河北省承德市部分学校2022-2023学年高一年级下册期末数学试题（解析版）

河北省承德市部分学校2022-2023学年高一下学期期末

数学试题

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题K答案』后，用铅笔把答题卡上对应题目的K答案』标号

涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他工答案［标号.回答非选择题时，将（答案H

写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4,本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章至必修第二册.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.为庆祝“七一”建党节，某文化馆举办“喜迎建党节•奋进新征程“文化艺术展.文化馆计划

从18名女志愿者、12名男志愿者中选调10人加强文化艺术展讲解工作，若按照性别进行

分层随机抽样，则应抽取的女志愿者人数为（）

A.7B.3C.6D.4

R答案HC

R解析』按照性别进行分层抽样，

1Q

应抽取的女员工人数为：10x^7二=6.

18+12

故选：C

2.若复数］（5-。+加（，"£1＜）为纯虚数，则"2=（）

A.1B.-1C.5D.-5

K答案HB

K解析2因为i（5—i）+m=5i-i?+〃?=（帆+l）+5i,

复数为纯虚数，所以加+1=0，即W=-L

故选：B.

TT

3._ABC的内角AB,C的对边分别为α,b,c,且SinA=3sinB,b=l,C=7,则

的面积为（)

ʌɜrɜr3√3n3√3

4242

R答案2A

K解析D由正弦定理得α=3b,

因为∕7=1,所以4=3,

1313

由三角形面积公式可得一αOsinC=-χ-=-.

2224

故选：A

4.设。为平行四边形ABCr）的对角线的交点，则Q4+O8+2OC=（）

A.ACB.BDC.ADD.AB

K答案XD

K解析D由图形可知。4+OC=0,故。4+08+20C=O8+0C=OB+AO=AB∙

故选：D

5.中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中.某瓷器如图1所示，

该瓶器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高（高为6cm）的圆台组合面成，

其直观图如图2所示，已知圆柱的高为20cm,底面直径AB=IOCm,底面直径

CD=2（）cm,EF=I6cm,若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为（）

C.650%Cm3D.1300万Cm,

睹案XB

工解析11因为圆柱的高为20Cm,底面直径AB=IOcm,底面直径CD=20cm,EF=16cm,

且两圆台的高都为6cm,

所以该瓷器的容积为

V=π×25×2()+∣×(25π+l(K)π+√25π×l()()π)×6+∣×(64π+100π+√64π×10()π)×6

11a

=500π+-xl75πx6+-x244τrx6=1338τtcm3,

33

故选：B

6.2O13~2O22年全国城镇私营单位就业人员年平均工资及名义增速如图所示，则（）

2（H3∙2O22年全国城镇私皆中位就业人员年平均L费及名义审迷

年平均工资/元增速1%

7(×MM)∣-

MM×N)

50000

44MXM)

30000

2(X×M)Ul绝对值

IOOOO-一增速

O-

A.2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资未突破60000元

B.2013-2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速逐年递减

C.2013-2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速的40%分位数为8.1%

D.2013-2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速65%分位数为8.8%

K答案》D

R解析》根据图象可知2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资突破60000元，因此

选项A不正确；

因为2018年的全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速高于2017年，所以选项B

不正确；

2013-2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速从小到大排列为：

3.7,6.8,7.7,8.1,8.2,8.3,8.8,8.9,11.3,13.8,

因为40%xl0=4,65%xl0=6.5

所以2013~2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速的40%分位数为

8.1%+8.2%__

-------------------=8.15%,因此选项C不正确;

2

2013-2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速的65%分位数为8.8%,

因此选项D正确，

故选：D

7.在三棱锥P-ABC中，AB+2PC=9,E为线段的上更靠近P的三等分点，过E作平

行于AB,PC的平面，则该平面截三棱锥P-ABC所得截面的周长为()

A.5B.6C.8D.9

K答案XB

K解析2如图所示，在三棱锥P-ABC中，

过E作分别作EF//AB,EHHPC,再分别过点F,H作HGHAB,FG//PC,

可得E,E,G,H四点共面，

因为AB(Z平面EFGH，EFU平面EFGH,

所以AB//平面EFG/7,

同理可证：PC//平面EFGH,

所以截面即为平行四边形MG”，

又由E为线段ΛP上更靠近P的三等分点，且A3+2PC=9,

所以EF=LAB,EH=乙PC,

33

所以平行四边形EFGH的周长为：2∙(EF+EH)=^(AB+2PC)=6.

故选：B.

8.如图，在曲柄CS绕。点旋转时，活塞A做直线往复运动，连杆A8=4cm,曲柄

CB=Icm,当曲柄CB从初始位置C综按顺时针方向旋转60。时，活塞A从4到达A的

位置，则A)A=()

B

ʌ11-√6111-回

A.-----------cmBo.-----------cm

22

9-√619-√H

Cr.----------cmDn.----------cm

22

R答案UC

K解析U连接BBo,因为N8C&)=60°,

所以BBOC为等边三角形,故NBBOA=I20。，BBO=BC=ICm,

在；.45综中，AB=4cm,由余弦定理得CoSI20。='OA+及/一^^

2J3()A∙BoB

即竺:丁6二一；，解得稣A=T±画cm，负值舍去，

2n0A22

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知。为坐标原点，点A(—1,1),B(l,3),AB的中点为C,贝IJ()

A.AB=(-2,-2)B.。的坐标为(0,2)

C.OAVABD.OA,OC的夹角为四

4

K答案HBCD

K解析』因为4(一因),5(1,3),0(0,0),

所以48=（2,2）,故A错误;

-1+11+3

,即（0,2）,故B正确;

而AB的中点。的坐标为2'F

而OA=(-W)，所以O4∙A3=-lx2+lx2=(),

所以OAj.48，故C正确;

OA-OC-l×0+l×2√2

而OC=(0,2),贝IJCoSzAoC

∕(-l)2+l2×√02+22~2

HKλ

TTTT

所以NAoC=―,即。AOC的夹角为一，故D正确.

44

故选：BCD.

10.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件A="点数为4”，事

件8=”点数为奇数“，事件C=''点数小于4"，事件O="点数大于3”，则（）

AA与B互斥B.A与C互斥

C.B与。对立D.C与。对立

K答案HABD

K解析W事件“点数为4”与“点数为奇数”不能同时发生，所以A与B互斥，A正确.

事件“点数为4”与“点数小于4”不能同时发生，所以A与C互斥，B正确.

事件”点数为奇数”的对立事件是“点数为偶数”，不是"点数大于3”，C错误.

事件“点数小于4”的对立事件是“点数不小于4”，即“点数大于3”，C与。对立，D正确.

故选：ABD.

11.将函数V=CO跣图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再把得到的图象

4

向左平移∙j∣个单位长度，得到函数/（x）的图象，则（）

A∙/（x）=cos（4x+∙j∣∙J

B./（X）的最小正周期为5

C./（X）的图象关于直线尤=-吉对称

D./（X）的图象关于点恬,O卜寸称

K答案』BC

K解析Ii因为函数y=COM图象上所有点的横坐标缩短到原来的L,纵坐标不变，再把得

4

到的图象向左平移专个单位长度，得到函数/(x)的图象，

所以有/(x)=COS[4(%+]=COS(4x+],因此选项A不正确；

y<τr^τr∙jr

因为彳=5,所以/(x)最小正周期为5,因此选项B正确；

因为若)=cos,4χ1+£|=1,所以/(x)的图象关于直线x=q对称，因此选

项C正确；

因为/[三]=COS(4x展+；10,所以/(x)的图象不关于点对称，

因此选项D不正确，

故选：BC

12.甲工程师计划将一块边长为6m的正方形ABCD铁片加工成一个无盖正四棱台，其工程

平面设计图如图1所示，正方形EFGH和正方形ABCD的中心重合，

IJK,L,M,N,0,P分别是边AB,BC,CD,DA上的三等分点，且EF//AB,IJ<EF<AB,

将图中的四块阴影部分裁下来，用余下的四个全等的等腰梯形和正方形EFG〃加工成一个

无盖正四棱台，如图2所示，则()

图1图2

A.甲工程师可以加工出一个底面周长为8m的正四棱台

B.甲工程师可以加工出一个底面面积为8nf的正四棱台

C.甲工程师可以加工出一个高为1.5m的正四棱台

D.甲工程师可以加工出一个侧棱长为1.5m的正四棱台

K答案XBCD

K解析』令正四棱台的底面边长EF=2αm,高为〃m,侧棱长为∕m,等腰梯形EE〃的

高为4m,

则由题意可知，IJ=^AB=2m,2a+2hλ-AB,即Λ∣=3-α(m).

对于A,当正四棱台的底面周长为8m时，EF=2m,不满足〃<律，A错；

对于B,当正四棱台的底面面积为8n√时，EF=20m，满足〃<EF<AB,B对；

对于C,当正四棱台的高为1.5m时，则Zz=1.5m,

记正四棱台的上下底面的中心分别为O∣,O?,取〃,FG的中点Q,R,连接

OiO2,OlQ,O2R,QR,过点。作QS_L于点S,

则QS=1.5,QR=3—a,RS=a-∖,

.,2323

所以1.52+(α-1)-=(3-a),解得a=」，则E/=」m,

v7v7168

满足〃<E户<ΛB,C对；

对于D,当正四棱台的侧棱长为1.5m时，则∕=1.5m,

过点J作JTJ_FG于点T,则〃=L5,JT=3-a,FT=a—1,

所以lS=(a-l)2+(3-即8/一32a+31=0，

解得a=*Yl,则EF=四2πι,满足∕J<E户<AB,D对.

42

故选：BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.复数白圆的虚部为___________,共辗复数为____________.

y∣3-l

K答案D①./②.避→L

222

1i+i

『解析Y1一"(-^)(^)-√3+i-3i+√3√31

［解析』及TQr询司一=E一亍

所以复数■的虚部为-,，复数4包的共轨复数为苴+^i,

√3-i2G—i22

故R答案Il为：—；《3+ɪj

222

14.一个袋子中有.2个红球，2个白球，若从中随机一次性取出2个球，则取出的2个球都

是白球的概率为.

K答案H-

6

K解析H2个红球记为A8,2个白球记为他，

从中随机一次性取出2个球有AB,AmAb,Ba,Bb,必共6种取法，

则取出2个球都是白球的有必，1种取法，

所以取出的2个球都是白球的概率为P=!,

1

6-

15.若α为第三象限角，且tan(1-α)=§tan(α+兀)，则tana的值为.

K答案》ɪ

2

/兀、2./ʌ一31一tana2

R解析U由tan∣-—a=-tan(α+π),可得--------=-tan0,

U√3l+tana3

整理得2tan?a+5tanC-3=O，解得tana=1或tana=—3，

2

因为a为第三象限角，可得tana>0,所以tana='.

2

故K答案》为：ɪ.

16.若长方体的3条面对角线的长度分别为2、丛、√5.则该长方体外接球的表面积为

R答案》6π

K解析》设该长方体的长、宽、高分别为x、)'、z,该长方体外接球的半径为/?,

χ2+y2=4

则<y2+z?=3,

z2+x2=5

上述三个等式相加可得2（√+√+Z2）=12,

所以，R=JZ逵运=逅，

22

因此，该长方体外接球的表面积为4π7J2=4πχ（乎=6π.

故K答案』为：6π.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知向量。=（1,加）,。=（3,—2）.

（1）若〃〃。，求加;

（2）若α在b上的投影向量为上6,求m∙

13

解：（1）allb，

/.1×(-2)—3m=0,

解得加=一2

3

ɪ,2

故根=—.

3

（2）因为@/=3-2加,|/?|=拒，

又α在匕上的投影向量为

a∙bb3-2m.1.

----------=--------b=-b

∖b∖∖b∖1313

U…3-2m1

所以工

13

解得m-1.

故m=L

18.如图，在三棱锥。—A5C中，JEr分别为ACBC的中点.

D

(2)若ABC,一AC。均为正三角形，AB=2a,BO=3夜，求直线60与平面ABC所

成角的大小.

(1)证明：因为瓦尸分别为AC,BC的中点，

所以防//A3,而瓦平面曲∙ABU平面曲.

所以EE〃平面A3。；

(2)解：连接。E,8E,

因为A6C,-ACO均为正三角形，AB=2√3.瓦尸分别为AC,8C的中点.

所以DELAC,8ELAC,DE=BE=JAB?—(gAC)=J12-3=3,

而8O=3√∑,因为BD?=BE2+DE?，

所以BEJ.DE,因为ACnBE=E,AC,BEu平面ABC,

所以DEl平面ABC,因此ZDBE是直线3。与平面ABC所成角，

19.北京时间2023年5月11日5时16分，天舟六号货运飞船与空间站组合体完成交会对

接.天舟六号货运飞船是中国空间站运送补给物资的飞船，物资装载能力可达7.4吨.某校开

展了航空航天数字科技体验活动课，并邀请八名参加了该体验活动课的学生进行打分，得到

的数据如下表所示：

(I)分别求〃，4,b的值，并在图中画出频率分布直方图；

(2)若学生打分分数不低于80的人数至少要占60%,并且学生打分分数的平均数超过80,

则该课堂可以评为“优秀课堂”，估计该航空航天数字科技体验活动课能否评为“优秀课堂”,

并说明理由.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

解：(1)由0.05+α+0.20+0.30+0.35=l,解得α=0.10.

〃=2=100/=100x0.30=30.

0.05

而每组的频率/组距分别为0∙005,0.010,0.02(),0.030,0.035,

所以频率分布直方图如下所示:

频率

W

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

Ov5060708090100分数

（2）该航空航天数字科技体验活动课能评为“优秀课堂”，理由如下:

因为学生打分分数不低于80的频率为0.30+0.35=0.65>60%,

所以满足学生打分分数不低于80的人数至少要占60%.

又学生打分分数的平均数为

55x0.05+65x0.10+75x0.20+85x0.30+95x0.35=83>80,

所以该航空航天数字科技体验活动课能评为“优秀课堂

20.的内角A,8,C的对边分别为α,"c,且加in?-+csin之3.

222

(1)证明：b+c=2a.

(2)求A的最大值.

CD1

(1)证明：因为加in?—+csi∏2-=一α,

222

所以8一一厂+c-4+c--"=α,

2a

2

所以"C=J2aC

=QH----=2。，

2a2a

即Z?+c=2。,

（2）解：由（1）得。=空

b+c

b2+c2-

所以由余弦定理得b2+c2-a2~τΓ

cosA=-----------

2bc2hc

22b~+2bc+c~

b1-+c------------3b1+3c1-Ibc

4

Sbc

2bc

bc

当且仅当一=—,即8=C时取等号,

ch

即cosA^-,

2

因为A∈(0,π),

TTπ

所以O<A≤w,所以A的最大值为；.

33

21.如图，在正四棱柱ABe。一人耳GA中，E是AA的中点.

(1)证明：平面ACGA，平面30。耳.

(2)若A4∣=2AB=4,求点B到平面CEDl的距离.

(1)证明：因为正四棱柱ABC。-ABcA中，可得四边形ABC。为正方形，可得

AC-LBD,

由AA，平面ABC。，Bz)U平面ABCr),所以AA，80,

因为A∕∖AC=A且A4l,ACu平面ACGA,所以Bz)工平面ACGA，

又因为BDU平面BDDM,所以平面ACGA，平面.

(2)解：如图所示，分别延长。E，OA,交于点M,连接CM,交AB于点F,

因为E为AA∣的中点，且平面ABB1A//平面CDDiCl,

且平面ABgAMCq=EF,且平面CDQGMCD∖=CD∖,所以EF∕∕CD∣,

可得尸的中点AB，且A。=A",Mb=CF,

所以点B到CEDl的距离等于点B到MEF的距离，

因为正四棱柱ABa)—AIBe。中，AA=2AB=4,

可得MF=√5,ME=2√2,EF=√5,

取ME的中点N,连接尸N,可得FNj.ME,且FN=5

所以SMEF=—×2λ∕2×>∕3=Vδ,且SMBF=-×BF,×MA=-×∖×2=∖,

222

设点8到平面MEF的距离为/?,

由%-M£F=VE-MBF，可得gxCx〃=x1xAE=2X1X2=2,解得∕z=在，

33333

即B到平面CEA的距离包.

3

21

22.甲、乙两位同学切磋棋艺，已知甲先手时，甲获胜的概率为：，平局的概率为二，乙先