八年级数学下册同步练习 第03课 二次根式的加减（原卷版+解析）

第03课二次根式的加减目标导航目标导航课程标准1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.知识精讲知识精讲知识点01整式知识点回顾1、同类项：所含字母，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，例如3ab与-4ab2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的，且字母部分。3、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。4、平方差公式：(a+b)(a-b)=完全平方公式(a±b)2=5、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(a+b)(m+n)=知识点02同类二次根式将二次根式化成，如果被开方数，则这样的二次根式可以合并。合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数(式)，根指数和被开方数，合并的依据是乘法分配律，如注意：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成，再看是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与及有关，而与根号外的因式.(3)互为同类二次根式，即表示两个或者多个二次根式可以合并；知识点03二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成，再将被开方数的二次根式进行合并。二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下：(1)将各个二次根式化成最简二次根式；(2)找出化简后被开方数相同的二次根式；(3)合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：化简→判断→合并。二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下：运算二次根式的乘除法二次根式的加减法系数系数相系数相被开方数被开方数相被开方数化简结果化成最简二次根式先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式注：(1)化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分；(2)整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用；(3)根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化成的形式。知识点04二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的(或先去掉括号)。在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。能力拓展能力拓展考法01同类二次根式的定义【典例1】下列各式，化简后能与合并的是()A． B． C． D．【即学即练】如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为()A．2 B．3 C．4 D．5【即学即练】若最简二次根式与的被开方数相同,则a的值为()A．- B． C．1 D．-1考法02二次根式混合运算法则【典例2】下列计算结果正确的是()A．＋＝ B．3－＝3C．×＝ D．＝5【即学即练】下列运算正确的是(

)A．+= B．3﹣2=1C．2+=2 D．a﹣b=(a﹣b)【即学即练】下列运算中错误的是()A． B． C． D．【典例3】计算()A．7 B．-5 C．5 D．-7【典例4】计算的结果是()A． B． C． D．考法03分母有理化【典例5】已知：a＝，b＝，则a与b的关系是()A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2【即学即练】的值是()A． B． C．1 D．考法04二次根式与乘法公式【典例6】已知，则代数式的值是(

)A． B． C．1 D．2【即学即练】已知x=+1,y=-1,则的值为()A．20 B．16 C．2 D．4【即学即练】已知a＝＋2，b＝－2，求下列代数式的值：(1)a2b＋b2a；(2)a2－b2.【即学即练】已知x＝，y＝，求的值．考法05二次根式混合计算【典例7】计算(1)()2﹣(﹣)()(2)()﹣(﹣)【即学即练】化简求值：(1)-×+；(2)．【即学即练】计算：(.分层提分分层提分题组A基础过关练1．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是()A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－22．下列运算正确的是()A．+= B．=4 C．=2× D．=﹣23．下列运算正确的是()A． B．C． D．4．下列计算中，正确的是()A． B．C． D．5．式子的倒数是()A． B． C． D．6．若+(a﹣4)2＝0，则化简的结果是()A． B．± C． D．±7．比较的大小，正确的是()A． B．C． D．8．下列计算：①()2＝2，②＝﹣2，③(﹣2)2＝12，④＝2，⑤，⑥＝﹣1，其中结果正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．49．计算：(3－2)2020(3＋2)2021的结果是()A．3－2 B．3＋2 C．1 D．2021题组B能力提升练1．与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____．2．计算：______．3．计算=________________.4．当x=2+时，式子x2﹣4x+2017=________．5．化简的结果为_____．6．已知x=+1，y=-1，则x2+xy+y2=_____．7．已知，，则的值是______．8．若+=+，=-，则x+y=_______．9．观察下列运算过程：……请运用上面的运算方法计算：=_____．题组C培优拔尖练1．计算：(1)÷－×÷；(2)×＋；(3)－÷×；(4)(3＋－4)÷；(5).2．已知x=2﹣，求代数式(7+4)x2+(2+)x+的值．3．计算(＋)÷(＋－)(a≠b)．4．(1)观察下列各式的特点：，，，，…根据以上规律可知：_____(填“＞”“＜”或“＝”)．(2)观察下列式子的化简过程：，，，…根据观察，请写出式子(n≥2)的化简过程．(3)根据上面(1)(2)得出的规律计算下面的算式：.第03课二次根式的加减目标导航目标导航课程标准1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.知识精讲知识精讲知识点01整式知识点回顾1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，例如3ab与-4ab2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母部分不变。3、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。4、平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b25、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn知识点02同类二次根式将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数(式)相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如注意：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.(3)互为同类二次根式，即表示两个或者多个二次根式可以合并；知识点03二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下：(1)将各个二次根式化成最简二次根式；(2)找出化简后被开方数相同的二次根式；(3)合并被开方数相同的二次根式—将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：化简→判断→合并。二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下：运算二次根式的乘除法二次根式的加减法系数系数相乘除系数相加减被开方数被开方数相乘除被开方数不变化简结果化成最简二次根式先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式注：(1)化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分；(2)整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用；(3)根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式。知识点04二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的(或先去掉括号)。在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。能力拓展能力拓展考法01同类二次根式的定义【典例1】下列各式，化简后能与合并的是()A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案．【详解】解：与是同类二次根式即可合并，由于=2，2与是同类二次根式，∴2与可以合并，故选C．【点睛】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式，本题属于基础题型．【即学即练】如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．【详解】根据题意得，3a-8=17-2a，移项合并，得5a=25，系数化为1，得a=5．故选D．【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．【即学即练】若最简二次根式与的被开方数相同,则a的值为()A．- B． C．1 D．-1【答案】C【分析】根据最简二次根式的定义可知=，解出a即可.【详解】依题意=，解得a=1，选C.【点睛】此题主要考查最简二次根式的定义，解题的关键是找到被开方数相等.考法02二次根式混合运算法则【典例2】下列计算结果正确的是()A．＋＝ B．3－＝3C．×＝ D．＝5【答案】C【详解】选项A.不能计算.A错误.选项B.,B错误.选项C.,正确.选项D.,D错误.故选C.【即学即练】下列运算正确的是(

)A．+= B．3﹣2=1C．2+=2 D．a﹣b=(a﹣b)【答案】D【详解】利用二次根式的加减法计算，可知：A、+不能合并，此选项错误；B、3﹣2=，此选项错误；C、2+不能合并，此选项错误；D、a﹣b=(a﹣b)，此选项正确．故选D．【即学即练】下列运算中错误的是()A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：根据二次根式的运算法则分别判断即可：A、和不是同类根式，不可合并，故此选项运算错误，符合题意；B、，故此选项运算正确，不合题意；C、，故此选项运算故此选项运算正确，不合题意；D、，故此选项运算正确，不合题意．故选A．考点：二次根式的运算.【典例3】计算()A．7 B．-5 C．5 D．-7【答案】C【分析】利用最简二次根式的运算即可得.【详解】故答案为C【点睛】本题考查二次根式的运算，掌握同类二次根式的运算法则及分母有理化是解题的关键.【典例4】计算的结果是()A． B． C． D．【答案】B【分析】原式利用积的乘方变形为，再利用平方差公式计算，从而得出答案．【详解】====故选B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．考法03分母有理化【典例5】已知：a＝，b＝，则a与b的关系是()A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2【答案】C【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值，即可得出选项．【详解】解：分母有理化，可得a=2+，b=2-，∴a-b=(2+)-(2-)=2，故A选项错误，不符合题意；a+b=(2+)+(2-)=4，故B选项错误，不符合题意；ab=(2+)×(2-)=4-3=1，故C选项正确，符合题意；∵a2=(2+)2=4+4+3=7+4，b2=(2-)2=4-4+3=7-4，∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．【即学即练】的值是()A． B． C．1 D．【答案】B【解析】【分析】先分解，再分母有理化，最后算乘法，最后合并即可．【详解】原式=，=，=1-，=，=，=.故选B.【点睛】此题考查二次根式的化简求值，关键是审清题意，找准规律答题．考法04二次根式与乘法公式【典例6】已知，则代数式的值是(

)A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据x的值和完全平方公式可以解答本题．【详解】∵x＝−1，∴x2＋2x＋1＝(x＋1)2＝(−1＋1)2＝()2＝2，故选D．【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式的化简求值的方法．【即学即练】已知x=+1,y=-1,则的值为()A．20 B．16 C．2 D．4【答案】A【分析】原式利用完全平方公式化简，将x与y的值代入计算即可求出值．【详解】当x=+1，y=-1时，x2+2xy+y2=(x+y)2=(+1+-1)2=(2)2=20，故选A．【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【即学即练】已知a＝＋2，b＝－2，求下列代数式的值：(1)a2b＋b2a；(2)a2－b2.【答案】(1)6(2)8【详解】试题分析：(1)提公因式分解因式，然后代入数值进行计算即可得；(2)利用平方差进行因式分解后，把数值代入进行计算即可得.(1)原式＝ab(b＋a)．当a＝＋2，b＝－2时，原式＝6；(2)原式＝(a＋b)(a－b)．当a＝＋2，b＝－2时，原式＝8.【即学即练】已知x＝，y＝，求的值．【答案】30【解析】试题分析：先求出xy与x+y的值，再根据分式的加减法则进行计算即可；试题解析：∵x=，y=，

∴xy=×=1，x+y=+=3+2+3-2=6，所以原式＝-4

=36-2-4

=30.考法05二次根式混合计算【典例7】计算(1)()2﹣(﹣)()(2)()﹣(﹣)【答案】(1)4+6(2)5-【解析】【分析】(1)根据二次根式的运算法则计算即可.(2)根据二次根式的运算法则计算即可.【详解】(1)原式=2+4+6﹣(5﹣3)=2+4+6﹣2=4+6.(2)原式=2﹣﹣+3=5﹣.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键.【即学即练】化简求值：(1)-×+；(2)．【答案】(1)；(2)16-6．【解析】分析：(1)根据二次根式的性质，化简各二次根式，然后合并同类二次根式即可；(2)利用完全平方公式和平方差公式化简，然后合并即可.详解：(1)－×＋=3-+=3-2+=(2)=5-6+9+11-9=16-6.点睛：此题主要考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质，乘法公式进行计算，关键是利用二次根式的性质化简和最简二次根式的、同类二次根式的确定.【即学即练】计算：(.【答案】7-2【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算即可．【详解】原式＝＝7﹣2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．分层提分分层提分题组A基础过关练1．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是()A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－2【答案】A【分析】两个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则称它们是同类二次根式，根据此定义即可得到关于a的方程，从而可求得a的值．【详解】∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式∴a+1=2a解得：a=1故选：A【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的概念是关键．2．下列运算正确的是()A．+= B．=4 C．=2× D．=﹣2【答案】C【分析】根据同类二次根式的定义，以及二次根式的性质逐项分析即可．【详解】A.与不是同类二次根式，不能合并，故不正确；B.=2，故不正确；C.=2，正确；D.=2，故不正确；故选C．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，以及二次根式的性质，化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．熟练掌握，是解答本题的关键．3．下列运算正确的是()A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【详解】解：A．和不是最简同类二次根式，不能合并，所以A选项不符合题意；

B．=，所以B选项不符合题意；

C．，所以C选项不符合题意；

D．，所以D选项符合题意．

故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．4．下列计算中，正确的是()A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的性质和二次根式的混合运算计算即可得出答案．【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；

B、，此选项错误，不符合题意；

C、，此选项正确，符合题意；

D、，此选项错误，不符合题意；

故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．5．式子的倒数是()A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次根式分母有理化的方法进行化简即可．【详解】解：的倒数是，故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，解题关键是熟练运用二次根式性质进行分母有理化．6．若+(a﹣4)2＝0，则化简的结果是()A． B．± C． D．±【答案】A【分析】先根据算术平方根的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，再代入化简二次根式即可得．【详解】由算术平方根的非负性、偶次方的非负性得：，解得，则，故选：A．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性、偶次方的非负性、化简二次根式，熟练掌握算术平方根和偶次方的非负性是解题关键．7．比较的大小，正确的是()A． B．C． D．【答案】A【分析】将根号外边的数移入到根号里面可进行大小比较．【详解】解：，，即：；故选：A．【点睛】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小．8．下列计算：①()2＝2，②＝﹣2，③(﹣2)2＝12，④＝2，⑤，⑥＝﹣1，其中结果正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】解：①()2＝2，故①正确．②＝2，故②错误．③(﹣2)2＝12，故③正确．④，故④错误．⑤与不是同类二次根式，故⑤错误，⑥()()＝2﹣3＝﹣1，故⑥正确．故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．9．计算：(3－2)2020(3＋2)2021的结果是()A．3－2 B．3＋2 C．1 D．2021【答案】B【分析】先根据积的乘方得到原式=(3－2)2020×(3＋2)2020×(3＋2)=[(3－2)×(3＋2)]2020×(3＋2)，然后利用平方差公式计算．【详解】解,原式=(3－2)2020×(3＋2)2020×(3＋2)=[(3－2)×(3＋2)]2020×(3＋2)=(9-8)2020×(3＋2)=3＋2故答案为:B【点睛】本题考查了积的乘方，平方差公式，二次根式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力．题组B能力提升练1．与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____．【答案】2【详解】分析：先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．详解：∵与最简二次根式5是同类二次根式，且=2，∴a+1=3，解得：a=2．故答案为2．点睛：本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．2．计算：______．【答案】【分析】把两个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的减法运算，关键是把算式中的二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．3．计算=________________.【答案】【解析】=，故答案为.4．当x=2+时，式子x2﹣4x+2017=________．【答案】2016【详解】把所求的式子化成(x﹣2)2+2013然后代入式子计算，即可得到：x2﹣4x+2017=(x﹣2)2+2013=()2+2013=3+2013=2016．故答案是：2016．点睛：此题主要考查了配方法的应用，解题关键是把式子配成完全平方，然后整体代入即可求解，考查了学生对整体思想的认识和应用，学生对整体思想不熟时出错的主要原因.5．化简的结果为_____．【答案】+1【分析】利用积的乘方得到原式＝[(﹣1)(+1)]2017•(+1)，然后利用平方差公式计算．【详解】原式＝[(﹣1)(+1)]2017•(+1)＝(2﹣1)2017•(+1)＝+1．故答案为+1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．6．已知x=+1，y=-1，则x2+xy+y2=_____．【答案】10【详解】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=(x+y)2﹣xy=(2)2﹣(+1)(﹣1)=12﹣2=10．故答案为10．7．已知，，则的值是______．【答案】．【分析】先对a、b分母有理化，然后将因式分解，最后将a、b的值代入计算即可．【详解】解：∵，，∴．故填：．【点睛】本题主要考查了分母有理化以及因式分解的应用，正确的对a、b因式分解是解答本题的关键．8．若+=+，=-，则x+y=_______．【答案】8+2【详解】根据配方法，由完全平方公式可知x+y==()2-2，然后把+=+，=-整体代入可得原式=(+)2-2(-)=5+3+2-2+