人教版七年级数学上册同步压轴题专题08线段上动点问题的三种考法(学生版+解析)

专题08线段上动点问题的三种考法类型一、求值问题例.数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n，点C在B的右侧，．(1)如图1，若多项式是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：(2)如图2，在(1)的条件下，长度为1的线段(E在F的左侧)在A，B之间沿数轴水平滑动(不与A，B重合)，点M是的中点，N是的中点，在滑动过程中，线段的长度是否发生变化，请判断并说明理由；(3)若点D是的中点．①直接写出点D表示的数____________(用含m，n的式子表示)；②若，试求线段的长．【变式训练1】如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．(1)线段的中点__这条线段的“巧点”；(填“是”或“不是”)；(2)如图2，已知AB＝15cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t(s)，当t＝__s时，Q为A，P的“巧点”．【变式训练2】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．【变式训练3】如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．类型二、证明定值问题例.如图，已知线段，，线段在直线上运动(点在点的左侧，点在点的左侧)，若．(1)求线段，的长；(2)若点，分别为线段，的中点，，求线段的长；(3)当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．【变式训练1】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动(A在B的左侧，C在D的左侧)，且m，n满足|m－12|＋(n－4)2＝0.(1)m＝，n＝；(2)点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【变式训练2】如图，数轴上点，表示的有理数分别为，3，点是射线上的一个动点(不与点，重合)，是线段靠近点的三等分点，是线段靠近点的三等分点．(1)若点表示的有理数是0，那么的长为________；若点表示的有理数是6，那么的长为________；(2)点在射线上运动(不与点，重合)的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由．【变式训练3】(1)如图1，在直线上，点在、两点之间，点为线段PB的中点，点为线段的中点，若，且使关于的方程无解.①求线段的长；②线段的长与点在线段上的位置有关吗？请说明理由；(2)如图2，点为线段的中点，点在线段的延长线上，试说明的值不变.类型三、数量关系例.数轴上两点对应的数分别是，线段在数轴上运动，点在点的左边，且点是的中点．(1)如图1，当线段运动到点均在之间时，若，则_________，点对应的数为________，________；(2)如图2，当线段运动到点在之间时，画出草图并求与的数量关系．【变式训练1】如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB．(1)请根据题意将图形补充完整．直接写出＝_______；(2)设AB＝9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．①当点D在线段AB上运动，求的值；②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．【变式训练2】已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，(1)若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；(2)若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝．课后作业1.已知有理数a，b，c在数轴上对应的点从左到右顺次为A，B，C，其中b是最小的正整数，a在最大的负整数左侧1个单位长度，BC=2AB．(1)填空：a=，b=，c=(2)点D从点A开始，点E从点B开始，点F从点C开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F追上点D时停止动，设运动时间为t秒．试问：①当三点开始运动以后，t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？②F在追上E点前，是否存在常数k，使得的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由．2．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．(1)如图1，当为中点时，求的长；(2)点(异于，，点)在线段上，，，求的长．3.已知线段AB，点C在直线AB上，D为线段BC的中点．(1)若，，求线段CD的长．(2)若点E是线段AC的中点，请写出线段DE和AB的数量关系并说明理由．4.已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．5．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止．(1)________，________，________．(2)点从点离开后，在点第二次到达点的过程中，经过秒钟，，求的值．(3)点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值．6．七(1)班的学习小组学习“线段中点”内容时，得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考.(1)发现：如图1，线段，点在线段上，当点是线段和线段的中点时，线段的长为_________；若点在线段的延长线上，其他条件不变(请在图2中按题目要求将图补充完整)，得到的线段与线段之间的数量关系为_________.(2)应用：如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳，其左右两端各有一段(和)磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求.已知磨损的麻绳总长度不足20米.小明认为只利用麻绳和一把剪刀(剪刀只用于剪断麻绳)就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳.小明所在学习小组认为此法可行，于是他们应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳，请你尝试着“复原”他们的做法：①在图中标出点、点的位置，并简述画图方法；②请说明①题中所标示点的理由.7．问题背景整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．(1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数为(直接写出答案)．(2)当x＝1时，代数式a+bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式a+bx+2021的值．(3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求的值；②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动过程中，点P、Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时的值．8．已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)(1)若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝，DM＝；(直接填空)(2)当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．(3)若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝(填空)(4)在(3)的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．9．如图，数轴正半轴上的，两点分别表示有理数，，为原点，若，线段.(1)______，______；(2)若点从点出发，以每秒2个单位长度向轴正半轴运动，求运动时间为多少时；点到点的距离是点到点距离的3倍；(3)数轴上还有一点表示的数为32，若点和点同时从点和点出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点，求点和点运动多少秒时，、两点之间的距离为4.10．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为－3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．(1)如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是______；(2)数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．(3)如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等.(直接写出答案)11．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动(C在线段AP上，D在线段BP上)(1)若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：(2)在(1)的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．(3)在(1)的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动(D点在线段PB上)，M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．专题08线段上动点问题的三种考法类型一、求值问题例.数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n，点C在B的右侧，．(1)如图1，若多项式是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：(2)如图2，在(1)的条件下，长度为1的线段(E在F的左侧)在A，B之间沿数轴水平滑动(不与A，B重合)，点M是的中点，N是的中点，在滑动过程中，线段的长度是否发生变化，请判断并说明理由；(3)若点D是的中点．①直接写出点D表示的数____________(用含m，n的式子表示)；②若，试求线段的长．【答案】(1)，；(2)不变化，理由见解析；(3)①；②【解析】(1)解：由题可知，n-1=0，7+m=2，∴，故答案为：，(2)解：MN的长不发生变化，理由如下：由题意，得点C表示的数为3，设点E表示的数为x，则点F表示的数为∴，，，，，，∵点M是的中点，N是的中点∴，，即(3)解：①∵A，B表示的数分别为m，n又点C在B的右侧，∴AB=n-m∵，∴AC=n-m+2∵点D是的中点，∴AD=AC=(n-m+2)∴D表示的数为：m+(n-m+2)=②依题意，点C表示的数分别为∴，∴，∵，即当时．，∵，∴不符合题意，舍去当时．，综上所述，线段的长为.【变式训练1】如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．(1)线段的中点__这条线段的“巧点”；(填“是”或“不是”)；(2)如图2，已知AB＝15cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t(s)，当t＝__s时，Q为A，P的“巧点”．【答案】是7.5或【解析】(1)若线段中点为C点，AB＝2AC，所以中点是这条线段“巧点”(2)设A点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t秒；t最大＝7.5，A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t，①Q为AP中点，，∴t＝7.5；②AQ＝2PQ，AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t，PQ＝2t﹣(15﹣t)＝3t﹣15，∵AQ＝2PQ，∴15﹣t＝2(3t﹣15)，∴；③PQ＝2AQ，得3t﹣15＝2(15﹣t)，∴t＝97.5(舍去)．综上所述：t＝7.5或．故答案为：(1)是；(2)7.5或．【变式训练2】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)或【解析】(1)解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．(2)解：设运动时间为t，则CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=BM故答案为：．(3)解：由(2)可得：∵BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝AB，①当点N在线段AB上时，如图∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝AB，∴MN＝AB，即=．②当点N在线段AB的延长线上时，如图∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB，∴=1,即=．综上所述＝或【变式训练3】如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．【答案】1或【解析】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m

则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，

∴AC=-t-a，OD=b-4t，

由OD=4AC得，b-4t=4(-t-a)，即：b=-4a，

①若点M在点B的右侧时，如图1所示：

由AM-BM=OM得，m-a-(m-b)=m，即：m=b-a；

∴

②若点M在线段BO上时，如图2所示：

由AM-BM=OM得，m-a-(b-m)=m，即：m=a+b；

∴

③若点M在线段OA上时，如图3所示：

由AM-BM=OM得，m-a-(b-m)=-m，即：

∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去；

④若点M在点A的左侧时，如图4所示：

由AM-BM=OM得，a-m-(b-m)=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，

因此，不符合题意舍去，

综上所述，的值为1或．类型二、证明定值问题例.如图，已知线段，，线段在直线上运动(点在点的左侧，点在点的左侧)，若．(1)求线段，的长；(2)若点，分别为线段，的中点，，求线段的长；(3)当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．【答案】(1)，；(2)9；(3)②正确，，见解析【解析】(1)由，，，得，，所以，；(2)当点在点的右侧时，如图，因为点，分别为线段，的中点，，所以，，又因为，所以，当点在点的左侧时，如图，因为点，分别为线段，的中点，所以，，所以所以．综上，线段的长为9；(3)②正确，且．理由如下：因为点与点重合，所以，所以，所以，所以．

【变式训练1】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动(A在B的左侧，C在D的左侧)，且m，n满足|m－12|＋(n－4)2＝0.(1)m＝，n＝；(2)点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】(1)∵|m－12|＋(n－4)2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．(2)由题意，①∵AB=12，CD=4，∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，∴AM=CM=AC，DN=BN=BD∴MN=CM+CD+DN=AC+CD+BD=AC+CD+BD+CD=(AC+CD+BD)+CD=(AB+CD)=8；②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，依题意有：，解得：a=2，在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，∵E是线段BC的中点，∴CE=BE=BC=2+t；Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0，∴FC-5DE=0；Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时FC=10-5t，DE=BE-BD=2+t-2t=2-t，∴FC-5DE=10-5t-5(2-t)=0；Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时FC=5t-10，DE=BD-BE=2t–(2+t)=t-2，∴FC-5DE=5t-10-5(t-2)=0；综合上述：在整个运动的过程中，FC5DE的值为定值，且定值为0．【变式训练2】如图，数轴上点，表示的有理数分别为，3，点是射线上的一个动点(不与点，重合)，是线段靠近点的三等分点，是线段靠近点的三等分点．(1)若点表示的有理数是0，那么的长为________；若点表示的有理数是6，那么的长为________；(2)点在射线上运动(不与点，重合)的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由．【答案】(1)6；6；(2)不发生改变，MN为定值6，过程见解析【详解】解：(1)若点P表示的有理数是0(如图1)，则AP=6，BP=3．∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=AP=4，NP=BP=2，∴MN=MP+NP=6；若点P表示的有理数是6(如图2)，则AP=12，BP=3．∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=AP=8，NP=BP=2，∴MN=MP-NP=6．故答案为：6；6．(2)MN的长不会发生改变，理由如下：设点P表示的有理数是a(a＞-6且a≠3)．当-6＜a＜3时(如图1)，AP=a+6，BP=3-a．∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=AP=(a+6)，NP=BP=(3-a)，∴MN=MP+NP=6；当a＞3时(如图2)，AP=a+6，BP=a-3．∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=AP=(a+6)，NP=BP=(a-3)，∴MN=MP-NP=6．综上所述：点P在射线AB上运动(不与点A，B重合)的过程中，MN的长为定值6．【变式训练3】(1)如图1，在直线上，点在、两点之间，点为线段PB的中点，点为线段的中点，若，且使关于的方程无解.①求线段的长；②线段的长与点在线段上的位置有关吗？请说明理由；(2)如图2，点为线段的中点，点在线段的延长线上，试说明的值不变.【答案】(1)①AB=4；②线段的长与点在线段上的位置无关，理由见解析；(2)见解析.【详解】解：(1)①∵关于的方程无解．∴=0，解得：n=4．故AB=4．②线段的长与点在线段上的位置无关，理由如下：∵M为线段PB的中点，∴PM=PB．同理：PN=AP．．∴MN=PN+PM=(PB+AP)=AB=×4=2．∴线段MN的长与点P在线段AB上的位置无关．(2)设AB=a，BP=b，则PA+PB=a+b+b=a+2b．∵C是AB的中点，，，所以的值不变.类型三、数量关系例.数轴上两点对应的数分别是，线段在数轴上运动，点在点的左边，且点是的中点．(1)如图1，当线段运动到点均在之间时，若，则_________，点对应的数为________，________；(2)如图2，当线段运动到点在之间时，画出草图并求与的数量关系．【答案】(1)；2；2；(2)，画图见解析．【解析】(1)数轴上两点对应的数分别是，点是的中点，，，，对应的数是2，故答案为：；2；2；(2)，点是的中点，，故答案为：(1)；2；2；(2)，画图见解析．【变式训练1】如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB．(1)请根据题意将图形补充完整．直接写出＝_______；(2)设AB＝9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．①当点D在线段AB上运动，求的值；②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．【答案】(1)，(2)3，(3)12cm或24cm．【详解】解：(1)图形补充完整如图，∵CB＝AB，∴CA＝，，故答案为：；(2)①AB＝9cm，由(1)得，(cm)，设运动的时间为t秒，cm，cm，，②当时，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，cm，运动时间为：18÷3=6(秒)，则cm，cm，cm，∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴cm，cm，cm，当时，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，运动时间为：36÷3=12(秒)，则cm，cm，cm，∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴cm，cm，cm，综上，MN的长是12cm或24cm．【变式训练2】已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，(1)若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；(2)若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝．【答案】(1)①AD＝7；②AD＝或；(2)或【详解】解：(1)∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，①∵E为BC中点，∴CE＝3，∵DE＝8，∴CD＝5，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，∴CE＝DE＝或CE＝DE＝，∴CD＝或CD＝，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣＝或12-=；(2)当点E在线段BC之间时，如图，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，∵，∴，∴y＝x，∴CD＝1.5x﹣x＝x，∴；当点E在点A的左侧，如图，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，∵，BE＝EC+BC＝x+y，∴，∴y＝4x，∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，∴，当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，综上所述的值为或．故答案为：或．课后作业1.已知有理数a，b，c在数轴上对应的点从左到右顺次为A，B，C，其中b是最小的正整数，a在最大的负整数左侧1个单位长度，BC=2AB．(1)填空：a=，b=，c=(2)点D从点A开始，点E从点B开始，点F从点C开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F追上点D时停止动，设运动时间为t秒．试问：①当三点开始运动以后，t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？②F在追上E点前，是否存在常数k，使得的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)-2，1，7；(2)①t=1或t=；②k=-1【解析】(1)∵最小正数为1．最大的负整数为小-1，a在最大的负整数左侧1个单位长度∴点A表示的数a为-1-1=-2，点B表示的数b为1，∴AB=1-(-2)=3∵，∴点C表示的数为c=1+6=7，故答案为：-2，1，7；(2)①依题意，点F的运动距离为4t，点D、E运动的距离为t,∴点D、E、F分别表示的数为-2-t，1-t，7-4t,当点F追上点D时，必将超过点B，∴存在两种情况，即DE=EF和DF=EF，如图，当DE=EF，即E为DF的中点时，，解得，t=1，如图，当EF=DF，即F为DE中点时，，解得t=，综上所述，当ｔ=１秒和ｔ＝时，满足题意．②存在，理由：点D、E、F分别表示的数为-2-t，1-t，7-4t,如图，F在追上E点前，，，，当与t无关时，需满足3+3k=0，即k=-1时，满足条件．故答案为：(1)-2，1，7；(2)①t=1或t=；②k=-12．已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．(1)如图1，当为中点时，求的长；(2)点(异于，，点)在线段上，，，求的长．【答案】(1)7；(2)3或5【解析】(1)，，，，如图1，为中点，，，∴，∴，(2)Ⅰ、当点在点的左侧，如图2，或∵，，点是的中点，∴，∴，∴，∵，故图2(b)这种情况求不出；Ⅱ、如图3，当点在点的右侧，或，，∴，∴，．∵，故图3(b)这种情况求不出；综上所述：的长为3或5．3.已知线段AB，点C在直线AB上，D为线段BC的中点．(1)若，，求线段CD的长．(2)若点E是线段AC的中点，请写出线段DE和AB的数量关系并说明理由．【答案】(1)或5(2)，理由见解析【解析】(1)解：如图1，当C在点A右侧时，∵，，∴，∵D是线段BC的中点，：∴；如图2，当C在点A左侧时，∵，，∴，∵D是线段BC的中点，∴；综上所述，或5；(2)解：．理由是：如图3，当C在点A和点B之间时，∵E是AC的中点，D是BC的中点，∴，，∴；如图4，当C在点A左侧时，同理可得：；如图5，当C在点B右侧时，同理可得：．4.已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)或【解析】(1)解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．(2)解：设运动时间为t，则CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=BM，故答案为：．(3)解：由(2)可得：∵BM＝AB﹣AM，∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝AB，①当点N在线段AB上时，如图∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝AB，∴MN＝AB，即=．②当点N在线段AB的延长线上时，如图∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB，，∴=1,即=．综上所述＝或5．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止．(1)________，________，________．(2)点从点离开后，在点第二次到达点的过程中，经过秒钟，，求的值．(3)点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值．【答案】(1)，，；(2)或或或；(3)，1，，8，12【详解】解：(1)∵是最大的负整数，且，满足，∴b=-1，a+3=0，c-9=0，∴a=-3，c=9．故答案为：-3；-1；9．(2)由题意知，此过程中，当点P在AB上时．∴PA+PB=AB=b-a=-1-(-3)=2．∴．又∵BC=c-b=9-(-1)=10．∴PB=PC-BC=11-10=1．当从到时，如图所示：∵PB=1，可以列方程为：3x=1，解得：x=1；当从到时，分两种情况讨论：①当P在线段AB之间时，如图所示：可以列方程为：3x=3,解得：x=1，②当P在线段BC之间时，如图所示：∵PA+PB+PC=13，AB=2，BC=10，∵PB+PC=10∴PA=13-10=3，∴PB=PA-AB=3-2=1，可列方程为：3x=5，解得：．当从到时，如图所示：可列方程为：3x=23，解得：．综上所述，或或或．(3)当点从为PN中点时，当0<t<时，点P向A运动，．此时，P=-1-3t，M=-3+4t，N=9-5t．(-1-3t)+(9-5t)=2(-3+4t)，解得t=(舍去)．当≤t≤时，点P从A返回向B运动．此时，P=-3+3(t-)=3t-5．3t-5+9-5t=2(-3+4t)，解得t=1．当P为MN中点时，t>．(9-5t)+(-3+4t)=2(3t-5)，解得t=．当点N为PM中点时，t>．(-3+4t)+(3t-5)=2(9-5t),解得t=．综上所述，t的值为1，或．6．七(1)班的学习小组学习“线段中点”内容时，得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考.(1)发现：如图1，线段，点在线段上，当点是线段和线段的中点时，线段的长为_________；若点在线段的延长线上，其他条件不变(请在图2中按题目要求将图补充完整)，得到的线段与线段之间的数量关系为_________.(2)应用：如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳，其左右两端各有一段(和)磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求.已知磨损的麻绳总长度不足20米.小明认为只利用麻绳和一把剪刀(剪刀只用于剪断麻绳)就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳.小明所在学习小组认为此法可行，于是他们应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳，请你尝试着“复原”他们的做法：①在图中标出点、点的位置，并简述画图方法；②请说明①题中所标示点的理由.【答案】(1)6；补图见解析，(2)①见解析(答案不唯一)②见解析.【详解】解：(1)点在线段上时，因为点E是线段AC的中点，所以CE=AC，因为点F是线段BC的中点，所以CF=BC，所以EF=CE+CF=AC+BC=AB，又AB=12，所以EF=6．当点在线段的延长线上时，如图2，此时，EF=EC-FC═AC-BC=AB.答案为：6；EF=AB.(2)①图3如图，在上取一点，使，为的中点，点与点重合.(答案不唯一)②因为为的中点，所以.因为，所以.因为米，所以米.因为米，米，所以米.因为点与点重合，米，所以米，所以点落在线段上.所以满足条件.7．问题背景整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．(1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数为(直接写出答案)．(2)当x＝1时，代数式a+bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式a+bx+2021的值．(3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求的值；②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动过程中，点P、Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时的值．【答案】(1)90°；(2)2022；(3)①；②或【解析】(1)解：如图1，∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠DOC=∠AOC，∠COE=∠BOC，∵∠DOE=∠DOC+∠COE，∴∠DOE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠DOE=×180°=90°，故答案为：90°．(2)∵当x＝1时，代数式a+bx+2021的值为2020，∴a+b+2021=2020，∴a+b=-1，∴-a-b=1，当x＝﹣1时，a+bx+2021=-a-b+2021=1+2021=2022．(3)①如图2，设点D运动的路程为x，则点E运动的路程为3x，∴CE＝BC+BE=BC+3x，CD=CA+AD=CA+x，∵CE＝3CD，∴BC+3x=3CA+3x，∴CB=3AC，∴AB=CB+AC=4AC，∴=．②根据①，设AC=m，则CB=3m，AB=4m，设点D运动的路程为AD=x，则点E运动的路程为EB=3x，当点E在C点的右侧时，如图3，∴CE＝BC-BE=3m-3x，CD=CA+AD=m+x，∵点P、Q分别是AE、CE的中点，∴PE=，QE=，∴PQ=PE-QE=-=，∵CE＝4PQ，∴3m-3x=4×，解得x=，故AD=，∴=．当点E在C点的左侧，且在点A的右侧时，如图4，∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x，∵点P、Q分别是AE、CE的中点，∴PE=，QE=，∴PQ=PE+QE=+=，∵CE＝4PQ，∴3x-3m=4×，解得x=，故AD=，∴=．当点E在A点的左侧时，如图5，∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x，∵点P、Q分别是AE、CE的中点，∴PE=，QE=，∴PQ=PE+QE=+=，∵CE＝4PQ，∴3x-3m=4×，解得x=，故AD=，∴=．综上所述，的值为或．8．已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)(1)若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝，DM＝；(直接填空)(2)当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．(3)若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝(填空)(4)在(3)的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．【答案】(1)2，4；(2)6cm；(3)4；(4)或1．【详解】(1)根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案为：2cm，4cm；(2)当点C、D运动了2s时，CM＝2cm，BD＝4cm∵AB＝12cm，CM＝2cm，BD＝4cm∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6cm；(3)根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，∵MD＝2AC，∴BD+MD＝2(MC+AC)，即MB＝2AM，∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM＝AB＝4，故答案为：4；(4)①当点N在线段AB上时，如图1，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝4∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4，∴；②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB＝12，∴；综上所述或1故答案为或1．9．如图，数轴正半轴上的，两点分别表示有理数，，为原点，若，线段.(1)______，______；(2)若点从点出发，以每秒2个单位长度向轴正半轴运动，求运动时间为多少时；点到点的距离是点到点距离的3倍；(3)数轴上还有一点表示的数为32，若点和点同时从点和点出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立刻以同样