平面向量与复数-2023年高考数学考试（新高考）（解析版）

专题09平面向量与复数

易命台所

一、忽略向量共线致误

-2

1、已知向量a=(x,x+y与b=(2x,-3)的夹角为钝角，则实数X的取值范围为.

一2——

【错解】因为向量α=(x,x+?与b=(2x,-3)的夹角为钝角，所以α∙6<0,

21

即2χ2+(χ+])χ(-3)<0,解得一]<χ<2,

【错因】概念模糊，错误地认为<Z,B>为钝角oZ∙B<0,实际上，<Z,B>为钝角

xΛ+ΛΛ<0

<=>a∙b<0且4与B不共线<=>V

^y2-ɪiʃɪ≠°

【正解.】因为向量Z=(X,x+∣∙)与B=(2x,-3)的夹角为钝角，所以Z∙B<ORZ与B不共线,

2

2X2+(X+-)×(-3)<0

3,解得一且

即4,<x<2/N0,

22

(-3)x-2x(X+y)≠0

所以实数X的取值范围为一1<X<2月.X≠0

2

2、已知α=(2,l),6=(z,iμ∈R,α与h的夹角为。若。为锐角,则7的取值范围是

【错解】,.,cosɪ=-r"∙1'.因6为锐角,有cos^>0,

∣α∣∙∣⅛∣√5∙^∖∕Λ2+1

>。="+1>。，得2>勺的取值范围是层‘+°°]

2Λ+1

«7；2+1

【错因】当向量a,b同向时,6=0,CoSθ-∖满足cosGO,但不是锐角.

a∙b22+1

【正解】。为锐角,O<cos6*<1,XVcosO=

IQMbl√5∙√Z2+1

22+12∙+1J2>.+1>O,z>一

φ,解得,2

c√5-√Λ2+l√5-√A2+Γ,∙∙∣22+l≠√5∙√λ2+1

A≠2.

.。的取值范围是K^押#2}.

二、对向量共线定理及平面向量基本定理理解不准确致误

3、给出下列命题：(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底；(2)平面向量的基底不唯一,

只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示;(3)若a,h共线,则b=且/1

存在且唯一：(4)幻"+〃波=义2。+〃26,则21=22M="2.其中真命题的个数为

A.lB.2C.3D.4

【错解】选B或C或D

【错因】⑴对于两个向量共线定理3〃翔)与6共线Q存在唯一实数派得B=M中条件“中0”的

理解：当α=0时,。与任一向量力都是共线的；当。=0且后0时力=M是不成立的,

但。与8共线.因此,为了更具一般性,且使充分性和必要性都成立,我们要求α≠0.换

句话说,如果不加条件““≠(F,Z与b共线”是“存在唯一实数/使得6=痴”的必要不充分

条件.

(2)面向量的一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组.用平面向量基

本定理可将平面中任一向量分解成形如“=九01+力202(九12丘1<61£2为同一平面内不

共线的两个向量)的形式,它是向量线性运算知识的延伸.如果e∣,02是同一平面内的

一组基底,且九eι+72e2=0(7∣,22eR),那么九=22=0.

【正解】平面内的两个不共线的向量可以作为一组基底,(1)是假命题；(2)是真命题；对于(3),

当a,h均为零向量时λ可以取任意实数,当a为零向量力为非零向量时λ不存在，

(3)是假命题；对于⑷,只有a,b为不共线向量时才成立.

三、对两两夹角相等理解不准确

4、若单位向量α∕,c两两夹角相等,则α+∕>+c的模为.

【错解】因为单位向量α∕,c两两夹角相等,则夹角为120',所以(α+8+c)2=∕+∕+c2

+2ab+2b-c+2c∙a=∖2+l2+l2+2×l×l×cosl200+

2×l×l×cosl20°+2χlχlXCoSI20°=0,所以Q+b+c的模为0。

【错因】忽略了夹角为零度的情况

【正解】当o,b,c的夹角为0。时α+b+c的模为3,当0,b,c夹角为120°时,

[a+b+c∖=a2+b^+c2+2ab+2bc+2c-a=∖2+↑2+↑2+2×1×1×cosl200+

2×1×1×cos120°+2×1×ɪ×cos120==0,a+b+c的模为0.

四、确定向量夹角忽略向量的方向致错

5,己知等边4/8C的边长为1,则虎•不+方・赤+港•尻'=.

【错解】∙.∙A42C为等边三角形,.∙.∣或]=|就=|港|=1,

向量赤、比、不间的夹角均为60。.：.肥•麓=值或=L

2

戌E+0∙荏+油就=、

2

【错因】数量积的定义β∙A=∣α∣∙∣A∣∙cos。,这里。是a与b的夹角,本题中记与出夹角不是Nc两向

量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角,如图发`与晶的夹角

应是NZCD

【正解】瑟与成的夹角应是乙4C8的补角N/8,即180。-NNC8=120。.又I就！=|。|=|港|=1,

所以设'∙dl=I就IldIlCOS120°=-；同理得已1•孙=A^βt=-ɪ

故型B+苏赤+港•觉=-3.

2

6、在A46C中,河是BC的中点MW=I,点尸在∕Λ∕上且满足AP=2PM,则PA（JB+PC）等

于（）

4444

A.一一B.一一C.-D.-

9339

［错解】由疗=2PM知,P为AABC的重心,根据向量的加法,PB+PC^IPM.

则莎•（而+卮

【错因】苏,而夹角是π,不是0.

【正解】由/=2PM知,P为AABC的重心,根据向量的加法,而+卮=2PM

J

则可•（而+正）=百∙2丽=2∣莎I阿卜OSTr=-：.故选A.

五、向量基本概念模糊致错

7、下列五个命题：

（T）若。〃b,b〃c,则。〃c；

②若/,民CQ是同一平面内的四点且孙=比，则/8CD为平行四边形；

③若α∙Z>="∙c,则α=0或b=c；

④（4∙Z>）c=（∕>∙c）”；其中正确的命题有个。

【错解】1或2或3或4

【错因】①忽略零向量与任意向量共线：②忽略四点共线的情况；③忽略a_L（。-c）；④对

数量积的运算律理解错误。

【正解】①若6为零向量,则。〃C不一定成立,故若。〃48〃G则。〃C•为假命题；②若港=尻,

则48CQ可能共线,故为假命题；③若叱力二公5则“二0或方二,,或“"!4。一。)，

故为假命题；④因(a∙b)c表示与C共线的向量，(Z>∙c)α表示与“共线的向

量,(α∙b)c,(b∙c)α可能不共线,故不一定相等,该命题是假命题，正确的命题有O个。

六、忽视平面向量基本定理的成立条件

8、下列各组向量中，可以作为基底的是()

A、a=(O,0)>h=(1,-2)a=(-1,2).h=(5.7)

C、a=(3,5),b=(6,10)D、a=(2,-3),b=(4,-6)

【错解】选A或C或D

【错因】概念模糊，根据基底的定义，只有非零且不共线的向量才可以作为平面内的基底。

【正解】选B,如果1、1是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量

有且只有一对实数λ∣,λ2,使Z=λ∣W+λ2%.在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向

量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。

七、纯虚数的条件不明晰

9、若复数z=∕-i+(α一i)i是纯虚数,则实数〃=()

A.+lB,-1C.0D,1

【错解】由复数z=α2-i+(q-i)i是纯虚数,得q2-i=o,解得：。=±1,故选A.

a—0

【错因】复数α+bi(α,b∈R)为纯虚数的充要条件是错解中没有考虑实部不为零。

忽略了α-lHO.

2]n

【正解】B,由复数z=∕-i+(q-i)i是纯虚数,得一=,解得：ɑɪ-l,

a-1≠0

八、对复数的虚部理解错误

i3

10、复数-----(i为虚数单位)的虚部是()

2i-l

A.B.-iC.—iD.

5555

iɜ—i(2i+1)9ι

【错解】因为‘一二^一一√~v=-±+±i,故选B.

2i-l(2i-l)(2i+l)55

【错因】误认为复数α+bi(α,6eR)的虚部是bi.虚部是:,不是(i.

ɔiii

【正解】复数α+biz(α,6eR)的虚部是仇不是历.-1+/的虚部是不是点，选B。

九、乱用判别式

11、已知关于X的一元二次方程x2+(m+2i)x+(1+mi)=O有实数根,求m的取值范围.

【错解】由于一元二次方程有实数根,可得判别式：Δ=(w+2Z)2-4×(l+mz)=∕M2-8≥0,

解得："i≤-2√^或M≥2√L

【错因】对于一元二次方程通过根的判别式来确定根的个数,这是在实数范围内才能成立的,在复

数范围内就不适用了.而本题中所给一元二次方程/+(加+21口+(1+加)=0,其中

含有虚数单位i,则首先要将其整理成复数的形式：(χ2+tnx+1)+(2x+〃?)i=0,利用

*2C

x+mx..+1=0

复数相等的条件有：n，进而可求出团.

2x0+加=0

2

【正解】设方程的实数根为工,代入方程有：χ0+(/M+2∕μ0+(1+»；/)=0,

2

整理化简可得：(x0+mx0+1)+(2x0+ιn)i=0,

*7-ʌ

x^+mx+1=0,,一一ʌ

则有：\n0h°,可解得：m二-2或加=2.

2x0+阳=0

十、忽略虚数不能比较大小

12、给出下列命题:①INl；②2i>i；③∣x∣≠回θx≠y或x≠-y,其中正确命题的个数为一.

A.0B.lC.2D.3

【错解】D

【错因】两个复数如果不全是实数,不能比较大小.本题易出现的错误是误认为②正确.

【正解】①正确；②错误,因为虚数不能比较大小；，③错误.故选B.

H、利用α+bi=c+dio=C解题,忽略前提条件：a,b,c,d为实数

[h=d

13、已知X为实数沙为纯虚数,且2x+l+i=y+(y-l)i,求x,y的值.

A.+1B.-1C.0D.1

【错解】由2x+l+i=y+(y—l)i得2x+l=Ky—1=1,所以x=；,y=2.

【错因】当4,b,c,d为实数时，有α+6i=c+力o'"=’.错解中忽略了y为纯虚数.

b=d

【正解】因为R为实数沙为纯虚数,设歹=A伍∈R),

由2x+l+i=y+(y-l)K与2x+l+i=-6+(b-l)i,

-3

所以2x+1=—α/?—1=1,所以X=—,y=2i.

2.

1、已知复数Z=言，则下列说法正确的是()

A.Z的虚部为4/B.Z的共规复数为1-4i

C.∣Z∣=5D.Z在复平面内对应的点在第二象限

【答案】B

【解答】∙∙∙z=泻=票然=竽=l+4i,A：Z的虚部为4,故A错误；

I-I(IT)(I+1)2

B：Z的共甄复数为1—4i,故B正确；C：∣z∣=Vl2+42=V17＞故C错误；

D：z=1+4i对应的点为(1,4),在第一象限，故D错误：

2、下列说法正确的是()

A.若回＞I刷，则3＞bB.若I司=M贝I厉=b

C.若,=石，则出4D.若G≠a则了与石不是共线向量

【答案】C

【解析】向量不能比较大小，故4错,∙向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故8错；

不相等的向量也可能是共线向量，故D错;C显然正确.

3.己知α∈R,若z=(α+i)(α+4i)-Ioi为纯虚数(i为虚数单位)，则“的值为()

A.2B.-2C.±2D.±1

【答案】B

屋—4=0

【解析】因为z=(α+i)(α+4i)-IOi=解一4+(5〃-10)i,a∈R且Z为纯虚数,所以‹

5^-10≠0,

所以〃=一2,故选B.

4.若(l-i)+(2+3i)=α+6i(α,ft∈R,i是虚数单位),则一一6等于()

A.5B.1C.0D.-3

【答案】B

【解析】因为(l-i)+(2+3i)=α+&i,即3+2i=α+bi,所以α=3,b=2,所以α-b=l.

5、已知向量7=(70,b=且K与万+方的夹角为锐角，则2满足()

A.Λ<-^B.λ>-j

C.λ>-^λ≠OD.2<-∣K2≠-5

【答案】C

【解析】由题意，•・•甘与甘+犯的夹角为锐角，∙∙∙3∙0+葩)>o且3与m+a6不同向，

即FO+入司>0，故啊12+λa∙b=5+3λ>0,解得入>-∑aλ≠0.

lλ≠0U≠03

6.向量a=(2,f),6=(—1,3),若a,6的夹角为钝角，则f的取值范围是()

j2[R+∞][-6,4

A.I3jBUJC.(-∞,-6)U-I3JD.(-∞,-6)

【答案】C

【解析】如若心b的夹角为钝角，则a∙8Vo且a,。不反向共线.由a∙A=-2+3/V0,

解得ZV,向量d=(2,/),Z?=(—1,3)共线时，2X3=-f,得，=一6,此时a=-26.

所以yκ2且/#一6.

3

7.(多选)已知〃?，〃是实数，a,b是向量，下列命题正确的是()

A.ιn(a-b)=ma-mbB.(m-n)a=ma-na

C.ma—mb,则a=bD.若机则加=〃

【答案】AB

【解析】C错误，例如阳=0;D错误，例如a=0：A,B是数乘运算的分配律，正确.

8.已知矩形力BCD,I常|=1,|面|=2,设市=a,~BC=b,~BD=c,则忸+S+c∣=()

A.3+√5B.4C.2D.3+2√5

【答案】B

【解析】由向量加法的三角形法则得∣a+6+c∣=∣77+及r+诟I=I市+BD+ΛD\

=2∣1K∣=4.

9、已知，•为虚数单位，且复数Z满足z〃+2。=»020+3则下面关于复数Z的三个命题：

数Z的虚部为一夕；⑼z∣=3：③复数Z的共轨复数5对应的点在第一象限.其中正确命题的个数

为()

A.1B.2C.3D.O

【答案】A

【解析】由z"+2"=W20+i,可得Z=怒=弋3=(-gi,则复数Z的虚部为一夕故◎昔

误；IZl=Jg丫+(_J?=>,故之滞误；2=：+?，所对应的点©J在第一象限，故③正确，

所以正确命题的个数为1,

10.在4/8C所在平面中，点。满足OZ+08+OC=O,则50=()

A.-^∑Γ+ɪɪB.-ɪ-ɪɪ

3333

C.^BA+~^ACD.-~BA+~^AC

3333

【答案】A

------>------>------>A

【解析】如图，由。/+08+OC=O,易知。为AZBC的重心，A

Λ^=∣~BD=∣(-BA+AD)=∣(~BA+^C)=∣~BA+j7c.

11.已知向量a,6不共线，且C=船+b,d=a+(2λ-∖)b,若。与d反向共线，则实数2的值为

()

A.1B.—ɪ

2

C.1或一1D.-1或一」

22

【答案】B

【解析】由于。与d反向共线，则存在实数人使得。=何内0),则有2d+。=履+(22—1匹瓦

λ=k1

所以•整理可f得2於一2—1=0,因为标0,解得2=一二

l(2Λ-iχ=l,2

12.已知eι≠O,A∈R,a=eι+λe2fb=2e↑,则a与方共线的条件为()

A.λ=0B.会=0

C.e∖∕/eiD.©〃微或2=0

【答案】D

【解析】当@〃々时，a//e↑9又力=2劭，所以力〃e∣,又xι≠O,故日与力共线：当2=0时，a

=eι,又。=2劭，βι≠O,故a与。共线.

13.已知向量a=(〃落-9),⅛=(1,-1),则“〃7=—3”是“a〃/的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若阳=-3,则a=(9,-9)=96,故a〃6：若a〃6,则一∕∏2-(—9)X1=0,

解得加=3或，川=-3.所以“加=一3”是“a〃6”的充分不必要条件.

若盍谕+〃/，则〃的值为(

14.如图,在正方形/88中，E为。C的中点,=22+)

,--■∙≥A»1A1A■—1,≥1-,—-≥AA

【解析】因为E为OC的中点，所以AC=AB+AD=-AB+LAB+AD=-AB+DE+AD

222

1-------A------->-------->1------->-------A

=LAB+AE,AE=~LAB+AC,所以，=U，"=1，所以1+〃=；.

22

15.设点”(2,0),8(4,2),若点P在直线/8上,且∣∕8∣=2∣ZP∣,则点P的坐标为()

A.(3,1)B.(1,-1)

C.(3,1)或(1,-1)D.(3,1)或(1,1)

【答案】C

【解析】V/4(2,0),8(4,2),ΛAB=(2,2),；点P在直线48上,JL∣AB∣=2∣AP∣,ΛAB=

27适=,故7R=(1,1)或定=(一1,-1),故P点坐标为(3,1)或(1,-1).

16.设X,y∈R,向量a=(x,l),1=(1,y),c-(2,~4),且a_Lc,b//c,则∣a+6∣=()

A.√5B.√WC.2√5D.10

【答案】B

【解析】∙∕a±c,b∕∕c,Λ2χ-4=0,一4-2y=0,解得x=2,y=­2,

a+6=(3,—1),∣a÷t∖=∙√32+(-l)2=V10.

17.已知平面向量a,6的夹角为全且∣a∣=l,∣⅛∣=2,则2a+6与6的夹角是()

ʌ5πC2π

A.-B.一CwDi

63

【答案】D

【解析】因为平面向量a,b的夹惫为$且同=1,冏=2,所以∣2a+々=∖∣(2a+b)2=∖∣4*+4a∙b+旦

2cos22

=Λsy4∣a∣÷4∣4W^÷l^l=Λ^4+4X1X2X；+4=23.又(2a+h)∙b=2a∙b÷Zz=

2∣a∣∙∣⅛∣∙cos^+∣⅛∣2=2×1×2×^∙+4=6,设2a+Z?与方的夹角为仇由向量夹角公式得COSe=

j⅛+“M=T—=也又e∈[0,π],所以。=匹，故选D.

∣2a+4∙冏2√3×226

18、下列五个命题:

⑤向量耳耳与力共线，则Pi、P2、0、A必在同一条直线上；

©如果向量”与石平行，则α与右方向相同或相反；

⑦四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是根=方；

—>→—>一

⑧若Ial=I力I,则n、6的长度相等且方向相同或相反；

®由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行。

其中正确的命题有个。

【答案】0

【解析】向星福与苏共线，则直线P∣P2与直线OA可能平行，①错；选若Z为零向量，则

命题不正确：②错，P^=OA,则四点P∣,P2.O,A可能共线；③错，GI=IiI,只能

说明:、%的长度相等但确定不了方向；④错，零向量与任何向量平行，⑤错。

19、若复数Z满足〃+"z=3+彳其中i是虚数单位),复数Z的共甄复数为2,则下面结论：@z|=

√5;@z的实部是2;