高二上学期期末数学试卷（基础篇）（解析版）

高二上学期期末数学试卷（基础篇）参考答案与试题解析第Ⅰ卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023上·江苏南通·高二统考期末）过点1,2且与直线2x+y-3=0平行的直线的方程为（

）A．2x-y=0 B．2x-y-4=0C．2x+y-4=0 D．2x+y-5=0【解题思路】设出所求的直线方程，再利用待定系数法求解即得.【解答过程】依题意，设所求直线方程为2x+y-m=0(m≠3)，因此2×1+2-m=0，解得m=4，所以过点1,2且与直线2x+y-3=0平行的直线的方程为2x+y-4=0.故选：C.2．（5分）（2023上·新疆伊犁·高二校考期末）利用数学归纳法证明fn=1+2+3+4+⋅⋅⋅+4n-1A．f1=1 BC．f2=1+2 D【解题思路】观察f(n)为4n-1项连续正整数之和的规律，可得f(1).【解答过程】由题意f(n)=1+2+3+⋯+4n-1，n∈N即从1起连续4n-1项正整数之和.则f(1)为从1起连续3个正整数之和，故第一步应证明f(1)=1+2+3.故选：B.3．（5分）（2022下·安徽滁州·高二统考期末）三棱柱ABC-DEF中，G为棱AD的中点，若BA=a，BC=b，BD=A．-a+bC．-12a【解题思路】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可.【解答过程】CG故选：D.4．（5分）（2022上·宁夏银川·高二校考期末）设a>b>0，若双曲线C1：x2a2-y2b2A．22 B．12 C．32【解题思路】由双曲线的离心率得a,b关系，再根据椭圆中a,b,c关系变形得出椭圆离心率．【解答过程】由题意a2+b2故选：B．5．（5分）（2023上·新疆伊犁·高二校考期末）已知e1、e2、e3为空间三个不共面的向量，向量a=e1+μe2+4eA．-3 B．3 C．-15 D．15【解题思路】设a=kbk∈R，根据空间向量共线的基本定理可得出关于k、λ、【解答过程】因为e1、e2、e3为空间三个不共面的向量，向量a若a与b共线，设a=kbk∈R可得1=3kμ=9k4=λk，解得k=1故选：D.6．（5分）（2023上·安徽滁州·高二校考期末）直线l过圆C:x+32+y2=4的圆心，并且与直线A．x+y-2=0 B．x-y+2=0 C．x+y-3=0 D．x-y+3=0【解题思路】求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得.【解答过程】由(x+3)2+y又因为直线l与直线x+y+2=0垂直，所以直线l的斜率为k=1，由点斜式得直线l:y-0=x+3，化简得直线l的方程是x-y+3=0．故选：D．7．（5分）（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知等比数列an的公比为-12，前n项和为Sn.若S2m=31，A．3 B．4 C．5 D．7【解题思路】由等比数列前n项和列出S2m与Sm，两式相比即可解出答案；或根据等比数列前n项和的性质得Sm，S2m-Sm，【解答过程】法一：因为等比数列an的公比为-则S2m=a所以S2mSm法二：根据等比数列前n项和的性质得Sm，S2m-Sm所以S2m-SmS故选：C.8．（5分）（2023上·安徽滁州·高二校考期末）双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F122,0，点AA．2 B．3 C．2 D．1【解题思路】根据题意，利用双曲线的定义把△APF1的周长用△APF的周长来表示，可求△APF1【解答过程】如下图所示：

设该双曲线的左焦点为点F，由双曲线的定义可得PFAF=AF1=(22)2+所以，△APFAP当且仅当A，P，F三点共线时，△APF1的周长取得最小值，即6+2a=8，解得故选：D．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023上·湖南娄底·高二统考期末）下列有关数列的说法正确的是（

）A．数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列B．数列{an}的通项公式为an=nn+1C．在数列1,2,3,2,5,⋅⋅⋅D．数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为a【解题思路】根据数列概念即可得选项A正误;利用数列的通项公式等于110,计算出结果,即可得选项B的正误;根据数列的规律,即可得选项C、D的正误.【解答过程】解:因为数列-2023,0,4的首项是-2023,而数列4,0,-2023的首项是4,所以两个数列不是同一个,故选项A错误;当an=nn+1=110时,解得:n=10或即110是该数列的第10项,故选项B正确;因为数列1,2,3,2,所以第8个数是8=22,故选项C因为aa4=24+1=17,a5=故选：BCD.10．（5分）（2023上·甘肃金昌·高二校考期末）下列直线中，与圆x2+yA．x+y=2 B．3x+y-4=0 C．x+y=22 D【解题思路】根据圆心到直线的距离与半径的关系对选项一一验证即可.【解答过程】圆x2+y2=4对于选项A，圆心到直线的距离d=-2对于选项B，圆心到直线的距离d=-4对于选项C，圆心到直线的距离d=-2对于选项D，圆心到直线的距离d=8故选：BC.11．（5分）（2023上·重庆·高二统考期末）已知空间向量a=2,-1,2，b=A．a=3 B．2a-b=0,-5,2【解题思路】根据空间向量坐标运算法则计算可得.【解答过程】因为a=2,-1,2，所以a=222a-ba⋅b=2×4+-1×3+2×0=5，所以a又b=42+3故选：AD.12．（5分）（2023下·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的左,右焦点分别为F1,F2,长轴长为23,点PA．椭圆Γ的离心率的取值范围是2B．当椭圆Γ的离心率为32时，QFC．存在点Q使∠D．1QF【解题思路】根据点P1,1在椭圆Γ外,求出b的取值范围,即可求出离心率的取值范围,从而判断A;根据离心率求出c,则QF1∈a-c,a+c,即可判断B;设上顶点A,得AF1⋅【解答过程】由题意得a=3,又点P1,1在椭圆Γ外,则13+所以椭圆Γ的离心率e=ca=3-b23>22当e=32时,c=32,所以QF1的取值范围是a-c,a+c,即设椭圆的上顶点为A0,b,F1-c,0,F2c,0,由于AF1·AF因为点Q在椭圆Γ上,所以QF则1=3当且仅当QF1=Q所以1QF1+1QF故选:ABC.第Ⅱ卷三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023下·重庆沙坪坝·高一校考期末）若两条平行直线l1：3x-4y-4=0与l2：3x-4y+C=0间的距离为2，则C=6或-14【解题思路】根据两平行线见距离公式运算求解.【解答过程】由题意可得：C--432+-4故答案为：6或-14.14．（5分）（2023下·江西宜春·高一校考期末）已知an为等差数列，前n项和为Sn，若S4=4S2【解题思路】利用等差数列基本量，列方程组，即可求解.【解答过程】设等差数列的首项为a1，公差为d4a1+4×32所以an故答案为：2n-1.15．（5分）（2023上·新疆伊犁·高二校考期末）斜率为2的直线过抛物线C:y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=【解题思路】联立直线与抛物线的方程，再根据抛物线的焦点弦公式求解即可.【解答过程】由题意抛物线C:y2=4x的焦点1,0，故斜率为2的直线过抛物线C:联立y2=4x有2x-12=4x则x1+x2=4，又抛物线C:故答案为：6.16．（5分）（2023上·湖南怀化·高二统考期末）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E､F分别为BC,CD中点，【解题思路】利用坐标法，根据点到平面的距离向量求法即得.【解答过程】如图建立空间直角坐标系，则B1所以C1设平面C1EF的法向量为则m⋅C1E=x-2z=0所以B1到平面C1EF故答案为：43四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023上·四川成都·高二统考期末）已知点P(-4,2)，直线l:3x-4y-5=0.(1)求经过点P且与直线l平行的直线的方程；(2)求经过点P且与直线l垂直的直线的方程.【解题思路】（1）设出所求平行直线的方程，利用P点坐标求得正确答案.（2）利用点斜式求得所求直线的方程.【解答过程】（1）设经过点P且与直线l平行的直线的方程为3x-4y+C=0，将P-4,2代入得-12-8+C=0,C=20所以所求直线方程为3x-4y+20=0（2）直线l:3x-4y-5=0的斜率为34与直线l垂直的直线的斜率为-4所以经过点P且与直线l垂直的直线的方程为y-2=-4即4x+3y+10=0.18．（12分）（2023上·浙江宁波·高二统考期末）已知空间三点A(-1,0,2),B(0,1,2),C(-3,0,4)，设AB=(1)求a与b的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka+b与a【解题思路】(1)先求出向量a,(2)利用向量垂直的充要条件列出方程，解方程求出k的值.【解答过程】（1）因为a=AB=所以空间向量的夹角公式，可得cosθ=所以a与b的夹角θ的余弦值为-1（2）由（1）可知a=(1,1,0)，b因为向量ka+b与a所以ka2-k所以k2-3k-1=0，解得19．（12分）（2023上·重庆·高二统考期末）已知an是等差数列，bn是公比大于0的等比数列，bn的前n项和为Sn，且a3+a(1)求an和b(2)求数列an-bn的前【解题思路】（1）由bn是公比大于0的等比数列及b1=1，b3=b2+2求出公比，由等差数列下标和定理结合（2）利用分组求和，结合等差等比前n项和公式计算即可．【解答过程】（1）设an的公差为d，bn的公比为∵b3=b2+2，b1=1，∵q>0，∴q=2，∴bn∵a3+a5∵a∴d=1，∴an故an=n，（2）由（1）得，T=1+2+3+⋅⋅⋅+n-=∴Tn20．（12分）（2023上·吉林长春·高二校考期末）已知圆C的半径为2，圆心在射线y=x(x≥0)上，直线3x+4y+3=0与圆C相切．(1)求圆C的标准方程；(2)求直线l：2x-y+1=0与圆C相交的弦长．【解题思路】（1）根据直线与圆相切，应用点线距离公式求圆心坐标，写出圆C的标准方程.（2）根据相交弦、弦心距、半径之间的几何关系求弦长即可.【解答过程】（1）由题意可设：圆心为Ca,a由圆C与3x+4y+3=0相切，有|7a+3|5=2，即可得a=1或所以圆C的标准方程为(x-1)2（2）由（1）可知：C(1,1)，r=2，则C到直线l:2x-y+1=0的距离为d=2所以直线l与圆C相交的弦长为2r21．（12分）（2023下·北京海淀·高二清华附中校考期末）四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=CD=1，AB=BC=2，PC=3，AB//

(1)求证：BC⊥平面PAB；(2)求二面角A-PD-C的余弦值．【解题思路】（1）由线面垂直的性质得到PA⊥BC、PA⊥AC，从而得到AB⊥BC，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【解答过程】（1）连接AC，因为PA⊥平面ABCD，BC,AC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC、PA⊥AC，又PA=1，AB=BC=2，PC=3，所以AC=32-12PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.（2）如图建立空间直角坐标系，则A2,0,0，C0,2,0，D1,2,0所以AP=0,0,1，DP=设平面APD的法向量为n=x,y,z，则AP⋅则n=设平面PDC的法向量为m=a,b,c，则DC⋅则m=设二面角A-PD-C为θ，由图可得二面角为钝二面角，所以cosθ=-n⋅mn22．（12分）（2023下·江苏淮安·高二统考期末）已知椭圆M：x2a2+y2b2=1a>b>0，点F1-1,0、C-2,0分别是椭圆M

(1)求椭圆M的标准方程；(2)若A0,3，求(3)是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据题意可得c=1,b=3，进而可求a（2）可根据直线方程与椭圆方程联立方程组解出交点坐标，再根据点的坐标，求三角形面积．△AOB的面积可分割成两个小三角形，其底皆为OF（3）存在性问题，一般从计算出发，即