2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第3讲 集合之间的关系4种基础题型 含解析

第3讲集合之间的关系4种基础题型

【考点分析】

考点一：子集的概念

如果集合力中的任意一个元素都是集合8中的元素，就称集合力是集合8的子集，记作∕U5（或524）

用图形表示为

考点二：真子集的概念

如果集合/U8,但存在元素x∈8,且X¢就称集合彳是集合8的真子集，记作Nu8

≠

用图形表示为

考点三：集合相等的概念

如果集合N的任何一个元素都是集合8的元素，同时集合8的任何一个元素都是集合4的元素，那么集合

力与集合8相等，记作/=8

考点四：子集的性质

①任何一个集合是它本身的子集，即4U4

②对于集合4B,C,如果ZUB,且5UC,那么4UC,

考点五：空集的概念

定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为。.

规定：空集是任何集合的子集.

【题型目录】

题型一：简单集合间关系的判断

题型二：集合之间的关系

题型三：集合的子集、真子集

题型四：两个集合相等

【典型例题】

题型一：简单集合间关系的判断

【例1】（新高考高三专题练习（多选））已知集合N={x∣χ2-2x=θ},则有（）

A.0⊂^B.-2&AC.{0,2}⊂AD.N={y∣y<3}

【答案】ACD

【解析】（1）由题得集合/={0,2},由于空集是任何集合的子集，故A正确：

因为Z={0,2},所以CD正确，B错误.故选ACD.

【例2］设集合4={xIX=2"-1,"GZ},B={x∖x=An-∖,neZ},则()

A.A=BB.BQAC.AEBD.BEA

【答案】B

【解析】对于集合力，当n=2k,左∈Z时，x=4左一l,%wZ,

当”=2左一1,左eZ时，x=4左一3,左eZ,所以力={x∣x=4Ar-l,或x=4左一3,左eZ},所以8A,

故选：B.

【例3】设集合M={x|x=；+：,/c6Z},N={x∖x∖x=^∖,keZ},则M,N的关系为()

ɔOOɔ

A∙MGNB.M=NC.M3ND∙M∈N

【答案】A

【详解】

集合M={%∣%=：+；#∈Z}中的元素，满足％=：+：=与i,fc∈Z,

3o36O

集合N={x∣XIX=g+[;e∈Z}中的元素，满足X=：+J=竽，kEZ,

63oɔo

∙∙∙2%+l表示所有的奇数，k+2表示所有的整数；

⊂N

故选：A.

【例4】(2021•全国•)集合4={Mx=(2"l)π,左eZ}与8={x∣x=(4"±l)兀,〃eZ}之间的关系为()

A.AcBB.BqAC.A=BD.不确定

【答案】C

【分析】

分别求出集合A,8中的元素，即可得集合A,8的关系，进而可得正确选项.

【详解】

由于集合A,B中的元素均为兀的整数倍，且2%-1、4〃±1(左、〃eZ)都可表示出所有的奇数，因此/=8.

故选：C.

【题型专练】

1.集合M={x∣x=2n,n∈N},N={x∣x=2n,n∈N},则集合M与N的关系是（）

A.MUNB.NQMC.MnN=0D.MCN且NCM

【答案】D

【详解】

因为1∈M,IeN且06N,0∉M,所以MCN且NuM.

故选：D.

2.（2022•全国•高一专题）已知集合M={x∖x=m+-,meN},N={x∣X=eN},则Λ∕,N的关系为（）

623

A.M=NB.NQMC.MUND.N三M

【答案】C

【解析】

【分析】

由M={xIX=3-27+1,ffleN},N={xIX="工=3w~1+1,∏∈N}即可判断集合M,N的关系.

666

【详解】

解：因为M={x∣x=32m+1£N},={xIX=——-=——∈N},

666

所以MijN.

故选：C.

3.(2022・陕西•长安一中高一期末)已知集合M={x∣x='+5臼，集合N=NX=殍%eZ),

则MflN=()

A.0B.MC.ND.Z

【答案】B

【解析】

【分析】

2(k+↑)π(k-2]π

化简得M={χ∣χ=J———Λ∈Z,N=∖χχ=^——z-Λezk再分析即可

88

【详解】

由题意，M=,x∣x=空生,kez],N=XX=(,-2)ez,因为2("l),(keZ)表示所有偶数,

OO

4-2（keZ）能表示所有整数，故MCN=M

故选：B

4.（2022•全国•高一专题练习）集合M={x∖x=3k-2,keZ},P={y∖y=3n+l,n&Z},S={z∖z=6m+↑,meZ]

之间的关系是（）

A.S真包含于P真包含于MB.S=尸真包含于〃

C.S真包含于P=Λ∕D.M=P真包含于S

【答案】C

【解析】

【分析】

利用列举法，根据子集和真子集的定义即可求解.

【详解】

解：`:M={xIX=3⅛-2,ΛeZ},P={y∖y=3n+∖,ne.7},S={y∣y=6m+1,机eZ},

/.M={...-8,-5,-2,1,4,7,10,13,16...},P={...-8,-5,-2,1,4,7,10,13,16…},S={…1,7,13,19,25,…},

二S真包含于P=M,

故选：C.

5.（2022•全国•高一专题练习）设48是两个集合，有下列四个结论：

①若/08,则对任意xe∕,有xe8；

②若408,则集合A中的元素个数多于集合B中的元素个数；

③若/08,则80A.

④若/08,则一定存在xe∕,有xe5.

其中正确结论的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】

根据子集、真子集的定义即可求解.

【详解】

解：对于①，不一定，比如X={l,2,4},8={l,2,3},故①错误；

②若/08,不一定，比如∕={1,2,4},8={1,2,3,5,6},故②错误；

③若Bti力，则408,但80/不成立，故③错误；

④若/08,则一定存在xe∕,有xc8,故④正确.

所以正确结论的个数为1个，

故选：D.

6.设集合P={y∖y=X2+1},M={x∖y=x2+1},则集合M与集合P的关系是（）

A.M=PB.PeMC.MUPD.7,UM

【答案】D

【详解】

P-{y∖y=%2+1]={y∖y≥1}=[1,+∞）＞M={x∖y=x2+1）=R,

所以PUM.

故选：D.

题型二：集合之间的关系

【例1】下列六个关系式:①{α,b}={b,α};②{α,b）ɑ{b,α}:③0={0}；®{0}=0；⑤0U{0}；@0∈{0}.其

中正确的个数是（）

A.1B.3C.4D.6

答案：C

解析：①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，。表示空集，而{0}表

示的是含。这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为06{0};④错误，0表示空集，而{0}表示含有一

个元素O的集合，并非空集，应改为0U{O};⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是元素与

集合的关系.

【例2】（2022•全国•高一专题练习）以下六个写法中:Φ{0}∈{0,1,2}；②0U{1,2}；③0∈{θ};

④{0,1,2}={2,0,1}；⑤Oe0；正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】

根据元素与集合以及集合与集合之间的关系表示方法作出判断即可.

【详解】

对于①：是集合与集合的关系，应该是{0}U{0,1,2},••・①不对；

对于②：空集是任何集合的子集，0={1,2},,②对；

对于③：0是一个集合，是集合与集合的关系，0a{o},...③不对；

对于④：根据集合的无序性可知{0,L2}={2,0,1},④对;

对于⑤：。是空集，表示没有任何元素，应该是0任0,..•⑤不对；

正确的是：②④.

故选：B.

【题型专练】

1.以下六个关系式：0∈{0},{0}ɔ0,0.3∉Q,OWN,[a,b）⊂（b,a],{幻炉一2=o,χez}是空集，错

误的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【详解】

根据元素与集合间的关系可判定Oe{0}、OeN正确，o.3CQ不正确，根据集合与集合之间的关系可判定

{0}20、（a,b}Q[b,a}>[x∖x2-2=0,xeZ}是空集正确

故选：D

2.下列写法：（1）{0}e{2,3,4}；（2）0⊂{O};（3）{-l,0,1}=[0,-1,1}；（4）0∈0,其中错误写法

的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】

由集合与集合的关系可知，（1）错误；空集是任何集合的子集，（2）正确；由集合的无序性以及集合相等

的定义可知，（3）正确；空集是不含任何元素的集合，（4）错误；

故选：B

3.（2022•江苏•高一专题练习）下列各式中：①{0}e{0,l,2};②{θ,l,2}={2,1,0}；③{θ,l,2}；④0={θ}；

⑤{O,l}={（O,l）};⑥o={o}.正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.

【详解】

①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；

②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{0,l,2}Q{2,1,0},正确；

③空集是任意集合的子集，故0q{θ,l,2},正确：

④空集没有任何元素，故0≠{O},错误；

⑤两个集合所研究的对象不同，故{0,i},{（0,l）}为不同集合，错误；

⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；

②③正确.

故选：B.

4.已知集合A={x∣x2=4},①2U4；②{一2}∈4；③0U4；@{-2,2]=A;⑤一2∈4则上列式子表示

正确的有几个（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】

A={x∣x2=4}={-2,2},故④正确，

.∙.2eA,故①错误；一264故⑤正确；{一2}U4故②错误；0=4,故③正确.

所以正确的有3个.

故选：C.

题型三：集合的子集、真子集

【例1】（2021•河北衡水市）定义集合Z*8={x∣x=",α∈46∈8},设Z={2,3},8={1,2},则集合

/*8的非空真子集的个数为（)

A.12B.14C.15D.16

【答案】B

【解析】Z*3={2,3,4,6},所以集合4*8的非空真子集的个数为24.2=14,故选：B.

【例2】设4={x∣(χ2-i6)(χ2+5χ+4)=0},写出集合4的子集，并指出其中哪些是它的真子集.

解：由(x2-16)(x2+5x+4)=0,得(χ-4)(x+l)(x+4)2=0,

解方程得x=-4或x=-l或x=4.

故集合A={—4,-1,4}∙

由O个元素构成的子集为0;

由1个元素构成的子集为{-4},{一1},{4}；

由2个元素构成的子集为{-4,-1},{-4,4},{-1,4}；

由3个元素构成的子集为{-4,-1,4}.

因此集合A的子集为0,{-4},{-1}>{4},{-4,—1},{-4,4}>L1,4},{—4,—1,4}.

真子集为0，{-4},{-l},{4},{-4,-1},{-4,4},{-l,4}∙

【例3】集合4=[α,b,C,d}非空子集的个数是()

A.13B.14C.15D.16

【答案】C

【详解】

；集合A={a,b.c,d}中有4个元素，

二非空子集的个数为:24-1=15,

故选：C.

【例4】已知集合4={x∣χ2一3χ+2=0,χζR),B={x∣0<x<6,x∈N},则满足条件4UCU8的

集合C的个数为()

A.3B.4C.8D.16

【答案】C

【详解】

4={x∣χ2-3x+2=0,xwR}={l,2}

8={x∣0<x<6,xwN}={1,2,3,4,5}

由AUCUB,则集合C中必有元素1,2,而元素3,4,5可以没有，可以有1个，或2个，或3个.

即满足条件的集合C为：{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},

{1,2,4,5},{1,2,3,5},{1,2,4,3,5}共8个

故选：C

【例5】若{1,2}⊂Mc{0,1,2,3,4},则满足条件的集合M的个数为()

A.7B.8C.31D.32

【答案】B

【详解】

由题意，因为{1,2}UMU{0,1,2,3,4},

所以集合M中至少含有1,2两个元素，至多含有O,I,2,3,4

这5个元素，因此集合M的个数即为集合{0,3,4}的子集个数，即为23=8个.

故选：B.

【题型专练】

1.(2022・全国•高一专题练习)集合P={3,4,5),。={6,7},定义尸*。={(a,b)∖a≡P,b≡Q},则尸*。

的真子集个数为()

A.31B.63C.32D.64

【答案】B

【解析】

【分析】

根据条件即可求出集合P*Q的元素个数，从而可得出集合P*。的真子集个数.

【详解】

解：根据题意得，尸*Q={(3,6),(3,7),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7)},则尸*。中有6个元素，

.∙.P*0的真子集个数为26-1=63个.

故选：B.

2.(2022•黑龙江・哈尔滨三中高二期末)己知集合∕={(x∕)∣y=χ2},8={(x,y)∣y=x},则集合4∩8的子

集个数为()

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【解析】

【分析】

先求交集中的元素，根据元素个数可得子集个数.

【详解】

V=X1fx=O∖x-1

由'解得C或1,

y=x[y=°[y=1

所以∕n8={（0,0）,（l,l）},有两个元素，

所以ZC8的子集个数为2?=4.

故选：B

3.（2022・全国•高一专题练习）已知河="€Μ，€?4},则集合〃的子集的个数是（）

6-x

A.8B.16C.32D.64

【答案】B

【解析】

【分析】

由/-eN,可得6-x为6的正约数，又XeN,从而即可求解.

6-x

【详解】

解：因为S∈N,所以6-x=l,2,3,6,

6-x

XxeN,所以X=O,3,4,5,

所以集合M={0,3,4,5},所以集合M的子集个数为2"=16个.

故选：B.

4.若集合λ={x∈Z∣-l<x<2},则4的真子集个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】

因为集合4={x6Z∣-l<x<2},所有集合Z={0,1},

所以A的真子集个数为：22-2=3.

故选：C

5.已知集合M满足{1}UMC（1,2,3},则满足条件的集合M的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【详解】

因为集合M满足{"UM£1,2,3},

所以满足条件的集合M有：{1},{2},{1,2},

即集合M的个数是3,

故选：B.

考点四：两个集合相等

【例1】（2022•全国•高一）下列各组两个集合A和8表示同一集合的是（）

A.=W,5={3.14}B.4={2,3},8={（2,3）}

C.>l={l,√3,π）,5=（π,l,∣-√3∣}D.∕={x∣-l<x≤l,xwN},8={l}

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用集合相等的定义逐一判断求解.

【详解】

解：A选项中集合A中的元素为无理数，而B中的元素为有理数，故/M3;

B选项中集合A中的元素为实数，而8中的元素为有序数对，故

C选项中因为I-石|=6，则集合4={1,JJ∕},8={万,1,蜴，故N=B;

D选项中集合A中的元素为0,I,而5中的元素为1,故/W8.

故选：C.

b,

【例2】已知α6R,bwR,若集合{。,2,1}={/,。+仇0},则£12。19+/?2019的值为（）

a

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【详解】

因为卜

{ɑ∖α+b,θ},

-=O

所以屋α+b,解得或{MΛ

、a2=1

当α=1时，不满足集合元素的互异性，

故a=-l,b=0,tl2°19+∕j2019=（_1）2019+02019=_1,

故选：B.

【例3】（2022•重庆•高二期末）下列说法正确的是（）

A.任何集合都是它自身的真子集

B.集合{d6}共有4个子集

C.集合{x∣X=3〃+1,”eZ}={x∣X=3〃-2,”eZ}

D.集合{HX=I+/,αeN*}={X∣X=α2-4a+5,α∈N*∣

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据集合的性质依次判断即可.

【详解】

对A,空集不是它自身的真子集，故A错误;

对B,因为集合{。,6}中有2个元素，所以有2?=4个子集，故B正确；

对C,因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确；

对D,因为x=°2-4α+5=(α-2p+l,当α=2时，x-∖,所以IeklX=/-4α+5,α∈N*},但

∖i{x∖x=l+t72,a∈N∙),故两个集合不相等，故D错误.

故选：BC.

【例4】(2021•浙江•乐清市知临中学)若{x∣∕+px+夕=0}={l,3},则P+q的值为()

A.-3B.3C.-1D.7

【答案】C

【分析】

由一元二次方程的根与系数的关系，求得P,4的值，由此可得选项.

【详解】

因为1,+pχ+g=θ}={1,3},

1+3=—p解得p--4

所以1×3=Z'

4=3

所以p+g=-l.

故选：C.

【例5】（2021•全国•）（多选）下列选项中的两个集合相等的是（）

A.尸=卜3-3x+2=θ},Q={y∕-3y+2=θ}

B.尸={x∣x=2〃-1,〃WN'},0={x∣x=2〃+1,”CN*}

C.P={x∣χ2-χ=o},Q=,xk=l+；l）∕∈Z>

D.P={巾=χ+l},D={(χ,y)∣y=χ+1}

【答案】AC

【分析】

对于A、C：直接解出集合尸、Q,即可判断；

对于B：取特殊值1,由IeP,而1£。，即可判断；

对于D：由集合P、0的类别不一样，即可判断.

【详解】

对于A,尸=k*-3x+2=θ}={l,2},Q={V∕-3y+2=θ}={l,2},所以P和0都只含有两个元素1,2.

所以P=。；故A正确；

对于B,IeP,而1£。，所以尸≠Q;故B错误；

对于C,P={x∣χ2-x=θ}={θ,l},0=∙x∣xJ+；』，〃eZ={θ,l},所以八。；故C正确；

对于D,集合P是数集，而集合。是点集，所以PxQ.

故选：AC.

【题型专练】

1.已知集合4={0,α+%},B-{0,1-6,1),(α,b€R),若4=B,则α+2b=()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】D

【详解】

∙.∙集合Z={θ,α+b,*,5={0,l-¼l},且Z=8,

Λα+ð=1—b,γ=1,或α+b=l,∕=l-b,

先考虑α+b=1一磴=1,解得α=b",

此