2022-2023学年广东省湛江市第学高一年级下册期中数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年广东省湛江市第学高一下册期中数学模拟试题

（含解析）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.）

j若集合4={x|x（x_2）<0},8={x|x-lWO},则4I（”）=（）

A.{x|x>1或x<0}B.{x|l<x<2}C.{xIx>2}D.

{x|X>1}

【正确答案】B

【分析】根据题意，将集合48分别化简，然后结合集合的交集以及补集运算即可得到结

果.

【详解】因为Z={x[0<x<2},8={x|x«l},

则％8={小>1},所以Nc（%8）={x[l<x<2}

故选：B

z

2.已知复数z满足-7=10i（i为虚数单位），则复平面内z的共辗复数对应的点在（）

3+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

【正确答案】C

【分析】求出复数z的代数形式，进而可得三，则可得其在复平面内对应的点的位置.

z

【详解】•••——=10i,

3+i

.•.z=10i（3+i）=-10+30i,

,..■=_10-30i.其在复平面内对应的点为（TO,-30）,在第三象限.

故选：C.

3.圆台上、下底面半径分别是1、2,高为百，这个圆台的体积是（）

7^/3273

A.------九B.2扃C.7屈D.-----n

33

【正确答案】A

【分析】运用圆台体积公式直接计算.

【详解】由圆台体积公式知：

K=17i/z(/?2+r2+/?r)=yxV3x(l2+22+lx2)=^7i;

故选：A.

4.已知平面向量a=(sine,l),B=(cos6,-2),若»则tan8=()

11

A.--B.-2C.2D.T-

22

【正确答案】A

【分析】根据向量共线得—2sin。=cos。，则tan6=-1.

2

【详解】..・一2sin。=cos。，显然cos。w0,tang=—，，

2

故选：A.

5.正方体/BCD—44GA中，与对角线4C成异面直线的棱有()

A.3条B.4条C.6条D.8条

【正确答案】C

【分析】由异面直线的定义即可得出答案.

【详解】解：由图可知与直线4。为异面直线的棱分别是84、DD「4〃、44、4G、

GA共6条.

4

Dt

B

故选：C

6.在平行四边形Z8C。中，BE=-BC,AF=-AE.^AB=mDFAE>则加+〃=

23+n

()

i354

A.7B.—C.—D,一

2463

【正确答案】D

【分析】利用平面向量的线性运算求出〃?，〃即可.

【详解】由题意可得方=N豆+丽=N云+'刀=7万+'（万户+

22、

=赤+；］而-；荏卜;而+浑，

所以机=一，〃=一,

26

4

所以加+〃=一，

3

故选：D

7.如图所示，在长方体N8CD—44GR中，4G与BQ相交于点0,瓦尸分别是4。,

G。的中点，则长方体的各棱中与痔平行的有（)

ac,

C.5条D.6条

【正确答案】B

【分析】由E,尸分别是用。，G。的中点，取EFHBJ,结合正方体的结构特征，即可

求解.

【详解】由于E,F分别是用。，C0的中点，故EF//BG，

因为与棱4G平行的棱还有3条：AD，BC,4。，所以共有4条.

故选：B.

8.在四面体/—8CO中，AB=CD=近,AD=BC=后,AC=BD=2不，则四面体

4-3CZ）外接球表面积是（）

,256

A.647tB.32TIC.256无D.------兀

3

【正确答案】B

【分析】利用割补法及勾股定理，结合长方体的体对角线是外接球的直径及球的表面积公式

即可求解.

【详解】由题意可知，此四面体Z-BCD可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、

高分别为6，V25-2.四面体/一88如图所示，

所以此四面体N-6C0的外接球的直径为长方体的体对角线，即

（27?）2=（A/3）2+（V25）2+22，解得R=272.

所以四面体Z—BCD外接球表面积是S=4成2=4x兀x（2&『=32兀.

故B.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.△NBC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且（2b-c）cosR=acosC,b=2也,

若边8c的中线=3,则下列结论正确的有（）

,兀，兀

A.A=~B.A=—

36

C.ABAC=6D.ZX/IBC的面积为

【正确答案】ACD

【分析】根据正弦定理，结合平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的定义、三角形面

积公式进行求解即可.

【详解】根据正弦定理，由

=>2sin5cosA=s\nAcosC+sinCcosA=sin（/+C）=sin（兀-8）=sin8,

因为8w（0,兀），所以sin5w0,因此2cos4=l=cos4=；,

因为/w（0,兀），所以/=],因此选项A正确，选项B不正确；

因为是中线，所以由彳万=；（荔+就）=4诟2=Nf+%2+2万•%

=>36=c2+12+2x2^3x-^c=>c=2百,或。=-4百舍去，

因此益•就=2JJX2GX」=6,所以选项C正确；

2

△Z8C的面积为sin/=,x2x2x走=3JJ，所以选项D正确，

222

故选：ACD

10.若复数z为纯虚数，则（）

A.z+z为实数B.z-z为实数

C.z2为实数D.彳.i为实数

【正确答案】ACD

【分析】根据题意，设z=〃?i（mwR且加#0）,得到三=_〃”，结合复数的运算法则，逐

项判定，即可求解.

【详解】因为Z为纯虚数，设Z=疝（加eR且〃7w0）,则［=-而，

由z+N=0,所以A正确；

由z-z=2mi,所以B错误；

由Z2=-7772为实数，所以C正确；

由=5.i=-mixi=机为实数，所以D正确.

故选：ACD.

11.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，下列四个命题中，正确命题的选项是

（）

A.8〃与平行；

B.CN与3E是异面直线；

C.4尸与平面平行；

D.平面C4V与平面平行.

【正确答案】CD

【分析】先将正方体的平面展开图复原为正方体，再结合图形，对选项一一判断即可.

【详解】对于选项A,由展开图得到正方体的直观图如图，BM与ED异面,故A错误;

对于选项B,CN与BE平行,故B错误；

对于选项C,因为四边形是平行四边形，所以4F//MD,又4尸仁平面3。/,

MDu平面BDM，所以力///平面8DM，故C正确；

对于选项D,显然AC//EM，又ACU平面BEM,EA/u平面BE",所以/C//平

面同理NN//平面8EM,又/CPl4N=4,所以平面CNN//平面,故D

正确.

故选：CD.

12.已知正四棱柱Z8C。一4MGA的底面边长为2,侧棱=1，尸为上底面4片。01

上的动点，给出下列四个结论中正确结论为()

A.若PD=3,则满足条件的尸点有且只有一个

B.若PD=也,则点P的轨迹是一段圆弧

C.若尸。〃平面/。耳，则。尸长的最小值为2

D.若尸0〃平面zcq,且尸。=6,则平面80尸截正四棱柱的外接

97r

球所得平面图形的面积为一

4

【正确答案】ABD

【分析】

若PD=3,由于P与四重合时PD=3,此时尸点唯一；PQ=JJe(l,3),则尸A=J5,

即点尸的轨迹是一段圆弧；当P为4G中点时，OP有最小值为=JL可判断C；平面3DP

3

截正四棱柱/BCD-的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为=：,可

得D

【详解】如图：

•.•正四棱柱力—的底面边长为2,

A5,£>,=2A/2,又侧棱44=1，

二。4=+F=3,则尸与片重合时尸0=3,此时尸点唯一，故力正确；

•；尸。=66（1,3）,DD,=1,则PR=y[2,即点P的轨迹是一段圆弧，故8正确；

连接。4，DC,,可得平面40G〃平面4c4,则当P为4G中点时，。尸有最小值为

+F=>/3>故c错误；

由C知，平面8。尸即为平面,平面6。尸截正四棱柱488—44GA的外接球

所得平面图形为外接球的大圆，其半径为LJF百百7=3,面积为包，故。正确.

224

故选：ABD.

本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，

属于较难题.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.已知z=1+31,则z.5"=.

2+i----------

【正确答案】2

【分析】根据复数的除法可求得z,即可得W=l-i，结合复数的乘法即可得答案.

【详解】由题意得z=9=9^退二D=i+i,故』=i_i，

2+i5

所以z•彳=(l+i)(l—i)=2,

故2

11

14.已知a=(2,3),6=(-2,4),向量Z在B上的投影向量的坐标是.

48

【正确答案】

555

【分析】直接根据投影向量的公式计算即可.

【详解】Q。=(2,3),6=(-2,4),

.•.［「=-4+12=8,同=14+16=2后

a-hZ)_8(-2,4)

向量Z在否上的投影向量的坐标为X

w/一而275

48

故答案为.

555

15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,

我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径48两点间的距离，现

在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CO=35m,NADB=135°，NBDC=NDCA=15°，

N4C8=120°，则/、8两点的距离为m.

【正确答案】35#)

【分析】根据已知的边和角，在△8CO中，由正弦定理解得6。，在中，由余弦

定理得

【详解】因为N/Z)8=135°，NBDC=NDG4=15°，所以ZADC=150^.

ZDAC=ZDCA=15a-所以CD=35,

又因为NJC6=120°，所以N8C0=135°，NC80=3O"，

BD35

在△8CO中，由正弦定理得----------=.工2即0一1,解得&>=35、份，

sinABCDsinACBD--

22

在AABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cosZADB，

所以/炉=352+(35后了—2x35x35VIx1—苧，解得48=35指m.

故35遍

16.棱长为2的正方体Z8CZ)-《MG"中，"是棱44的中点，过C、M,"作正方

体的截面，则截面的面积是

【分析】连接48,设截面交棱Z5于点N,连接A/N、CN,利用面面平行的性质分析

可知点N为Z8的中点，且四边形为等腰梯形，计算出该四边形的各边长及高，

利用梯形的面积公式可求得截面的面积.

【详解】连接设截面交棱于点N,连接MN、CN,

D,

在正方体ABCD-481GA中，3〃BC且&。,

则四边形48c2为平行四边形，所以，ABHCD\,

因为平面AA[B]B〃平面CCRD,平面CMD]A平面AAlBlB=MN,

平面CMD[A平面CCRD=CD],所以，MNUCD,,则MNHAyB,

为44的中点，则N为28的中点，

由勾股定理可得MN=NAM?+AN。=6，D[M=CN=4i,CR=2j5,

所以，四边形CRMN为等腰梯形，

过点M、N分别在平面内作板_LCR、NFLCD,,垂足分别为点£、F，

由等腰梯形的性质可得/NCF=4MD、E,CN=D.M,

又因为NCFM=N〃£M=90°,所以，△C/W丝△〃瓦0,所以，CF=D、E,

因为MN//EF,ME工EF,NF工EF,则四边形MNFE为矩形，所以，EF=MN=6，

所以，CF=RE=CD「MN=变,则刖=卜2-CF,=逑，

1222

甘谢诋中^（EF+CD）-NF9

因此，截面面积为^------------------=-.

22

9

故答案为.一

2

方法点睛：作截面的常用三种方法：

(1)直接法：截面的定点在几何体的棱上；

(2)平行线法；截面与几何体的两个平行平交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面

平行；

(3)延长交线得交点：截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.)

17.在复平面内4B,C的对应的复数分别为—l+

(1)求福痈就；

(2)判定Z8C的形状.

【正确答案】(1)AB=(-1,-1),AC=(—2,2)>BC=(—1,3)

(2)直角三角形

【分析】(1)利用复数的几何意义得到点4B,C的坐标，再根据向量的定义与坐标表示

即可解决问题；

(2)观察(1)中的向量坐标，发现次•次=0,故可判定Z6c的形状.

【小问1详解】

根据复数的几何意义，得8(0,—1),C(-l,2),

所以懑=(O,T)-同理：就=(-2,2),SC=(-1,3).

【小问2详解】

由(1)得而-％=Tx(-2)+(-1)x2=。，

故而_L就，所以/8C为直角三角形.

18.已知平面向量2,B满足a=(加+1,3)，加=(3,-2),其中加eR.

(1)若求实数机的值

（2）若Z_L九若Z+B与£一2否夹角的余弦值

【正确答案】（1）m=~—

2

⑵噜

【分析】（1）根据向量平行的坐标关系即得；

（2）根据向量垂直的坐标表示可得机=1,然后利用向量夹角的坐标公式即得.

【小问1详解】

因为a=（m+l,3），b—（3,-2）,又4〃否，

所以一2（〃?+l）-3x3=0,

解得m=--；

2

【小问2详解】

因为a，

所以a=3(加+l)-2x3=0，解得〃z=l,

所以a=(2,3),a+书=(5,1)

所以，a-2d=(2,3)-2(3,-2)=(-4,7),

所以a+b=J5?+F=,|a-2/)|=+72=>/65,

u-/-7-42%)-4x5+lx7V10

所以COS(4+b,"2b)=-p-=r-p———j=~T^=------.

'/卜+斗卜-叫V26xV6510

19.如图，在棱长为2的正方体Z8CD—44GA中，E为44的中点，尸为ZE的中点.

（1）求证：CE//平面BDF:

（2）求三棱锥E-BOE的体积.

【正确答案】（1）证明见解析

【分析】（1）利用中位线的性质、线面平行的判定定理即可证明；（2）利用等体积法求解即可.

【小问1详解】

如图，连接/C交8。于点。，再连接。尸,

在中，。为/C中点，/为NE的中，所以OF//CE,

且CEZ平面8。口，O7;^u平面8Z»;^,所以CE//平面6。/;^.

【小问2详解】

因为该几何体为正方体，所以点。到平面48玛4的距离等于4。，

所以点。到平面BEF的距离等于AD,

根据等体积法可知VE-BDF=VD-BEF=gxS&BEFxAD=；x；xEFxABxAD=；.

20.在48c中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sin28+sin?C-sin5sinC=sin2A-

（1）求角A的大小；

（2）若b+c=26,a=W＞，求/8C的面积.

【正确答案】（1）/=g

（2）

4

【分析】（1）由正弦定理结合和余弦定理求解即可;

(2)由余弦定理结合三角形的面积公式求解即可.

【小问1详解】

*•*sin2B+sin2C-sin5sinC=sin2A，，由正弦定理得：b2+c2-bc=a2»

・••由余弦定理得：cosA=+——="—J,,

2bc2bc2

*：G(0,7l),：.A

【小问2详解】

由第一问可知：=y>又6+c=,

由余弦定理得：cosN=加"2二2=e+c)2—2bc—Y=12-2历—3=L

2bc2hc2hc2

解得：be=3,由三角形面积公式可得.S,B「=Lbcsin/=』x3x"=X5

ABC2224

21.如图，在三棱柱中，E,F,G,H分别是N8,AC,A\B\,/iG的中点.求

(1)B,C,H,G四点共面；

(2)平面£7%//平面BC77G

【正确答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)利用中位线定理与空间平行线的传递性，推得G/7//8C,由此得证：

(2)利用线面平行的判定定理证得EF//平面BCHG,A1E//平面BCHG,从而利用面面平行

的判定定理即可得证.

【小问1详解】

,:G,”分别是/山I,4G的中点

...GH是△Z4G的中位线，GHUB\C\,

又在三棱柱4BC—48。中，B\C\〃BC,：.GH//BC,

：.B,C,H,G四点共面.

【小问2详解】

■:E,尸分别为45,ZC的中点,

：.EF//BC,

EF<Z平面BCHG,8Cu平面BCHG,

.♦.£7=7/平面BCHG,

•.,在三棱柱Z8C-48C1中，A'BJ/AB,A}Bt=AB,

'.A\G//EB,A.G=—A.B.=—AB=EB,

12112

四边形4EBG是平行四边形，.•.小E//G8,

AXE（Z平面BC