新高考艺术生数学讲义 等差数列、等比数列综合运用（解析版）

新高考艺术生40天突破数学90分讲义专题等差数列、等

比数列综合运用

【典型例题】

例1.(2023春•江苏南京•高三校联考阶段练习)已知数列｛4｝是等差数列，且

¾=0,αl+¾+α7=6,将外,4，4，生去掉一项后，剩下三项依次为等比数列｛2｝的前三项,

则”=()

A.22^MB.2"gC.23^nD.2^+3

【答案】C

［解析］在等差数列｛aJ中，3q=4+4+%=6,解得％=2,而ab=0,即有公差

”=忙&=_1,

6-4

等差数列｛%｝的通项q=4+(〃-4)d=6-n,则%=4吗=30=2,%=1,显然去掉％,

%，%，生成等比数列，则数列低｝的首项为々=%=4,公比勺=£=；,

所以b,,=Zw"T=4χ(g)"T=23τ.

故选：C

例2.(2023秋•青海西宁•高三校考期末)设等比数列｛4“｝的前〃项和为若邑，S<,,S6

成等差数列，且%=6,则%=()

A.-1B.-3C.-5D.-7

【答案】B

，

【解析】：S3S9,$6成等差数列，∙∙.2S9=S3+S6,由题意q*l,2(S9-S6)-S3-S6

/X/∖W+4+1.1

Λ2(α7+¾+¾)=-(¾÷¾+⅜)>可得〃.”=一万，所以4=一不

“4十"十%乙Z

∙'∙q∣=¾⅛3=6×(-^)=-3.

故选:B.

例3.(多选题)(2023•全国•高三专题练习)下列说法正确的是()

A.已知数列｛4｝是等差数列，则数列*"”｝是等比数列

B.已知数列｛q｝是等比数列，则数列｛lna,J是等差数列

C.已知数列｛%｝是等差数列且%eN*,数列出｝是等比数列，则数列｛%｝是等比数列

D.已知数列｛%｝是等比数列且玛eN',数列出｝是等差数列，则数列｛%｝是等差数列

【答案】AC

【解析】设4=〃"+%,=end+k=ek∙(√/)n,故A正确.

Ina“中，a,,>0,但｛5｝中可能q<0,不成立，故B错误.

n

设/=加/+生〃,“€?4欢€2,且勺€^,bn=mq,则%片=/为常数，故

%

C正确.

设a"="q",aneN',aπ=nd+k,则％=OW)d+A,ba^-ba=mq"d(q-∖).

当g≠l时，,的"d(q-l)不恒为定值，故D错误.

故选：AC

例4.(2023春•安徽•高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习)已知数列｛%｝为等比数列，

且勺%=34,设等差数列也｝的前〃项和为S,,,若a=4,贝IJS=.

【答案】27

【解析】因为数列｛4｝为等比数列，月

所以生9=3%,解得4=3或%=0(舍)

即α4=4=3,又因为数列｛4｝为等差数列,

则S=9(、；%)=94=27.

9

故答案为：27.

例5.(2023・全国•模拟预测)在数列｛《,｝中，42=5,数列｛3q-。向｝是首项为2,公差为4

的等差数列，bll=an-2n.

⑴证明：数列也｝为等比数列；

⑵求数列｛q,｝的前〃项和

【解析】(1)由题意得3。“-4角=2+("—l)x4=4"-2,即=30,,-4〃+2,

∙,∙¾÷∣-2(w+l)=3(¾-2rt).X⅛,,=¾-2∕7,.∙.⅛ιι+,=3⅛.

Vb2=a2-4=]=3⅛l,二4=；,则々HO,

•••数列｛2｝是首项为g，公比为3的等比数列.

(2)由(1)得2=gχ3"T=3"-2,

2

J.an=bn+2n≈y-+2n

：.S,,=al+a2++all

=(3-1+30÷3l+∙∙+3Z,^2)÷2(1÷2+3+÷n)

1-32

∏-l÷φ+l).

26v7

例6.(2023•全国•高二专题练习)已知公差不为。的等差数列｛〃“｝满足：①2%+%=7,②

%，%，出成等比数列；③醺=15.从①②③中选择两个作为条件，证明另一个成立.

【解析】选①②：

设等差数列的公差为d，则2q+%=2t∕,+αl+4d=3q+4d=7,

又因为4，&，“9成等比数列，所以a；=4，%，即(4∣+S")?=(α∣+3")(α∣+8〃)，√≠0.

联立解得：q="=l∙

所以4=〃.

所以Ss=也严

2

选①③:

设等差数列的公差为d,则2q+%=2«,+«,+4d=3q+4d=7,

5(α∣+%)5(2q+4d)

———1ɔ

22

联立解得：q=d=l.

所以。“=〃，%=4,«6=6,a9=9,

aj=a4a9,所以%，％，一成等比数列.

选②③：

设等差数列的公差为d,

因为内,&,%成等比数列，所以"：=”「内，即(α∣+5d)2=(α∣+3d)(α∣+83),

5(q+%)5(2q+4d)

———1ɔ

22

联立解得：al=d=∖,

所以4=〃.

所以2%+%=7.

例7.(2023春・云南曲靖•高三统考阶段练习)已知等比数列｛《,｝满足％=8%,且生+%=-9,

S,,为数列｛%｝的前"项和.

(1)求他“｝的通项公式；

(2)Sm,a,,ai(m√∈N∙)能否构成等差数列，若能，则求见，的值;若不能，则说明理由.

【解析】(D设数列伍“｝公比为夕，因为4=8%,

所以F=g'=8,即q=2,

ai

又因为%+%=-9,

所以1+8/=-9,即/=-1,

所以a=//?=-2'-2；

(2)假设鼠,生，4能构成等差数列，

则上=.2x25，

1-2

化简得;-2"'T-2"2=-2',BP2m-27+2,-'=l>又m,ieN,

因为等号右边为奇数，且2"，-2'为偶数，所以2"必为奇数，

所以i=1,Sim=I,

此时Sl+al=2a7,故Sm,a1,al能构成等差数列.

例8.(2023•全国•高三专题练习)设｛m｝是首项为1的等比数列，己知α/,342,9公成等差

数列，求等比数列｛m｝的公比.

【解析】设公比为q,因为数列｛α”｝是首项为1的等比数列，

所以α(T=IXg"I

且M3a2,9编成等差数列，

所以2χ3a2=a∣+9aj,

所以6cuq=a∣+9a∣q2,

即9q2-6q+l=0,

解得制.

例9.(2023・全国•高三专题练习)已知数列｛%｝是一个公比为4(q>0,qxl)的等比数列，

4=1，S,是数列｛%｝的前〃项和，再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，解

答下列问题:条件①:44,3%,2%成等差数列涤件②：S,,=2““-1;条件③:&=7.

(1)求数列｛为｝的通项公式；

(2)令2=21og2a“-7,求数列｛4｝的前n项和Tn的最小值.

注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解析】⑴选①，因为4%,3%2q成等差数列，

所以6。3=4%+2%,即6。2夕=4%+2。2乡2，

又∙≠0,所以3q=2+d,解得q=2或夕=1(舍去)，

则％=W-',

所以数列｛4｝的通项公式=2"τ.

选②,当〃≥2时,4=S"-S"7=2(%-%),即有q=2”,τ,

所以公比4=2,而4=1,则a,,="4-=?"。

所以数列｛q｝的通项公式q=2"τ.

选③，&=绰二Q=7,即有d+g-6=O,解得9=2或g=-3(舍去)，

ι-q

则a“=q〃=2"T,

所以数列｛q｝的通项公式可=2"τ.

(2)由(1)知"=2"-9,

所以7；=2(1+2+…+")-9"=2X^∣^-9"="2-8W=("-4)2-16

所以当〃=4时，，的最小值为-16.

例10.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛q｝的前."项之积为s,,=2k(〃eN").

(1)求数列｛。,,｝的通项公式；

⑵设公差不为0的等差数列也,｝中，4=1,,求数歹U｛%⅛｝的前n项和T1,.

请从①以=4；②4+仇=8这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分.

【解析】(1)当腹=1时，α∣=S1=I

SΛ(n-ɪ)-(Λ-1)(7:-2)

当“≥2时，an=-^-=22=2"T

k-,Λ-l

综上，an=2"-'.

(2)若选①b；=b4,

设等差数列｛d｝的公差为d(dwθ),

因为4=1,其心，

所以(l+d)2=l+⅛∕(d≠0),解得d=l

所以，⅛=n,

'

所以，a,l+bll=2-'+n,

所以，7；,=(1+2+22++2"^1)+(l+2++n)

1-2n(n+i]c〃ι1/∖

=----+-----=2-1+—+1

1-222v7

所以，。=2"-1+，(〃+1)

若选②"+4=8,

设等差数列｛2｝的公差为d(d*0),

因为a+&=8,所以々=4,

又因为a=1,所以4=l+3d,解得d=l

所以，b,l=n,

所以，a,,+hn=2"-'+n,

所以，7；,=(1+2+22++2,,-')+(l+2++〃)=匕^+〃("+1)=2"_1+1〃(〃+1)

所以，。=2"-1+，(〃+1)

例11.(2023秋.湖南湘潭.高三校联考期末)已知等差数列｛4｝和等比数列也｝满足,

al=2,⅛1=IM2+生=10,b2b3——a4.

⑴求数列｛4｝,色｝通项公式

c

(2)设数列｛ς,｝中满足cn=a,,+b,,,求和c∣+C3+。5++2n-∣

【解析】(1)设等差数列｛q｝的公差为d，等比数列｛2｝的公比为夕，

则ci-,+/=4+d+4+2d=4+3d=10,疥军d.=2,

.∙.an=4+(〃—1”=2+2(〃-1)=2〃，

2

b2bi=blc∕btq=/=_%=-8,解得q=-2,

.也=姑Z=(—2广,

即《,=2〃，⅛=(-2)n^';

(2)由(D得C(I=2〃+(-2)i,

α+

.∙.Cl+<⅞+c5++C2"-l=(∣+6++%,l)+(4+4+⅛,>-l)

"(4+见“T)J(I-/")”(2+4"-2)1-(-2广24"I

=-2—F^=-2—+T√Ξ^^=2M+T^i∙

例12.(2023・四川•校联考一模)已知等差数列｛5｝与正项等比数列｛4｝满足

al=b]=2,⅛3=a1=a2+a4,

⑴求数列应｝和色｝的通项公式；

⑵记数列｛%｝的前20项的和为S?.,数列也｝的前〃项和为，,求满足Z,≥SR的n的最小

值.

【解析】(1)设等差数列｛4｝与正项等比数歹∣J｛a｝公差，公比分别为d,q(q>0),

因为q=⅛1=2,⅛3=OI=a1+a4,

所以2q2=2+6d=2+d+2+3d,解得d=lq=2,

所以，数列｛《,｝的通项公式为0“=〃+1

数列低｝的通项公式为2=2".

(2)由(1)得S2o=2°x(j+21)=23O,7；,==2"t'-2,

21—2

所以7］,≥Sa,,即为2"+∣-2≥230,即为2"≥116,

因为y=2，单调递增，26=64<116<128=27,

所以，满足2"≥116的正整数〃最小值为7

【技能提升训练】

一、单选题

1.(2023・全国•高三专题练习)已知等比数列｛%｝和等差数列低｝∕eN*,满足

4=4=2,%>0,%=4,。5—4=24,贝lJ%-2%=()

A.-2B.1C.4D.6

【答案】D

［解析］设等比数列｛《,｝的公比和等差数列｛b,,｝的公差分别为dd.

因为q=2,%>0,所以q>0.

由题意得20=2+2d,

又2∙∕-(2+24)=24,解得g=2,d=3,

所以α,,=2,,,⅛=3«-1,

6

J9fy,α6-2⅛=2-2X(3×10-1)=64-58=6,

故选：D.

2.(2023春・广西南宁•高三南宁三中校考专题练习)设等比数列｛4｝的前〃项和为S“，若

«2=2,且%,«3,%-2成等差数列，则'=()

A.7B.12C.15D.31

【答案】C

【解析】设公比为q(qwθ),因为的,4，4-2成等差数列，所以2%=%+%-2,

则2x2q=2+2q2-2,解得：q=2或0（舍去）.

因为%=2,所以q=l,故S=------=15.

111-2

故选：C

3.（2023•全国•高三专题练习）在各项均为正数的等差数列包｝中，4=3,若4，%+1，4+3

成等比数列，则公差4=（）

A.—1或2B.2C.I或一2D.1

【答案】B

【解析】由题意可得3+1）2=%（%+3）,即（α2+d+l）2=%3+3d+3）

即出2+2%（〃+1）+（1+1）2=%2+3%（1+1）

所以（d+l）2=%（d+l）

山题意可>。，贝IJd>0,所以d+l>0

所以d+l=%,所以d=%T=2

故选：B

4.（2023・全国•高三专题练习）若等差数列｛%｝和等比数列也｝满足4=%%=A=2也=16,

则｛q｝的公差为（）

A.1B.-1C.-2D.2

【答案】A

【解析】设等差数列｛q｝的公差为d,等比数列出｝的公比为q

.a2=b2=2

.∖ax+d=bx∙q,又4=々

4+d=q∙q=2

又b§=biq4=%∙q"=（%∙q）∙q3=2q3-16

.∙.q=2,ClT=1,d=1

故选：A

5.（2023・全国•高三专题练习）已知｛%｝是等差数列，｛〃,｝是各项均为正数的等比数列，且

4=4=1，4+。3=24，々-3。2=7,则“一%=（）

A.7B.4C.1D.-2

【答案】C

【解析】设等差数列｛4｝的公差为"，等比数列｛〃｝的公比为4>0,

a2+a,=羽(l+O+(l+2d)=2q22+34=2d…d=2

由题意可得:则/-3(l+d)=7，'q4-3d=10'肝得4=2或

b5-3a2-7

《∖d=2（舍ʌ去），

[q=-2

故d-4=/-（l+3d）=l.

故选：C.

6.（2023•全国•高三专题练习）等比数列的公比为-2,且4+2,a3+2,%-7成等差

数列，则｛《,｝的前10项和为（）.

【答案】A

【解析】由于6+2,4+2,%-7成等差数列,

所以2(%+2)=4+2+%-7,

即21q×(-2)2+2]=q+2+qx(-2)"-7,

解得“∣=1，

所以SK)==-341∙

1-(-2)3

故选：A

7.（2023•全国•高三专题练习）已知公差不为。的等差数列｛4｝,满足%,%，4成等比数

列，｛%｝的前”项和为5"，则含言的值为（）

Jit-ɔə

3I2

A.-B.-C.3D.-

233

【答案】B

【解析】设等差数列｛%｝的公差为“，且dHθ,

又满足q,%，%成等比数列，即42=q%,可得（q+2"Y=4（q+34）,

所以4+41=0,

Sf%+%_Y_1

则所以

S4-52%+%—3d3S4-S23,

故选：B.

8.（2023秋・广东•高三校联考阶段练习）已知等差数列｛%｝与各项均为整数的等比数列｛〃｝

的首项分别为4=1，々=2,且/=%,将数列｛%｝，｛〃｝中所有项按照从小到大的顺

序排列成一个新的数列｛c,,｝（重复的项只计一次），则数列｛%｝的前40项和为（）

A.1843B.2077C.2380D.2668

【答案】B

【解析】设等差数列｛4｝的公差为d,等比数歹U｛〃｝的公比为9,由4=%，⅝=⅛.

得%f+∖+5d=2q>解得IJd?=3'

根据题意，a2=h2=4,¾=⅛4=16,α2,=⅛6=64,故々=2,⅛3=8,4=32可与”“一起

排列,故%=%=109

｛ς,｝:1,2,4,7,8,10,13,16,19,22,,109,

故数列｛%｝的前40项和为：

C,+c2++c40=色节?>37+a+b3+b5=("I?JZ+2+8+32=2035+42=2077.

故选：B

9.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛%｝为等差数列，S“为等比数列｛2｝的前〃项和，

S6

且4,+%=l,%+%>=31,a2=bi,ai=b2,贝IJU=()

A.-B.IC.-D.-

8848

【答案】D

+仆=1?[2。[+5d=1?ftz=—7

【解析】设等差数列(4的公差为"，由~5得C解得1/」。，

[%+α∣o=31[24∣+15"=31U=3?

则4,=3〃-10,所以々=4=_4,b2=a4=2,

设等比数列圾｝的公比为心则q=-J,

故选：D.

10.(2023・全国•高三专题练习)已知数列｛q,｝是等比数列，且％,2%,4%成等差数列,

则公比4=()

A.—B.-C.~D.1

842

【答案】C

【解析】因为《，2出，44成等差数列，

所以4g=α∣+4%,

2

所以4qq=q+4al⅛,

所以4d-4q+l=0,所以（2q-l）2=0,所以q=；.

故选：C

11.（2023•全国•高三专题练习）已知在等比数列｛为｝中，a1a5=∖2ab,等差数列低｝的前〃

项和为5“，且2仇=%，贝∣JS∣7=（）

A.96B.102C.118D.126

【答案】B

［解析］在等比数列｛4｝中，a1a5=I2a6,

.∙∙d=12%,

•∙¾=12,

在等差数列低｝中，

2⅛,=<z6=12,

*'•”>=6,

.∙.S17=∣7（P∣;如）=［74=102,

故选：B.

12.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛/｝为等差数列，且3。，3,3"，成等比数列，则由

为（）

A.1B.—C.15D.3

2

【答案】A

【解析】设数列m｝的公差为d,

因为3T3,3«成等比数列，所以3”《=3?,

所以q+/=2al+6d=2,

所以q+3d=e=1，

故选：A.

13.（2023•全国♦高三专题练习）已知1,《，生，4成等比数列，1,4，打，与，4成等差

数列，则色言的值是（）

48

A.-B.-C.2D.1

55

【答案】B

【解析】VI,%,%，4成等比数列，1,b∣,⅛2,⅛3,4成等差数列，

Λax∙¾=4,2⅛2=1+4,⅛2=I^,

4•4_4_8

则亏=3=J

2

故选：B.

二、多选题

14.（2023春•安徽阜阳•高三阜阳市第二中学校考阶段练习）下列命题正确的是（）

A.若｛α,｝｛2｝均为等比数列且公比相等，则｛%+2｝也是等比数列

B.｛%｝为等比数列，其前〃项和为S“，则S“,S,,,-S,,,S3,,也成等比数列

C.｛q｝为等差数列，则｛2册｝为等比数列

D.｛q,｝的前〃项和为S,,,则“％>0（〃∈N*）”是“｛S“｝为递增数列”的充分不必要条件

【答案】CD

【解析】对于A,｛《,｝、｛%｝均为等比数列且公比相等，当4+4=0时,数列｛4+勿｝不是等

比数列，故选项A错误；

对于B,当等比数列｛q｝为3,-3,3,-3,3,—3,3,—3,时，当〃为偶数时，Sn=O1则

5,,,S2π-SΠ,53Π-S?“不能构成等比数列，故选项B错误；

对于C,设等差数列｛%｝的公差为d,则替=2"*"f=2"常数，所以｛%｝为等差数列，则

｛24｝为等比数列，故选项C正确；

对于D,数列应｝中，对任意”wN*.α,>0,则S,=S,ι+α,,>S,ι∕≥2;所以数列｛S,｝是

递增数列，充分性成立；

当数列阻｝是递增数列时，S,,>Sl^,n≥2,即S,τ+4>S.T,所以〃≥2时，a,,>0,如数

列-1,2,2,2,.；不满足题意,所以必要性不成立,则“4,>0（〃eN*）”是“｛S,｝为递增数列”

的充分不必要条件，故选项D正确，

故选：CD.

15.（2023•全国•高三专题练习）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（）

A.若数列｛%｝的前〃项和SM=加+加+c（a,b,C为常数）,则数列｛%｝为等差数列

B.若数列｛4｝的前n项和S“=2n+'-2,则数列｛叫为等比数列

C.数列｛《,｝是等差数列，S”为前〃项和，则S,,,52Π-5I,,S3,,-邑“，…仍为等差数列

D.数列｛4｝是等比数列，S11为前〃项和，则S“，S2,,-Sn,S3,,-邑“，…仍为等比数列

【答案】BC

【解析】根据题意，依次分析选项：

对于选项A：因为S“=卬尸+b〃+c,al=Sl=a+h+c,

22

当“≥2时，all=S11-S,,.l=(^an+⅛n+c)-^z(n-l)+6(π-l)+cJ=2α∙n+⅛-a,

a+b+c,(n=1),、

所以4,=c//、c\,所以只有当c=。时,数列｛%｝成等差数列,故A错误；

2a-n+b-a∖n≥2)

对于选项B：因为S,,=2向-2,al=S,=2,

n+,r,,

当〃≥2时，¾=∖-S,,.,=(2-2)-(2-2)=2",当〃=1时，al=2=2,符合上式，

所以4=2"，则数列｛%｝成等比数列，故BLE确；

对于选项C：数列｛4｝是等差数列，S,为前〃项和，则S“，S2,,-S,,,S3n-52n,L是公差

为Md(d为｛%｝的公差)的等差数列，故C正确；

对于选项D：令«„=(-1)",则S2,S4-52,56-54,c是常数列0,0,0,,显然不是等比

数列，故D错误.

故选：BC.

16.(2023∙全国♦高三专题练习)已知等差数列｛4｝的公差和首项都不等于0,且％,a5,as

成等比数列，则下列说法正确的是()

A.B.⅜+⅞+⅜=2cd=2D.%=2d

1

a3+ai3a3+ai7

【答案】AD

【解析】由题设，若｛/｝的公差和首项分别为d，4,而a；=%为，

.∙.(4+4d)2=(q+2d)(q+7d),整理得Old=2d?,又公差和首项都不等于0,

∙'∙g=2d,故D正确，c错误；

■：az+aw=2af,,

a+a+a_3a_3t∕+15J_21J_7

26w61故A正确，B错误.

a}+a4a3+α420l+5d9d3

故选：AD

17.(2023∙全国•高三专题练习)在公比4为整数的等比数列｛4｝中，S.是数列｛《｝的前〃项

和，若4+4=18,%+%T2,则下列说法正确的是()

A.q-2

B.数列｛S.+2｝是等比数列

C.S8=510

D.数列｛lg%｝是公差为2的等差数列

【答案】ABC

,

【解析】q+4=i8,a2+ai=12,β1(∣+⅛)=i8,4(9+^)=12,公比q为整数.

解得4=9=2.

"2-1

St,+2=2"÷',数列⑸+2｝是公比为2的等比数列.

9

S8=2-2=510.

Igan="lg2.数列｛IgqJ是公差为Ig2的等差数列.

综上可得：只有ABC正确.

故选：ABC.

三、填空题

18.(2023春・江苏镇江•高三校考开学考试)在等差数列｛4｝中，公差d不为0,4=9,且

4，出，应成等比数列，当〃=时，数列｛%｝的前〃项和5“有最大值.

【答案】5

2

［解析】依题意，d=ala5,即(9+3d)=9χ(9+4d),整理得屋=_2d,而dH0,解得d=—2,

于是得4=4+("T)d=-2"+ll,显然数列｛%｝是递减等差数列，a5>0,a6<0,

所以当〃=5时-，数列｛an｝的前“项和Sn有最大值.

故答案为：5.

19.(2023•全国•高三专题练习)已知｛%｝是等差数列，q=l,公差5“为其前〃项

和，若q,出，生成等比数列，则$8=.

【答案】64

【解析】因为％,«2.%成等比数列

2

.∙.a；=aias,g∣J(1+J)=1+46/

解得d=2或&=0(舍)

Sii=8q+28d=8+28×2=64

故答案为：64

20.(2023•全国•高三专题练习)已知等差数列｛《,｝的公差不为零，且生,«3，与成等比数

则岁=

列,

a2+a4

【答案】］Q

【解析】因为等差数列｛〃〃｝的公差d不为零，则由以；=。2旬，

a4+a6_a5a2+3d6a2_8

知(生+办=%(%+7d),d=5a21

a2+a4%生+d6的3

Q

故答案为：—.

21.(2023♦全国•高三专题练习)等差数列｛%｝的公差为2,前〃项和为S,,,若与，4，4构

成等比数列，则S/I=.

【答案】«(»+!)

【解析】由题设,a：=%%,则(q+6)2=(q+2)(q+14),可得q=2,

所以q=q+("-Dd=2”,故Szt=幽CJ="("+I).

故答案为：〃(〃+1)

22.(2023•全国•高三专题练习)已知正项等差数列｛《,｝的前〃项和为S,,且仁=9,若

3出,〃仆59成等比数列，则等差数列的通项公式%=.

【答案】2n-l,fιwN.

【解析】等差数列｛a,l｝中Sg=9("；%)=9生，

设公差为d,=3a2∙S9,

：.(%+91)2=3(%-3d).9%，

解得4=2或d=T3(舍)，

an=2n-∖,neN+.

故答案为：2n-∖,∏GN+

23.(2023∙全国•高三专题练习)公比不为1的等比数列｛4｝中，若4，%，小成等差数列，则

数列｛4“｝的公比为.

【答案】

【解析】山题意：｛%｝为等比数列，％，为，组成等差数列，则2%=4+%,∙∙.2a∣q2=q+aq,

.•.2/=1+晒=1或4=一；，又因为等比数列｛4｝的公比不为1,∙∙∙q=-g.

故答案为：

24.(2023・全国•高三专题练习)已知数列｛4｝是等差数列，数列出｝是等比数列，4+%=肋,

始也=64,则-SF

【答案】ɪ

【解析】由题意得2%=4+4=8%,

所以％=4万,

h6h1hs=h.=M,

所以4=4,

所以⅛4⅛10=⅛7=16,

~.44;F（π∖1

所以COS---------——=COS-----------=COS——=-

4—她O4-16I3）2'

故答案为：ɪ

25.（2023∙全国•高三专题练习）写出同时满足以下三个条件的数列｛a,,｝的一个通项公式4=

.①｛%｝不是等差数列，②｛。；｝是等比数列，③｛4｝是递增数列.

【答案】2"

【解析】因忖｝是等比数列，令端=4",当4>0时，α,,=2∖Vn∈N∙,¾+l>¾,｛α,,｝是递

增数列，

令m,n,k是互不相等的三个正整数，且相<〃<A,若%,α,,,ak成等差数列，则%,+巴=2%,

即2'"+2*=2x2"，则有l+2"w=2"+f,显然4-加、”+1一切都是正整数,2k~m<2"F都

是偶数，

于是得1+2"-'"是奇数，从而有1+2=2"*"'不成立，即品a不成等差数列，数列｛4｝

不成等差数列，

所以an=2”.

故答案为：T

26.（2023•全国•高三专题练习）等差数列｛q｝的公差为2,若内，生，%成等比数列，则4=

【答案】4

【解析】由题意，a；=6,%=（4+S）?=（α∣+4）（α∣+14）nα∣=4.

故答案为：4.

27.（2023秋・北京石景山•高三统考期末）等比数列｛%｝中，4q,2%,%成等差数列，若

4=ι,则公比q=.

【答案】2

【解析】因为4《,2a2,4成等差数列,

所以402=03+4q,

可得4qg=qq2+4at,

因为q≠0,所以4g=∕+4,

解得：9=2,

故答案为：2.

28.(2023・全国•高三专题练习)已知等比数列｛4,,｝的前"项和S,,="+62”,且%，9,%成等

差数列，则a-b的值为.

【答案】-2

【解析】因为等比数列｛%｝的前〃项和S,,=a+bT,

当“≥2时；an=S,-S^=(a+h-T)-(a+h-T-')=h-X-'.

0

当〃=1时，al=St=a+2b=b∙2,

所以α+6=0①，

.又出,9,%成等差数列，

4

所以02+%=18,即2⅛+2∙b=18②

.由①(§)解得α=-1力=1，

所以4-%=-2.

故答案为：-2

29.(2023春・北京・高三北京二中校考开学考试)等差数列｛《,｝中，4=1°且%，%，4。成

等比数列，数歹∣J｛%｝前20项的和邑。=—

【答案】200或330

【解析】设数列｛%｝的公差为d,贝加=%-d=10-d,

aβ=aA+2d=1O+2J,<7IO=a4+6d=10+6J,

由“3，46,“10成等比数列，得Wlo=6C，

即(10-4)(10+64)=(10+2df,

整理得IOd2-1Od=0,解得"=O或4=1，

当d=O时，S20=204=200；

当d=1时,a1=a4-3d=10-3×l=7f

70×iQ

于是S2.=204+ɪɪd=20x7+190=330,

故答案为200或330.

30.(2023春•天津•高三校联考阶段练习)等比数列｛4｝中，各项都是正数，且4,；。,,2%成

等差数列，则％'+α艮=.

«14+«15

【答案】√2-l

【解析】；等比数列｛4｝中，各项都是正数，且为,2%成等差数列，故公比夕为正数

且不等于1.

.a3=at+Ia2,即a4=α1+2a、q,

即为"-2g-l=0,解得g=l+λ∕i,

%+44%+颔J=6[

"«14+«15式%+%）q

故答案为：√2-l.

四、解答题

31.（2023春•上海普陀•高三曹杨二中校考阶段练习）设S,,为数列｛《,｝的前〃项和，已知

S,,二——〃+mi.

“22

⑴证明：｛/｝是等差数列；

⑵若为，“7，%成等比数列,求S”的最小值.

2

【解析】⑴证明：因为5,=-g∕+g"+”4,,SP2Sn+n=2nan+n①,

2

当“≥2时，2Sn,l+(«-1)=2(»-1)¾-1+(n-1)②

22

①-②得,2S“+n-2S„_l-(n-1)=2nan+n-2(n-I)an.∣—(n—1),

即2afl+2n-l=2natl-2(n-\)alt_]+1,

即2(n-l)an-2(n-l)an,1=2(n-l),

所以%-。〃一|二1，Λ≥2ɪn∈N*»

所以｛%｝是以1为公差的等差数列.

(2)由(1)可得∕=a∣+3,%=a∣+6,/=q+8,

又久,%,旬成等比数列，所以姆=%∙%,

即(q+6)=(q+3)∙(a∣+8),解得q=-12,

所以4r=-12+(〃-I)XI=力-13,

625

所以当九=12或"=13时，Sn取得最小值，（Sjn,n=S12=S13=-X

32.(2023秋•江苏无锡•高三统考期末)已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，公差d≠0,4

是4,小的等比中项,S5=25.

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)若数列也｝满足4=T,b,,+bn+l=sn,求%.

【解析】(1)设｛%｝公差为d,

ac

,gn⅛∙za'''^[4(4+12d)=(α∣+24)2

由题意得V5(5-1)-I7v',,

5a1+——-~-d=25q+2d=5

解得.∙.%=l+2("-l)=2"-l.

/人(1+2H-1)∕I9C

(2)bn+%=---------=n-.①

仇+1+仇+2=(〃+1))②

②一①得，bn+2-bn=2n+i,

■；匕1=-1,；・d=2.

⅛20=⅛20-⅛l8+⅛18-⅛16+L+b4-b2+b2

(37+5)×9

=37+33+29+L+5+2=∙^-------L—÷2=191.

2

33.(2023秋•重庆•高三统考学业考试)已知等差数列｛4,,｝的前〃项和为S.，56=6¾+9,

且即、如、必成等比数列.

⑴求明;

⑵求数列｛同｝的前20项和.

【解析】(1)设等差数列｛q｝的公差为d，

山S6=6π1+9得601+154=6(α∣+2</)+9,解得d=3,

2

因为a；=4%，(β∣÷7^)=(«,+3J)(αl+51√),整理可得34∣+171=0,解得“=-17,

所以，an-ai+(rt-l)i/=-17+3(rt-l)=3rt-20.

(2)当n≤6时，¾=3n-20<0；当“27时，¾=3w-20>0.

所以，数列｛《,｝的前20项和为

/、/、(2+17)×6(l+40)×14C

-(4+4++¾)+(d⅛+¾++¾o)=------2------+-------2------=344.

34.(2023,全国,高三专题练习)己知数列｛”,,｝,aγ=3,a2=5,数列低｝为等比数列，满

足b,,+∣=an+ibll-anbn,且打，2ai,b5成等差数列.

（1）求数列｛4｝和｛2｝的通项公式；

巴，（"为奇数）

（2）记数列｛%｝满足：Cll=P'为偶数j，求数列｛%｝的前2〃项和L.

【解析】（1）由题意，bll+l=a,^b,l-a,lbl,,al=3,a2=5,令〃=1得2々=%，又数列电｝为

等比数列,所以%=2",即数列｛%｝为公比为2等比数列.

所以由bπ+l=an+λbn-aπbn可得2b,,=aπ+ibll-a,,bn即%-4=2,数列｛4｝是首项为3,公差为2

的等差数列，

数列｛a,J的通项公式：α,,=3+2(a-l)=2"+15wN*).

由打，24,々成等差数列，得：b2+b5=4a4,2⅛l+16⅛,=36,⅛,=2,有2=2".

2〃+1,（〃为奇数）

(2)由(1)知%=,,数列｛%｝的奇数项是首项为3,公差为4的等差数

2",（〃为偶数）

列，偶数项是以首项为4,公比为4的等比数列.

τ/ʌ,,,ι,∖α〃(〃—1).4(1—4”)

岂“=(4+«3+α+∙∙∙+¾-∣)+z(fe+¼+⅛÷∙∙∙+⅛)=3"+----------4+—~--

5n2L1—4

4

=2n2+n+-(4β-l).

35.(2023秋•河北唐山•高三统考期末)已知｛可｝是等差数列，也｝是公比不为1的等比数

歹∣J,q=b[=2,¾=b2,a5=⅛3.

⑴求数列｛4｝,也｝的通项公式；

⑵若集合M=｛∕J九=q,w,AeN*,且l≤Z4100｝,求〃中所有元素之和.

【解析】(1)设等差数列｛q｝的公差为d,等比数列｛2｝的公比为4,4*1,

q=4=2

依题意<2+d=2q,解得4=3,J=4.

2+4d=2∕

所以为=4〃-2也=2x3'i.

(2)设〃“=%,即2χ3MT=4"2,即3<=2"1,

因为1≤1≤100,所以1≤2"1≤199,βpi≤3",^l≤199.

由于3*V199<35,所以0≤，〃一1<4,解得l≤m≤5,m∈N*,

所以M中所有元素之和为2x(-3，)=242.

1-3

36.（2023秋•湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习）己知等比数列｛q｝的首项4=1,

公比为q,前W项和为s“，且其，邑，既成等差数列.

⑴求｛4｝的通项。“；

（Qγγ—2k—]

（2）若2=;o,Λ∈N∙,求｛%｝的前〃项和小

【解析】（1）若q=l,而首项4=1,则S3=3,S4+S5=9,2S3WS4+S5,不合题意，故4≠1.

则山2S3=S4+S5可得，2χ口=》+口n∕+g-2=0,所以q=-2,

∖-q∖