高考数学一轮复习-2-3函数的奇偶性与周期性课件-理

第3讲函数的奇偶性与周期性考试要求

1.函数奇偶性的含义及判断，B级要求；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇偶性，A级要求；3.函数的周期性、最小正周期的含义，周期性的判断及应用，B级要求．知

识

梳

理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)是偶函数关于

对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有

，那么函数f(x)是奇函数关于

对称f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y轴原点2. 奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性

，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性

(填“相同”、“相反”)． (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是

，两个奇函数的积函数是

． ②两个偶函数的和函数、积函数是

． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是

． (3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.相同相反奇函数偶函数偶函数奇函数3．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝

，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中

.

的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x)存在一个最小诊

断

自

测

1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(

) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(

) (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(

) (4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(

)××√√答案①3．(2014·新课标全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，给出下列结论：①f(x)g(x)是偶函数；②|f(x)|g(x)是奇函数；③f(x)|g(x)|是奇函数；④|f(x)g(x)|是奇函数．则上述结论中正确的是________(填序号)．解析依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，①错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，②错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，③正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，④错．答案③4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2015)＝________. 解析∵f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数， ∴f(2015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)． 又f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2， 即f(2015)＝－2. 答案－25．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝________. 解析当x＜0时，则－x＞0， ∴f(－x)＝(－x)(1－x)． 又f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)， ∴f(x)＝x(1－x)．

答案x(1－x)

规律方法判断函数的奇偶性，包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．答案(1)①

(2)奇非奇非偶规律方法函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．考点三函数性质的综合应用【例3】(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则 ①f(－25)＜f(11)＜f(80)； ②f(80)＜f(11)＜f(－25)； ③f(11)＜f(80)＜f(－25)； ④f(－25)＜f(80)＜f(11)． 其中正确的是________(填序号)． (2)(2014·新课标全国Ⅱ卷)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.解析(1)∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．(2)因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.答案(1)④

(2)3规律方法比较不同区间内的自变量对应的函数值的大小．对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间，然后再根据单调性判断． 深度思考你知道奇偶性与单调性的关系了吗(奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反)？在解决有关偶函数问题时，常利用f(x)＝f(|x|)这一结论进行转化．[易错防范]1．在用函数奇偶性的定义进行判断时，要注意自变量在定义域内的任意性．不能因为个别值满足f(－x)＝±f(x)，就确