+NCAD=35°

【点睛】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键.

oo

12.(1)10°(2)70°(3)ZDFE-ZAFC=^n-30°(4)ZDiFiA-ZAFiC=^n

【分析】(1)根据三角形的内角和与角平分线的性质得到∕EAC=5()o,再根据直角三角形两

锐角互余得到∕DAC=4(Γ,再根据角度的和差关系即可求解；

(2)设NC=x,根据直角三角形两锐角互余，表示出/DAC,再表示出/BAC,根据三角形

内角和得到方程即可求出X；

(3)分别用含n的式子表示出/DFE,ZAFC,即可得到NO/芯-NAFC；

(4)在(3)的基础上再表示出NA耳A,ZAF1C,即可得到NA耳A-NA4C.

【详解】(1)VZS=30o,ZC=50°

二ZBAC=180o-ZB-ZC=100o

,：AE平分NA4C,

ZEAC=IZBAC=5Qo

'：ADlBC

ZDAC=90o-ZC=40°

ZEAD=ZEAC-ZDAC=10°；

(2)设∕C=x,

,/ADlBC

：.ZDAC=90o-ZC=90o-x

A。平分/E4C,

答案第13页，共16页

ZEAC=2ZDAC=180o-2x

,∙,AE平分/8AC,

/.ZBAC=2ZEAC=360o-4x

在AABC中，z/BAC+ZB+ZC=180°

Λ360o-4x+30o+x=l80o

解得x=70。

.,./C=70。；

(3)VZB=30o,NACB=n。

：.ZBAC=180o-ZB-=150o-no

,：AE平分,8AC,

NEAC=L/BAC=75°」〃°

22

NAEC=180o-ZEAC-/ACB=IO5°」no

2

ZDEF=ZAEC=105°-!

2

,.∙FDlBC

：.ADFE=90o-ZDEF=ɪπ0-15°

2

,.∙NACB=n。

：.NBCG=I80。-/ACB=I80。-"°

,：CF平