高三开学摸底考试卷02（新高考Ⅱ卷变式卷）（解析版）

高三开学摸底考试卷02（新高考Ⅱ卷变式卷）选择题1．（2023春•信阳月考）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】设，则，因为，所以，所以，，所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：．2．（2023•2月份模拟）设集合，3，，，，，．若，，则A． B． C．1 D．3【解析】集合，3，，，，，，，，，解得．故选：．3．（2023春•重庆期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”和“书”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有A．240种 B．36种 C．120种 D．360种【解析】把乐”和“书”两门课程看作一个元素，则有种不同的排课顺序．故选：．4．（2022秋•甘谷县期末）已知，，则（3）的值为A． B．13 C．7 D．【解析】根据题意，设，则，则函数为奇函数，又由，则，则（3）（3），则（3），故选：．5．（2023•湖滨区三模）设椭圆的离心率为，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】当时，则；当时，则；所以推不出，充分性不成立；当时，则，必要性成立；综上：“”是“”的必要不充分条件．故选：．6．（2023春•利州区校级期中）若函数有三个单调区间，则实数的取值范围是A．， B．， C． D．，【解析】由题意得，函数定义域为，函数有三个单调区间，有两个不相等的实数根，，即实数的取值范围是．故选：．7．（2023春•江西月考）已知是第二象限角，且，则A．2 B． C． D．【解析】，，可得：，整理可得：，解得：，或，是第二象限角，，，，故．故选：．8．（2023•大兴区校级模拟）是由实数构成的无穷等比数列，，关于数列，给出下列命题：①数列中任意一项均不为0；②数列中必有一项为0；③数列中一定不可能出现；④数列中一定不可能出现．其中正确的命题个数是A．0 B．1 C．2 D．3【解析】对于①，例如，当时，，故①不正确；对于②，例如，则恒成立，故②不正确；对于③，由①，，故③不正确；对于④，若，则，即，因为，所以，由，所以数列中一定不可能出现，故④正确；故选：．多选题9．（2023春•宁波期末）如图，在棱长为2的正方体中，点为的中点，点在线段（不包含端点）上运动，记二面角的大小为，二面角的大小为，则A．异面直线与所成角的范围是 B．的最小值为 C．当的周长最小时，三棱锥的体积为 D．用平面截正方体，截面的形状为梯形【解析】对于，因为，所以异面直线与所成角为或中的锐角或直角，又，所以△为等边三角形，因为点在线段（不包含端点）上运动，所以当为线段的中点时，，此时异面直线与所成角为，当点趋近或时，异面直线与所成角趋近，所以异面直线与所成角的范围是，选项正确；对于，过点作，，因为平面，所以平面，过点作，，垂足为，，所以为二面角的平面角，为二面角的平面角，故，，设，则，，，所以，，所以，因为，所以，，所以，所以当时，取最小值，最小值为，选项正确；对于，延长到点，使得，则，所以，当且仅当，，三点共线时等号成立，所以当点为线段与的交点时，的周长最小，因为，所以△，所以，又，所以，所以的面积，又，，，，平面，所以平面，所以点到平面的距离为，所以当的周长最小时，三棱锥的体积为，选项错误；对于，延长，，两直线交于点，连接，设，，连接，，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又，所以四边形为梯形，所以用平面截正方体，截面的形状为梯形，正确．故选：．10．（2023•安徽二模）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线与交于，两点，且，，若过点，分别作的两条切线交于点，则A． B． C． D．以为直径的圆过点【解析】因为抛物线的焦点到准线得距离为4，所以，所以抛物线的方程为，设，，，，由可知为的中点，所以且，，由，可得，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即，联立，可得，所以，对函数求导可得，所以切线的方程为，即，①同理可知，切线的方程为，②联立①②，解得，，所以，抛物线的焦点，对于，故正确；对于：直线的方程为过点，所以，故错误；对于，，所以，所以，故正确；对于：因为，且为的中点，所以，所以以为直径的圆过点，故正确，故选：．11．（2023•昌江县二模）函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数 C．在上函数有极大值 D．是函数在区间，上的极小值点【解析】由图象可得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值．故选：．12．（2023春•思明区校级期末）某工厂有3个车间生产同型号的电子元件，第一车间的次品率为，第二车间的次品率为，第三车间的次品率为，三个车间的成品都混合堆放在一个仓库．假设第一、二、三车间生产的成品比例为，现有一客户从该仓库中随机取一件，则下列说法正确的有A．取出的该件是次品的概率约为0.012 B．取出的该件是次品的概率约为0.016 C．若取出的电子元件是次品，则它是第一车间生产的概率约为0.5 D．若取出的电子元件是次品，则它是第一车间生产的概率约为0.4【解析】取第一车间的产品数为300件，第二车间的产品数为200件，第三车间的产品数为300件，所以共有次品件，则任取一件为次品的概率，取出的电子元件是次品，则它是第一车间生产的概率约为，故选：．三．填空题13．（2022春•成都期末）已知向量，，其中，．若，则的值为．【解析】向量，，，，，，，，，故答案为：4．14．（2023春•辽宁月考）某车间对一个正六棱柱形的工件进行加工，该工件的所有棱长均为．需要在底面的中心处打一个半径为的圆柱形通孔（如图所示），当工件加工后的表面积最大时，加工后的工件体积为．【解析】正六边形的底面边长为4，．正六棱柱形的工件的表面积为定值，要使工件加工后的表面积最大，则取得最大值，令（a），则当，时，（a）取得最大值，此时加工后的工件体积为：．故答案为：．15．（2023•江西二模）圆，，过作圆的切线，，过作斜率为1的直线与圆交于点在内），线段上有一点使，则的坐标为．【解析】因为，，是过点的圆的切线，所以的方程为，即，又过作斜率为1的直线，所以直线的方程为，设直线与线段交于点，联立直线和直线的方程得，解得，即点的坐标为，当点在左，点在右，如图所示，可知，当时，则，作的平分线，交于于第三象限一点，则直线过点，则因为点坐标为，所以直线的方程为，直线的方程与方程联立，，得出点坐标为，直线的方程与方程联立，，解得，因为在内，所以点坐标为，所以，设直线的斜率为，因为，所以，即，解得，联立直线与直线的方程得：，解得，代入得，则点的坐标为，同理可得点当点在左，点在右，得出点的坐标为．故答案为：．16．（2022秋•合肥期末）已知函数的最小正周期为，其图象过点，则．【解析】由题意得，，，所以，，所以，故．故答案为：．四．解答题17．（2023•大埔县三模）在中，内角，，的对边分别为，，、且．（1）求；（2）若，，点，分别在边，上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值．【解析】（1）由，可得，，，，，．（2）设，，根据题意有．，，由余弦定理得，，当且仅当时取等号，的最小值．18．（2023春•龙泉驿区月考）已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求的前100项和．【解析】（1）当时，，，，由①可知，当时，②，①②得：，即，因为数列各项均为正数，所以，又因为，所以数列为等差数列，公差、首项均为1，所以．（2）由得，，，；令，则．19．（2023•秀英区校级三模）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在，的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在，的加盟店评定为“五星级”加盟店．（1）根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到；（2）若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；（3）该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设为抽取的“五星级“加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望．参考数据：若，则，，．【解析】（1）由频率分布直方图得样本中日销售额为，，，，，，，，，，，，，的频率分别为0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06，估计这50个加盟店日销售额的平均数为：（百元），，，中位数在，内，设中位数为百元，则，解得．估计中位数为13百元．（2）由（1）知，，，，估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数为．（3）由（1）得样本中“四星级”加盟店有（个，“五星级”加盟店有（个，的所有可能取值为0，1，2，3，，，，．的概率分布列为：0123．20．（2023春•上高县校级月考）如图，在四棱台中，，，四边形为平行四边形，点为棱的中点．（1）求证：平面；（2）若四边形为正方形，平面，，求二面角的余弦值．【解析】（1）证明：连接，因为几何体为四棱台，且，所以且，又点为棱的中点，且，所以且，所以四边形为平行四边形．所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，2，，，1，．设平面的一个法向量为，，，因为，，，，1，，由，得，令，得，，所以平面的一个法向量为，2，，易知平面的一个法向量为，0，，因为，，所以二面角的余弦值为．21．（2023秋•松江区期末）已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于、两点．（1）求双曲线的方程；（2）若过原点，为双曲线上异于，的一点，且直线、的斜率，均存在，求证：为定值；（3）若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）解：由题意得解得，双曲线的方程为；（2）证明：设，，由双曲线的对称性，可得，．设，（5分）则，，，（8分）所以（3）解：由（1）得点为当直线的斜率存在时，设直线方程，，，，将方程与双曲线方程联立消去得：，，假设双曲线上存在定点，使恒成立，设为则，故得：对任意的恒成立，，解得，当点为时，恒成立；当直线的斜率不存在时，由，知点使得也成立．又因为点是双曲线的左顶点，所以双曲线上存在定点，使恒成立．22．（2023•鼓楼区校级模拟）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，，且，求证：（其中是自然对数的底数）．【解析】（1）函数定义域为，，当时恒成立，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减；当时令，解得或，当，即时恒成立，所以在上单调递增；当即时，令，解得或，则在，上单调递增，令，解得